用户: 数学迷/对角线的妙用

定理 1. 域扩张 $K/k$ 有限生成当且仅当环 $K{\otimes }_{k}K$ Noether.

证明. 一个方向是显然的: 如 $K/k$ 有限生成, 则有有限生成 $k$ 代数 $A$ 以 $K$ 为分式域. 从而 $K{\otimes }_{k}K=S^{-1}(A{\otimes }_{k}A)$ 为 Noether 环的局部环, 故 Noether; 其中 $S$ 为纯张量 (即形如 $a\otimes b$ 的元素) 组成的乘性子集. 另一个方向的没那么容易.

定义对角线理想 ${\Delta }_{K/k}=(x\otimes 1-1\otimes x{)}_{x\in K}=\ker (K{\otimes }_{k}K\to K)$, 其中映射为 $K$ 中乘法. 事实上只需要 ${\Delta }_{K/k}$ 有限生成, 便可得到 $K/k$ 有限生成. 如 ${\Delta }_{K/k}$ 有限生成, 设其被 $\{x_i\otimes 1-1\otimes x_i{\}}_{i=1}^n$ 生成, 并设 $F=k(x_1,\dots ,x_n)\subseteq K$, 下证 $F=K$.

由于 $x_i\in F$, 所以 $x_i\otimes 1-1\otimes x_i\in \ker (K{\otimes }_{k}K\to K{\otimes }_{F}K)$, 对每个 $i$. 于是 $\ker (K{\otimes }_{k}K\to K)={\Delta }_{K/k}\subseteq \ker (K{\otimes }_{k}K\to K{\otimes }_{F}K)$, 故 $K{\otimes }_{F}K\to K$ 为单射. 它显然是满射, 所以它是同构. 从而 ${\dim }_{F}K={\dim }_K(K{\otimes }_{F}K)=1$, 即 $F=K$.

$\square$