用户: 数学迷/上半空间的基本性质

1坐标计算

讲上半平面 ${\mathbb{H}}^{n+1}$ 和 ${\mathrm{SO}}^{+}(n+1,1)/\mathrm{SO}(n+1)$ 的对应. 写 Laplace 算子的坐标形式并计算 $\Delta (y^s)$. 算出 Laplace 的谱.

2晶格

晶格是余体积有限的离散子群. 它余紧当且仅当没有抛物元.

任取实二次型 $x_0^2+\cdots +x_n^2-z^2$ 的整形式即可得到 $\mathrm{SO}(n+1,1)$ 的晶格, 余紧当且仅当该整形式无迷向. $n$ 一大它就总迷向, 但可以考虑比如 $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 上二次型 $x_0^2+\cdots +x_n^2-\sqrt{2}{z}^2$, 它基变换到 $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\otimes \mathbb{R}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 之后, 两个分量的符号分别为 $(n+1,1)$ 与 $(n+2,0)$, 相当于是 $\mathrm{SO}(n+1,1)\times \mathrm{SO}(n+2)$ 的晶格, 但第二个分量紧, 可以直接投影掉, 也就相当于 $\mathrm{SO}(n+1,1)$ 的晶格.

也有不算术的晶格, 可由算术晶格对应的常曲率流形沿测地超曲面剪切、粘合得到.

3目标

以下几讲发展上半空间晶格的谱理论, 即把关于一个晶格平移不变的函数沿 $\mathcal{D}(S)$ 的特征函数分解. 我们将会看到, 谱理论与晶格是否算术没有关系.