用户: 数学迷/余紧晶格的谱理论

设 $\Gamma \subset {\mathrm{SO}}^{+}(n+1,1)$ 是余紧晶格. 记 $S={\mathbb{H}}^{n+1}$, $X=\Gamma \backslash S$, 本节研究 $L^2(X)$ 的谱分解.

1定理与证明

$A(S)$ 的卷积作用是紧自伴算子, 所以 $L^2(X)$ 可关于它分解为若干有限维特征子空间以及特征值 $0$ 部分. 由 $A(S)$ 中有单位逼近, 容易发现没有特征值 $0$ 部分. 然后由于 $\mathcal{D}(S)$ 和 $A(S)$ 的作用交换, $A(S)$ 的特征子空间都是 $\mathcal{D}(S)$ 的不变子空间. 再对 $\mathcal{D}(S)$ 用有限维谱理论即可.