用户: 数学迷/直和定理

直和定理指的是:

定理 1. $R$ 是正则环, $f:R\to A$ 是环的有限单射, 则 $R$ 是 $A$ 的 $R$ 模直和项.

该定理由 Melvin Hochster [1] 于 1969 年提出, 称 “直和猜想”. 2016 年 Yves André [2] 首先证明了它. 同年 Bhargav Bhatt [3] 又证明了其推广, 称为导出直和定理:

定理 2. $R$ 是正则环, $f:X\to \mathrm{Spec}R$ 是紧合满射, 则映射 $f^{\ast }:R\to R\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X)$ 在 $\mathsf{D}(R)$ 中分裂.

这里介绍的证明大体遵循 Bhatt 的精神, 但使用棱镜上同调 [4] 作了些简化. 为流畅阅读本文, 读者大概需要掌握用棱镜上同调证几乎纯性这套理论.

首先作些化归. 记 $C_f=\mathrm{cofib}(f^{\ast })$, 则 $f^{\ast }$ 决定一上同调类 ${\alpha }_f\in {\mathrm{Ext}}^1(C_f,R)$, 定理等价于 ${\alpha }_f=0$. 由此即知定理是忠实平坦局部的, 于是可不妨设 $R$ 是剩余域代数闭的完备正则局部环. 以下在剩余域特征 $p$ 时我将要基变换至完美胚环然后使用几乎纯性; 剩余域特征 $0$ 时我不能这么做, 故先来将其化归到剩余域特征 $p$. 这是货真价实的数学家灭火: 剩余域特征 $0$ 情形的证明比定理的完整解决早了近二十年.

剩余域特征 $0$ 时, 由 Cohen 结构定理, $R=k[[x_1,\dots ,x_n]]$. 由 Artin–Popescu 逼近, $R$ 是 $k$ 上光滑环的正向极限; 而 $k$ 本身又是 $\mathbb{Z}$ 上有限型正则环的正向极限, 故 $R$ 也是 $\mathbb{Z}$ 上有限型正则环的正向极限. 这就化归到了 $\mathbb{Z}$ 上有限型情形. 此时极大理想的剩余域都具有正特征, 这样便化归到了剩余域正特征情形.

还要对 $X$ 化归. 对紧合映射 $g:Y\to X$ 使得 $fg$ 满, 不难发现 $g^{\ast }:C_f\to C_{fg}$ 把 ${\alpha }_{fg}$ 变为 ${\alpha }_f$, 故只要定理对 $fg$ 成立, 也就对 $f$ 成立. 以下记 $K=K(R)$ 为分式域. 取 $Y$ 为 $X_K$ 中某闭点在 $X$ 里的闭包, 即化归到一般纤维有限情形. 然后如 $K$ 为特征 $p$, 由 Cohen 结构定理 $R=k[[x_1,\dots ,x_n]]$; 沿 $k[[x_1,\dots ,x_n]]\to k[[x_1^{p^{-N}},\dots ,x_n^{p^{-N}}]]$ 基变换再既约化, 其中 $N$ 充分大, 可设一般纤维有限可分.

我们最终来到如下情形: $R$ 为完备正则局部环, 剩余域 $k$ 代数闭、特征 $p$, $X$ 为整概形, $f:X\to \mathrm{Spec}R$ 紧合、满、分式域扩张有限可分, 要证明 $\alpha ={\alpha }_f\in {\mathrm{Ext}}^1(C_f,R)$ 为零. 由过渡到极限, 存在非零的 $r\in R$, $f$ 在 $R_r$ 上已经有限平展. 作 Stein 分解 $X\to \mathrm{Spec}S\to \mathrm{Spec}R$, 则 $R\to S$ 有限, 且在 $R_r$ 上, 前一个映射是同构, 后一个映射有限平展.

由 Cohen 结构定理, $R=W(k)[[x_1,\dots ,x_n]]/E$, $E-p\in (x_1,\dots ,x_n)$. 记 $R_N=W(k)[[x_1^{p^{-N}},\dots ,x_n^{p^{-N}}]]/E$, $R_{\infty }=({\mathrm{colim}}_N{R}_N{)}_p^{\wedge }$, 则 $R_{\infty }$ 为完美胚环, 在 $R$ 上 $p$-完备忠实平坦. 由 André 引理 ([4] 定理 7.12), 存在绝对整闭完美胚环 $R^{\prime }$ 及 $p$-完备忠实平坦映射 $R_{\infty }\to R^{\prime }$. 以 $X^{\prime }$, $S^{\prime }$, $f^{\prime }$, ${\alpha }^{\prime }$ 记对应的 $p$-形式基变换, 即 $f^{\prime }:X^{\prime }\to \mathrm{Spf}{S}^{\prime }\to \mathrm{Spf}{R}^{\prime }$. 由 $R^{\prime }$ 的取法, $r$ 在其中有相容的 $p^N$ 次根号, 取出一族记作 $r^{p^{-N}}$, 它们生成的理想记作 $(r^{p^{-\infty }})$, 则 $(R^{\prime },(r^{p^{-\infty }}))$ 构成几乎数学设定, 称为 $r$-几乎. 我声称只需证 ${\alpha }^{\prime }$ 为 $r$-几乎零. 为此需要一个引理, 关于导出完备性.

引理 3. $(R,I)$ 是完备 Noether 环, $N$ 是导出完备 $R$ 模. 那么 $N$ (忠实) 平坦当且仅当其完备 (忠实) 平坦.

证明. 一般地, 对导出完备模 $N$ 以及有限生成模 $M$, 由于 $M$ 有由有限自由模组成的自由消解, $M{\otimes }_R^{L}N$ 也导出完备. 由此立得结论.

$\square$

所以 $R\to R^{\prime }$ 忠实平坦, 且由于 $C_f$ 是有限生成 $R$ 模组成的有界链复形, 有 ${\mathrm{Ext}}^1(C_{f^{\prime }},R^{\prime })={\mathrm{Ext}}^1(C_f,R){\otimes }_R{R}^{\prime }$. 于是 ${\mathrm{Ann}}_{R^{\prime }}({\alpha }^{\prime })={\mathrm{Ann}}_R(\alpha )R^{\prime }$. 如果 ${\alpha }^{\prime }$ 为 $r$-几乎零, 就有 ${\mathrm{Ann}}_{R^{\prime }}({\alpha }^{\prime })\supseteq (r^{p^{-\infty }})$, 于是对每个 $N$, ${\mathrm{Ann}}_{R^{\prime }}({\alpha }^{\prime }{)}^{p^N}\supseteq r{R}^{\prime }$, 即 ${\mathrm{Ann}}_R(\alpha {)}^{p^N}\ni r$. 由 Krull 交定理, 只要 ${\mathrm{Ann}}_R(\alpha )\ne 1$, 就有 ${\bigcap }_{k=0}^{\infty }{\mathrm{Ann}}_R(\alpha {)}^k=0$; 而 $r\ne 0$, 故只有 ${\mathrm{Ann}}_R(\alpha )=1$, 即 $\alpha =0$.

下证 ${\alpha }^{\prime }$ 为 $r$-几乎零, 即 $R^{\prime }\to R\Gamma (X^{\prime },{\mathcal{O}}_{X^{\prime }})$ 在 $p$-完备 $r$-几乎 $R$ 复形范畴中分裂. 我们使用 [4] 第 8 节中的弧拓扑作最后的化归. 弧拓扑显然比 Zariski 拓扑细, 故有自然映射 $R\Gamma (X^{\prime },{\mathcal{O}}_{X^{\prime }})\to R\Gamma (X_{\text{arc}}^{\prime },{\mathcal{O}}_{\text{arc}})$. 只需证 $R^{\prime }\to R\Gamma (X_{\text{arc}}^{\prime },{\mathcal{O}}_{\text{arc}})$ 为 $p$-完备 $r$-几乎分裂. 对映射 $X^{\prime }\to \mathrm{Spf}{S}^{\prime }$, $I=(r^{p^{-\infty }})S^{\prime }$ 重复 [4] 推论 8.11 中操作; 因 $X^{\prime }\to \mathrm{Spf}{S}^{\prime }$ 紧合, 在 $I$ 之外是同构, 由赋值判别法知其满足该推论的条件. 于是有拉回图表$$S_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{d}}^{\prime }R\Gamma (X_{\text{arc}}^{\prime },{\mathcal{O}}_{\text{arc}})(S^{\prime }/I{)}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{d}}R\Gamma ((X^{\prime }{\times }_{\mathrm{Spf}{S}^{\prime }}\mathrm{Spf}{S}^{\prime }/I{)}_{\text{arc}},{\mathcal{O}}_{\text{arc}})$$其第二行都是 $S^{\prime }/I$ 模, 为 $r$-几乎零, 于是 $S_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{d}}^{\prime }\to R\Gamma (X_{\text{arc}}^{\prime },{\mathcal{O}}_{\text{arc}})$ 为 $r$-几乎同构. 最后只需证 $R^{\prime }\to S_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{d}}^{\prime }$ 为 $p$-完备 $r$-几乎分裂. 这是几乎纯性, 即 [4] 定理 10.9 的显然推论: 由几乎纯性, $R^{\prime }\to S_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{d}}^{\prime }$ 为 $p$-完备 $r$-几乎有限平展, 当然分裂.

注 4. 完美胚环、棱镜上同调、几乎纯性这套理论自诞生以来便对交换代数多有反哺. 例子有混特征 Kunz 定理 [5]: Noether ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 代数正则当且仅当其能忠实平坦映射到一完美胚环; 以及平坦纯性 [6]: 对完全交 Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m})$ 及其上有限平坦交换群概形 $G$, 有$$H_{\mathfrak{m}}^i(R,G)=0\text{ 对 }\{\begin{array}{ll}i<\dim (R);& \\ i\le \dim (R),& \text{当 }R\text{ 正则且不是域}.\end{array}$$

[1]	M. Hochster (1973), ‘Contracted Ideals from Integral Extensions of Regular Rings’. Nagoya Mathematical Journal, 51, 25–43.
[2]	Y. André (2018), ‘La Conjecture du Facteur Direct’. Publications Mathématiques de l’IHES, 127(1), 71–93.
[3]	B. Bhatt (2018), ‘On the Direct Summand Conjecture and Its Derived Variant’. Inventiones mathematicae, 212(2), 297–317.
[4]	B. Bhatt and P. Scholze (2019), Prisms and Prismatic Cohomology. arXiv: 1905.08229.
[5]	B. Bhatt, S. Iyengar and L. Ma (2019), ‘Regular Rings and Perfect(oid) Algebras’. Communications in Algebra, 47(6), 2367–2383.
[6]	K. Česnavičius and P. Scholze (2019), Purity for Flat Cohomology. arXiv: 1912.10932.

术语翻译

直和定理 • 英文 direct summand theorem

完美胚 • 英文 perfectoid

几乎 • 英文 almost

几乎纯性 • 英文 almost purity

弧拓扑 • 英文 arc topology