用户: 数学迷/实轴、酉轴、极点、迹公式

本讲介绍 Eisenstein 级数的性质. 仍以 $E(w,s)$ 记向量值 Eisenstein 级数, 以 $\Phi (s)$ 记散射矩阵.

1Maass–Selberg 关系

本节我们考虑 Eisenstein 级数的暴力截断. 取正实数 $A$ 充分大, 定义函数 $\beta :{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$ 为在 $(0,A)$ 取 $0$, 在 $[A,+\infty )$ 取 $1$. 考虑 $X$ 上向量值函数 $\beta (y)y^s$, 其第 $j$ 个坐标定义为 $\beta (y_j)y_j^s$, 即其在第 $j$ 个尖点附近取 $y_j^s$, 其它地方取 $0$. 和上一讲最后一节相同, 这里虽然 $y_j^s$ 在 $X$ 上不良定义, 但是 $\beta (y)y^s$ 良定义. 定义暴力截断 Eisenstein 级数为$$\tilde{E}(w,s)=E(w,s)-\beta (y)y^s-\Phi (s)\beta (y)y^{n-s}.$$

定理 1.1 (Maass–Selberg 关系). 有矩阵值亚纯函数等式$${\int }_X\tilde{E}(w,s_1){\tilde{E}}^{\mathrm{T}}(w,s_2)\mathrm{d}w=\frac{A^{s_1+s_2-n}-A^{n-s_1-s_2}\Phi (s_1){\Phi }^{\mathrm{T}}(s_2)}{s_1+s_2-n}+\frac{A^{s_1-s_2}{\Phi }^{\mathrm{T}}(s_2)-A^{s_2-s_1}\Phi (s_1)}{s_1-s_2}.$$

证明. 我们分块积分, 利用这些函数在每一块是 Laplace 特征函数, 以及 Green 恒等式$${\int }_{\Omega }(u\Delta v-v\Delta u)=-{\int }_{\partial \Omega }(u{\partial }_{n}v-v{\partial }_{n}u).$$计算特征值之差 $s_2(n-s_2)-s_1(n-s_1)=(s_1+s_2-n)(s_1-s_2)$. 下面逐块用 Green 恒等式计算所求积分的 $(s_1+s_2-n)(s_1-s_2)$ 倍. 注意边界 $y_j(w)=A$ 的单位法向量是 $y_j{\partial }_{y_j}$, 体积元是 $y_j^{-n}\mathrm{d}{x}_j$, 有:

•	在各个 $y_j$ 都不大于 $A$ 的区域, 它等于$$\sum _j{\int }_{y_j(w)=A}(y_j{\partial }_{y_j}E(w,s_1)E^{\mathrm{T}}(w,s_2)-E(w,s_1)y_j{\partial }_{y_j}{E}^{\mathrm{T}}(w,s_2))y_j^{-n}\mathrm{d}{x}_j;$$
•	在区域 $y_j>A$ 上, 它等于$$-{\int }_{y_j(w)=A}(y_j{\partial }_{y_j}\tilde{E}(w,s_1){\tilde{E}}^{\mathrm{T}}(w,s_2)-\tilde{E}(w,s_1)y_j{\partial }_{y_j}{\tilde{E}}^{\mathrm{T}}(w,s_2))y_j^{-n}\mathrm{d}{x}_j;$$

加起来, 用 $\tilde{E}$ 展开 $E$, 剩下的项有两种: 第一种是 $\tilde{E}$ 或其导数与 $\beta (y)y^s+\Phi (s)\beta (y)y^{n-s}$ 或其导数相乘者; 第二种是 $\beta (y)y^s+\Phi (s)\beta (y)y^{n-s}$ 与其导数相乘者. 回忆 $E$ 在 $y_j(w)=A$ 的 Fourier 展开, 知 $\beta (y)y^s+\Phi (s)\beta (y)y^{n-s}$ 是其常数项, $\tilde{E}$ 是所有其它项. 所以, 沿 $y_j(w)=A$ 积分之后, 上述第一种项消失, 只剩第二种项. 在 $y_j(w)=A$ 上第二种项又是常数, 故容易算出它等于$$((s_1{A}^{s_1}+(n-s_1)\Phi (s_1)A^{n-s_1})(A^{s_2}+\Phi (s_2)A^{n-s_2}{)}^{\mathrm{T}}-(A^{s_1}+\Phi (s_1)A^{n-s_1})(s_2{A}^{s_2}+(n-s_2)\Phi (s_2)A^{n-s_2}{)}^{\mathrm{T}})A^{-n}.$$除以 $(s_1+s_2-n)(s_1-s_2)$, 即得结论.

$\square$

推论 1.2. 有亚纯函数等式 $\Phi (s)={\Phi }^{\mathrm{T}}(s)$.

证明. 我们对不等于 $n/2$ 且不是 Eisenstein 级数或 $\Phi (s)$ 极点的 $s$ 证明等式. 为此, 在定理 1.1 中令 $s_1,s_2$ 趋于 $s$, 则等号左边趋于$${\int }_X\tilde{E}(w,s){\tilde{E}}^{\mathrm{T}}(w,s)\mathrm{d}w,$$特别地为有界. 由于 $s\ne n/2$, 等号右边第一项也有界. 所以等号右边第二项为有界, 从而 $\Phi (s)={\Phi }^{\mathrm{T}}(s)$.

$\square$

推论 1.3. $\Phi (s)$ 在实轴为 Hermite 矩阵, 在 $\mathrm{Re}(s)=n/2$ 上处处全纯且为酉矩阵.

证明. 上一讲已经得到亚纯函数等式 $\overline{\Phi (s)}=\Phi (\bar{s})$ 以及 $\Phi (s)\Phi (n-s)=1$. 结合推论 1.2 即得结论.

$\square$

推论 1.4. 对任意 $s_0\in \mathbb{C}$, $E(w,s)$ 在 $s_0$ 的极点阶数不比 $\Phi (s)$ 的大.

证明. 用反证法, 设 $E(w,s)$ 在 $s_0$ 的极点阶数为 $N$, $\Phi (s)$ 的为 $M$, $N>M$. 考虑 $E(w,s)$ 在 $s_0$ 处的 Laurent 展开$$E(w,s)=\sum _{k=-N}^{\infty }{f}_k(w)(s-s_0{)}^k,$$其中各 $f_k(w)$ 为光滑. 于是对充分大的正实数 $A$, 暴力截断 $\tilde{E}(w,s)$ 满足$$\underset{s\to s_0}{\lim }\Vert (s-s_0{)}^M\tilde{E}(w,s){\Vert }_2=\infty .$$把定理 1.1 两边同乘 $(s_1-s_0{)}^M(s_2-\overline{s_0}{)}^M$, 然后令 $s_1$ 趋于 $s_0$, 令 $s_2$ 趋于 $\overline{s_0}$, 则左边趋于无穷, 而由推论 1.2、1.3 不难得知右边有界, 矛盾.

$\square$

推论 1.5. 在半平面 $\mathrm{Re}(s)\ge n/2$ 中, $E(w,s)$ 只在 $(n/2,n]$ 有极点, 且都是一阶. 对该半平面内的极点 $s_0$, 其在 $s_0$ 处留数是 $L^2$ 的 Laplace 特征函数, 特征值为 $s_0(n-s_0)$.

证明. 设 $s_0$ 是 $E(w,s)$ 的极点, ${\sigma }_0=\mathrm{Re}(s_0)\ge n/2$. 由推论 1.4 知 ${\sigma }_0>n/2$. 回忆尖点 $j$ 附近的 Fourier 展开$$E_i(w,s)={\delta }_{ij}{y}_j^s+{\varphi }_{ij}(s)y_j^{n-s}+F_{ij}(w,s),$$其中 $F_{ij}(w,s)$ 关于 $w$ 指数衰减. 注意 $y_j^s$ 关于 $s$ 为全纯, 从而 $E(w,s)$ 在 $s_0$ 处 Laurent 展开的负次项系数不含对应项, 又由 ${\sigma }_0>n/2$ 知 $y_j^{n-s}$ 在 $j$ 附近平方可积, 故该系数 $L^2$. 但它关于 $w$ 又是 Laplace 特征函数, 特征值为 $s_0(n-s_0)$, 所以由 $\Delta$ 正定知 $s_0(n-s_0)\ge 0$, 即 $s_0\in (n/2,n]$.

还要证明其只有一阶. 假如不然, 则由推论 1.4 知 $\Phi (s)$ 在 $s_0$ 有高阶极点. 对 $\Phi (s)$ 极点之外的实数 $\sigma \in (n/2,n)$, 把定理 1.1 代入 $s_1=s_2=\sigma$, 取迹得$${\int }_X|\tilde{E}(w,\sigma ){|}^2\mathrm{d}w=\mathrm{tr}\left(\frac{A^{2\sigma -n}-A^{n-2\sigma }{\Phi }^2(\sigma )}{2\sigma -n}+2\log (A)\Phi (\sigma )-{\Phi }^{\prime }(\sigma )\right).$$如 $\Phi (s)$ 在 $s_0$ 有高阶极点, 则当 $\sigma$ 趋于 $s_0$ 时, 上式等号右边阶数最高的项只有 $-\frac{A^{n-2\sigma }}{2\sigma -n}\mathrm{tr}({\Phi }^2(\sigma ))$, 是负的, 而等号左边是正的, 矛盾.

$\square$

推论 1.6. 任取 $t_0\in {\mathbb{R}}_{+}$. 则 $\Phi (s)$ 在区域 $\{s=\sigma +\mathrm{i}t\in \mathbb{C}\mid \sigma \ge n/2,t\ge t_0\}$ 有界.

证明. 把定理 1.1 代入 $s_1=s$, $s_2=\bar{s}$, 取迹得$$0\le {\int }_X|\tilde{E}(w,s){|}^2\mathrm{d}w=\mathrm{tr}\left(\frac{A^{2\sigma -n}-A^{n-2\sigma }\Phi (s){\Phi }^{\ast }(s)}{2\sigma -n}+\frac{A^{2\mathrm{i}t}{\Phi }^{\ast }(s)-A^{-2\mathrm{i}t}\Phi (s)}{2\mathrm{i}t}\right).$$由此不难对 $\sigma \in [n/2,n+1]$ 得到有界性. 对 $\sigma >n+1$ 用 Eisenstein 级数原始定义即可. (详细写.)

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本节最后我们来算个留数.

定理 1.7. 对任一尖点 $i$, $${\mathrm{Res}}_{s=n}{E}_i(w,s)=\frac{1}{\mathrm{vol}(X)}.$$

证明. 由推论 1.5, 该留数是 $L^2$ 的 Laplace 特征函数, 特征值为 $0$, 故为常数. 考虑把 $i$ 放到 $\infty$ 的坐标, 取 ${\Gamma }_i$ 作用在 ${\mathbb{R}}^n$ 的基本域 $\mathcal{G}$, 再取 $\Gamma$ 的基本域 $\mathcal{F}$, 形如$$\{(x,y)\mid x\in \mathcal{G},y>f(x)\},$$对某个可测函数 $f:\mathcal{G}\to [0,+\infty ]$. 则由于 $s\mapsto y^s$ 为全纯, 有$$\begin{array}{rl}\mathrm{vol}(X){\mathrm{Res}}_{s=n}{E}_i(w,s)& ={\mathrm{Res}}_{s=n}{\int }_{\mathcal{F}}{E}_i(w,s)\mathrm{d}w\\ & ={\mathrm{Res}}_{s=n}{\int }_{\mathcal{F}}(E_i(w,s)-y^s)\mathrm{d}w\\ & ={\mathrm{Res}}_{s=n}{\int }_{\mathcal{F}}\sum _{\gamma \in {\Gamma }_i\backslash \Gamma ,\gamma \ne 1}{y}^s(\gamma w)\mathrm{d}w\\ & ={\mathrm{Res}}_{s=n}{\int }_{\mathcal{G}\times {\mathbb{R}}_{+}\setminus \mathcal{F}}{y}^s\mathrm{d}w\\ & ={\mathrm{Res}}_{s=n}{\int }_{\mathcal{G}}\left({\int }_0^{f(x)}{y}^{s-n-1}\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\\ & ={\mathrm{Res}}_{s=n}{\int }_{\mathcal{G}}\frac{f(x{)}^{s-n}}{s-n}\mathrm{d}x={\int }_{\mathcal{G}}\mathrm{d}x=1.\end{array}$$

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2谱分解

Eisenstein 级数解析延拓的一大用处就是在不余紧情形具体写出 Laplace 在 $L^2(X)$ 的谱. 为此我们先介绍尖形式.

定义 2.1. $f\in L^2(X)$ 称为尖, 意思是其在各个尖点 Fourier 展开的常数项都是 $0$. 尖形式组成的子空间记作 $L_{尖}^2(X)$, 它显然被 Laplace 保持.

Laplace 在尖形式空间的谱与余紧情形差不多. 具体地说:

命题 2.2. $A(S)$ 在 $L_{尖}^2(X)$ 的卷积作用是紧自伴算子. 从而和余紧情形一样, $L_{尖}^2(X)$ 有由 Laplace 特征向量组成的单位正交基.

证明. 任取 $k\in A(S)$, 考虑 $k$ 在 $L_{尖}^2(X)$ 的卷积作用, 记作 $K$. 其自伴性为显然. 至于紧性, 回忆上一讲最后一节的截断 $\tilde{K}$. 由于截掉的部分 Fourier 展开只有常数项, 而尖形式的 Fourier 展开没有常数项, 不难发现截掉的部分不影响其在 $L_{尖}^2(X)$ 的卷积作用, 换言之 $K$ 和 $\tilde{K}$ 在 $L_{尖}^2(X)$ 上作用一样. 而上一讲最后一节已经说了 $\tilde{K}$ 为紧, 于是 $K$ 在 $L_{尖}^2(X)$ 上为紧. 之后照搬余紧晶格谱理论的推导即可.

$\square$