用户: 数学迷/Calabi–丘定理

这是我本科修《偏微分方程选讲》课程时写的读书报告. 这个课当时是由王保祥老师开设, 似乎讲了许多 ${\mathbb{R}}^n$ 上调和分析以及各种函数空间. 我当初没去几节课, 什么本事都没学到, 期末靠此读书报告 (以及靠选课本科生实在太少) 混了个 90 分. 所幸这篇读书报告写下来, 我大概还是明白了些道理.

1Kähler 几何初步

我们先回顾 Kähler 几何的一些基本概念与结果, 方能陈述 Calabi 猜想. 事实上, 这些基本概念大都本质上是线性代数与微分流形, 不平凡者就是偏微分方程结果.

定义 1.1. $n$ 维 Kähler 流形是指四元组 $(M,g,\omega ,J)$, 其中 $M$ 是 $2n$ 维流形, $g$ 是 Riemann 度量, $J$ 是近复结构 (即给每一点的切空间以光滑变化的复向量空间结构, 即 $J:TM\to TM$ 满足 $J^2=-1$), $\omega$ 是 $2$ 阶外微分形式, 满足:

相容性	对任意切向量 $X,Y$, 都有 $g(X,Y)=\omega (X,JY)$ (故而 $J,g,\omega$ 中两者决定另一者).
辛性	$(M,\omega )$ 是辛流形, 即 $d\omega =0$.
可积性	$J$ 是可积近复结构, 即每一点 $p\in M$ 都有邻域 $U$ 以及嵌入 $U\to {\mathbb{C}}^n$, 使得 $J$ 在此嵌入下被带到 ${\mathbb{C}}^n$ 的标准近复结构, 即 “乘以 $\sqrt{-1}$”.

如其仅相容, 则称为近 Hermite 流形; 在此基础上, 如仅辛而不可积, 则称为近 Kähler 流形; 如仅可积而不辛, 则称为 Hermite 流形.

显然的 Kähler 流形例子是 $({\mathbb{C}}^n,g,\omega ,J)$, 其中 $g={\sum }_{i=1}^n(d{x}_i^2+d{y}_i^2)$, $\omega ={\sum }_{i=1}^{n}d{x}_i\wedge d{y}_i$, $J\frac{\partial }{\partial x_i}=\frac{\partial }{\partial y_i}$, $J\frac{\partial }{\partial y_i}=-\frac{\partial }{\partial x_i}$.

相容性条件有些显然的推论. 可以计算 $g(JX,JY)=\omega (JX,J^{2}Y)=-\omega (JX,Y)=\omega (Y,JX)=g(Y,X)=g(X,Y)$. 由此可得 $\omega (JX,JY)=\omega (X,Y)$.

可积性条件不太好检验. 为此, Nijenhuis 引入 $(1,2)$ 张量$$N_J(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY].$$容易验证它确实是张量, 且对于 ${\mathbb{C}}^n$ 及其标准近复结构 $J$, $N_J=0$. 反过来, 如 $N_J=0$, 则 $J$ 可积, 这是 Newlander–Nirenberg 定理, 见 [1]. 这也是一个偏微分方程结果. 这样, 可积性即像辛性一样, 变成了一个微分方程条件. 值得一提的是, 辛性也等价于局部同构于 ${\mathbb{C}}^n$ 的标准辛结构 $\omega ={\sum }_{i=1}^{n}d{x}_i\wedge d{y}_i$, 但这比 Newlander–Nirenberg 定理容易得多, 只是个常微分方程结果.

正如 Riemann 几何中有微分算子 $d$ 一样, Kähler 几何中也有类似的微分算子 $\partial ,\bar{\partial }$. 为定义它们, 我们需考虑复切空间, 并将其分解.

定义 1.2. 对 $p\in M$, $p$ 处的复切空间指 $T_{p}M\otimes \mathbb{C}$, 其中元素称为复切向量. $g,J,\omega$ 都可自然地延拓定义至 $T_{p}M\otimes \mathbb{C}$. $T_{p}M\otimes \mathbb{C}$ 上还有共轭运算, 即将 $\mathbb{C}$ 分量共轭. $J$ 作为其上的平方为 $-1$ 的线性变换, 有特征值 $\sqrt{-1},-\sqrt{-1}$, 对应的特征子空间分别记作 $T_p^{1,0}M$ 与 $T_p^{0,1}M$, 其中切向量称为全纯切向量 ($(1,0)$ 切向量) 与反全纯切向量 ($(0,1)$ 切向量), 显然它们互为共轭. 类似定义复余切空间与全纯、反全纯 $1$ 形式. 那么 $1$ 形式空间 ${\Omega }^1(M)$ 有如下分解$${\Omega }^1(M)={\Omega }^{1,0}(M)\oplus {\Omega }^{0,1}(M).$$将其外积 $k$ 次得到$${\Omega }^k(M)=\underset{p+q=k}{⨁}\stackrel{p}{\bigwedge }{\Omega }^{1,0}(M)\otimes \stackrel{q}{\bigwedge }{\Omega }^{0,1}(M).$$我们将 ${\bigwedge }^p{\Omega }^{1,0}(M)\otimes {\bigwedge }^q{\Omega }^{0,1}(M)$ 记作 ${\Omega }^{p,q}(M)$, 则 ${\Omega }^k(M)={⨁}_{p+q=k}{\Omega }^{p,q}(M)$. 其中的微分形式称为 $(p,q)$ 形式.

对于 ${\mathbb{C}}^n$ 的标准坐标 $x_1,y_1,\dots ,x_n,y_n$, 我们记$$\frac{\partial }{\partial z_i}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x_i}-\sqrt{-1}\frac{\partial }{\partial y_i}\right),\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_i}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x_i}+\sqrt{-1}\frac{\partial }{\partial y_i}\right),$$$$d{z}_i=d{x}_i+\sqrt{-1}d{y}_i,d{\bar{z}}_i=d{x}_i-\sqrt{-1}d{y}_i,$$则 $\left(\frac{\partial }{\partial z_i}\right)$ 与 $\left(\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_i}\right)$ 分别是全纯与反全纯切空间的一组基, $(d{z}_i)$ 与 $(d{\bar{z}}_i)$ 类似地是全纯与反全纯微分形式空间的一组基. 同样, $(p,q)$ 形式空间的一组基是 $d{z}_I\wedge d{\bar{z}}_J={\bigwedge }_{i\in I}d{z}_i\wedge {\bigwedge }_{j\in J}d{\bar{z}}_j$, 其中 $|I|=p$, $|J|=q$.

注意对于与近复结构 $({\mathbb{C}}^n,J)$ 相容的任一度量 $g$, 我们都有 $g(X,Y)=0$ 对于 $X,Y\in T^{1,0}$, 因为由上有 $g(X,Y)=g(JX,JY)=g(\sqrt{-1}X,\sqrt{-1}Y)=-g(X,Y)$. 类似地对于 $X,Y\in T^{0,1}$, 也有一样的事情. 于是有意义的只剩下 $X\in T^{1,0}$, $Y\in T^{0,1}$ 的那些 $g(X,Y)$. 因此我们记 $g_{i\bar{j}}=g\left(\frac{\partial }{\partial z_i},\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_j}\right)$, 其地位如同黎曼几何中的 $g_{ij}$. 由于 $\omega (X,Y)=g(JX,Y)$, 我们有 $\omega \left(\frac{\partial }{\partial z_i},\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_j}\right)=\sqrt{-1}{g}_{i\bar{j}}$, 于是$$\omega =\sqrt{-1}\sum _{i,j}{g}_{i\bar{j}}d{z}_i\wedge d{\bar{z}}_j,$$是 $(1,1)$ 形式.

定义 1.3. 对 $(p,q)$ 微分形式 $\alpha$, 记 $d\psi$ 的 $(p+1,q)$ 部分为 $\partial \alpha$, 记 $(p,q+1)$ 部分为 $\bar{\partial }\alpha$. 由于 $d\alpha$ 还可能有其他部分, 我们不一定有 $d=\partial +\bar{\partial }$. 然而如果 $M={\mathbb{C}}^n$, 则用以上基底将 $d$ 显式写出, 可以得到 $d=\partial +\bar{\partial }$. 这样由可积性的定义, 对可积的近复结构, 都有 $d=\partial +\bar{\partial }$. 我们将可积的近复结构称为复结构, 带有复结构的流形称为复流形; 则 Kähler 流形特别地是复流形. 复流形也可等价地描述成具有局部坐标卡为 ${\mathbb{C}}^n$ 中开子集的流形, 使得坐标卡之间的转移函数是全纯函数.

最后, 我们不加证明地陈述一个引理, 参见 [2], 推论 3.2.10. 它是复 Hodge 定理的重要推论.

引理 1.4 ($\partial \bar{\partial }$ 引理). 对于紧 Kähler 流形上闭的 $(p,q)$ 形式 $\alpha$, 即 $d\alpha =0$, 如下几条等价:

1.	$\alpha$ 恰当, 即存在微分形式 $\beta$, $\alpha =d\beta$.
2.	$\alpha$ 是 $\partial$ 恰当的, 即存在 $(p-1,q)$ 形式 $\beta$, $\alpha =\partial \beta$.
3.	$\alpha$ 是 $\bar{\partial }$ 恰当的, 即存在 $(p,q-1)$ 形式 $\beta$, $\alpha =\bar{\partial }\beta$.
4.	$\alpha$ 是 $\partial \bar{\partial }$ 恰当的, 即存在 $(p-1,q-1)$ 形式 $\beta$, $\alpha =\partial \bar{\partial }\beta$.

2Ricci 曲率与 Einstein 流形

本节我们定义 Ricci 曲率与 Einstein 流形, 这是 Riemann 几何中的经典概念, 由 Einstein 场方程而来. 接下来我们讨论它在 Kähler 几何中的对应物, 这是 Calabi 猜想的出发点. 为此我们先回忆联络与协变导数. 以下定义、定理均见于每本 Riemann 几何教材.

定义 2.1. 光滑流形 $M$ 上的仿射联络指一个运算 $\mathrm{D}$, 给两个光滑切向量场 $X,Y$ 指定另一光滑切向量场 ${\mathrm{D}}_{X}Y$, 称为 $Y$ 沿 $X$ 的协变导数, 满足对光滑函数 $f$:

加性	${\mathrm{D}}_{X_1+X_2}Y={\mathrm{D}}_{X_1}Y+{\mathrm{D}}_{X_2}Y$; ${\mathrm{D}}_X(Y_1+Y_2)={\mathrm{D}}_X{Y}_1+{\mathrm{D}}_X{Y}_2$.
线性	${\mathrm{D}}_{fX}Y=f{\mathrm{D}}_{X}Y$.
Leibniz 法则	${\mathrm{D}}_X(fY)=(Xf)Y+f{\mathrm{D}}_{X}Y$.

其中 $Xf$ 指函数 $f$ 沿着向量场 $X$ 求导. 如有仿射联络 $\mathrm{D}$, 则可唯一地延拓 $\mathrm{D}$ 为一运算, 从向量场 $X$ 与 $(p,q)$ 张量场 $T$ 得到 $(p,q)$ 张量场 ${\mathrm{D}}_{X}T$, 称为 $T$ 沿 $X$ 的协变导数, 使得它除加性外还满足:

标准化	$p=q=0$ 时张量场为函数 $f$, 此时 ${\mathrm{D}}_{X}f=Xf$; $p=1,q=0$ 时张量场就是向量场, 此时 $\mathrm{D}$ 为已有.
Leibniz 法则 1	对向量场 $Y$ 与 $1$ 形式 $\omega$, 有 ${\mathrm{D}}_X(\omega (Y))=({\mathrm{D}}_X\omega )(Y)+\omega ({\mathrm{D}}_{X}Y)$.
Leibniz 法则 2	对张量场 $T,S$, 有 ${\mathrm{D}}_X(T\otimes S)={\mathrm{D}}_{X}T\otimes S+T\otimes {\mathrm{D}}_{X}S$.

延拓方式显然: 事实上用 Leibniz 法则 1 可以定义 $1$ 形式的协变导数; 而一般的张量场都由向量场和 $1$ 形式张量积再加得出, 于是即可对一般张量场定义协变导数. 再记 $\mathrm{D}T$ 为 $(p+1,q)$ 张量, 定义为 $(\mathrm{D}T)(X)={\mathrm{D}}_{X}T$.

定义一个联络可想象为定义了沿道路平移切向量场 (张量场) 的概念. 切向量场 (张量场) 沿一向量场的协变导数, 衡量了它在该向量场的积分曲线上, 离纯平移差了多远.

由此我们定义 Riemann 流形上的协变导数. 以下 $(M,g)$ 都是 Riemann 流形.

定理 2.2. $M$ 上存在唯一仿射联络 $\mathrm{D}$, 满足:

对称	${\mathrm{D}}_{X}Y-{\mathrm{D}}_{Y}X-[X,Y]=0$.
相容性	$\mathrm{D}g=0$, 即 $X(g(Y,Z))=g({\mathrm{D}}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{D}}_{X}Z)$.

此联络称为此流形的 Riemann 联络, 或 Levi-Civita 联络. 当提及 Riemann 流形上的协变导数时, 默认为此联络的协变导数.

有了协变导数, 便可定义曲率张量与 Ricci 曲率张量.

定义 2.3. 曲率张量为一 $(3,1)$ 张量 $R$, 定义如下:$$R(X,Y)Z={\mathrm{D}}_X{\mathrm{D}}_{Y}Z-{\mathrm{D}}_Y{\mathrm{D}}_{X}Z-{\mathrm{D}}_{[X,Y]}Z,$$可验证其确为张量. 又定义 $(4,0)$ 型曲率张量为 $R(X,Y,Z,W)=⟨R(X,Y)Z,W⟩$. Ricci 曲率张量为 $(2,0)$ 张量 $\mathrm{Ric}$, 定义为$$\mathrm{Ric}(X,Y)=\mathrm{tr}(Z\mapsto R(Z,X)Y)=\sum _{i=1}^{\dim M}R(e_i,X,Y,e_i),$$其中 $(e_i)$ 为切空间的单位正交基.

从曲率张量的定义中可以看出, 它衡量了 $Z$ 先沿 $X$ 移动再沿 $Y$ 移动, 与先沿 $Y$ 移动再沿 $X$ 移动的差别, 正是 Riemann 流形 $M$ 的弯曲程度. 曲率张量的如下性质是标准的, 证明参见任一本 Riemann 几何教材, 如 [3].

定理 2.4.

1.	$R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z$.
2.	$R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$.
3.	$R(X,Y,Z,W)=R(Z,W,X,Y)$.
4.	$\mathrm{Ric}(X,Y)=\mathrm{Ric}(Y,X)$.

于是 $\mathrm{Ric}$ 是对称张量. Einstein 广义相对论中, 真空引力场方程具有形式 $\mathrm{Ric}=\lambda g$. 因此, 我们称对某个 $\lambda$ 满足此方程的 Riemann 流形为 Einstein 流形. 显然, 常曲率流形均为 Einstein 流形, 但我们也有别的例子, 如 ${\mathbb{C}\mathbb{P}}^n$.

以下我们讨论 Kähler 几何中的 Ricci 曲率, 并陈述 Calabi 猜想. 下设 $(M,g,\omega ,J)$ 是 Kähler 流形. 注意由于 $J$ 是等距变换, 即 $g(X,Y)=g(JX,JY)$, 我们有 $\mathrm{Ric}(X,Y)=\mathrm{Ric}(JX,JY)$. 于是如定义 $\mathrm{Ric}(\omega )(X,Y)=\mathrm{Ric}(JX,Y)$, 则 $\mathrm{Ric}(\omega )$ 成为非退化 $2$ 次外微分形式. 显然, $\mathrm{Ric}=\lambda g$ 当且仅当 $\mathrm{Ric}(\omega )=\lambda \omega$. $\mathrm{Ric}(\omega )$ 在局部上有如下表示, 证明参见 [2], 命题 4.A.11.

定理 2.5. $$\mathrm{Ric}(\omega )=-\sqrt{-1}\partial \bar{\partial }\log \det (g_{i\bar{j}}).$$

这样一来, $\mathrm{Ric}(\omega )$ 就是闭的, 且它的 de Rham 上同调类是 $2\pi c_1(M)$, 不依赖于 $g$ 与 $\omega$ 而只依赖于 $J$, 其中 $c_1(M)$ 是 $M$ 切丛作为复向量丛的第一陈类. 因此, Calabi 提出如下猜想:

猜想 2.6 (Calabi). 给定紧 Kähler 流形 $(M,g_0,{\omega }_0,J)$ 以及微分形式 $\rho \in 2\pi c_1(M)$. 我们可以唯一地修改 $M$ 的 Kähler 度量为 $(M,g,\omega ,J)$, 使得 $\omega$ 与 ${\omega }_0$ 处于同一 de Rham 上同调类, 且 $\mathrm{Ric}(\omega )=\rho$.

这种形式并不方便偏微分方程方法的运用. 为此, 丘成桐将其写成如下形式:

定理 2.7 (丘). 给定紧 Kähler 流形 $(M,g_0,{\omega }_0,J)$ 以及光滑实函数 $F$, 如$${\int }_M{e}^F{\omega }_0^n={\int }_M{\omega }_0^n,$$则存在唯一光滑实函数 $\phi$, 标准化为$${\int }_M\phi {\omega }_0^n=0,$$使得 $\omega ={\omega }_0+i\partial \bar{\partial }\phi$ 为 Kähler 形式 (即与 $J$ 相容, 且决定出的 $g$ 是正定 Riemann 度量), 且$${\omega }^n=e^F{\omega }_0^n.$$

这便成为一个偏微分方程问题, 称为复 Monge–Ampère 方程. 接下来的几节我们将解决它的存在唯一性. 以下将沿用丘定理中的记号. 在此之前, 我们先证明它能推出 Calabi 猜想.

证明. 由于 $\mathrm{Ric}({\omega }_0)$ 与 $\rho$ 同处一个 de Rham 上同调类, 由上节的 $\partial \bar{\partial }$ 引理以及 $\rho$ 和 $\mathrm{Ric}({\omega }_0)$ 都是实形式知 $\rho =\mathrm{Ric}({\omega }_0)-i\partial \bar{\partial }F$, 对某个 $F$. 加减常数, 可设$${\int }_M{e}^F{\omega }_0^n={\int }_M{\omega }_0^n.$$依丘定理我们找到 $\phi$, 并令 $\omega ={\omega }_0+i\partial \bar{\partial }\phi$, 那么 $\omega$ 与 ${\omega }_0$ 处于同一 de Rham 上同调类. 接下来需证明 $\mathrm{Ric}(\omega )=\rho$. 这是容易的: 由 $\omega$ 的局部坐标表达式我们知道, ${\omega }^n=e^F{\omega }_0^n$ 在局部坐标写出来, 无非就是 $\det (g_{i\bar{j}})=e^F\det ((g_0{)}_{i\bar{j}})$. 这样由 $\mathrm{Ric}$ 的局部坐标表达式,$$\mathrm{Ric}(\omega )=\mathrm{Ric}({\omega }_0)-\sqrt{-1}\partial \bar{\partial }F=\rho .$$

$\square$

这样我们就将 Calabi 猜想化为以上偏微分方程问题. 在证明其存在唯一性之前先看一个显然的应用.

推论 2.8. 如果 $c_1(M)=0$, 则每个 Kähler 上同调类中, 存在唯一 Kähler 度量使得它是 Einstein 度量 (称为 Kähler–Einstein 度量).

证明. 此为显然: 在 Calabi 猜想中取 $\rho =0$ 即可, 这样 $\mathrm{Ric}=0$, 显然满足系数 $\lambda =0$ 的 Einstein 场方程.

$\square$

这可视为 $0$ 曲率时复 Einstein 场方程的解; 事实上负曲率情形有早于丘的结果, 证明类似, 但篇幅所限就不讨论了.

3唯一性

本节先处理较容易的唯一性, Calabi 自己已经解决.

定理 3.1. 如 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 处同一上同调类, 即 ${\omega }_2={\omega }_1+\sqrt{-1}\partial \bar{\partial }\phi$ 对某光滑实函数 $\phi$, 且 ${\omega }_1^n={\omega }_2^n$, 则 ${\omega }_1={\omega }_2$.

证明. $$0={\omega }_1^n-{\omega }_2^n=({\omega }_1-{\omega }_2)\wedge ({\omega }_1^{n-1}+\cdots +{\omega }_2^{n-1})=-\sqrt{-1}\partial \bar{\partial }\phi \wedge ({\omega }_1^{n-1}+\cdots +{\omega }_2^{n-1}).$$乘以 $\phi$ 再积分, 由分部积分得到$${\int }_M\sqrt{-1}\partial \phi \wedge \bar{\partial }\phi \wedge ({\omega }_1^{n-1}+\cdots +{\omega }_2^{n-1})=0.$$这样定理便归结到以下引理.

$\square$

引理 3.2. 对两 Kähler 形式 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 与光滑实函数 $\phi$, 我们有$${\int }_M\sqrt{-1}\partial \phi \wedge \bar{\partial }\phi \wedge {\omega }_1^k\wedge {\omega }_2^{n-k-1}\ge 0,$$为 $0$ 当且仅当 $\phi$ 是常数.

证明. 由线性代数我们知道, 两个正定二次型可以同时对角化. 取标架, 同时对角化 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 对应的度量, 可设$${\omega }_1=\sqrt{-1}\sum _{i}d{z}_i\wedge d{\bar{z}}_i,{\omega }_2=\sqrt{-1}\sum _i{g}_{i\bar{i}}d{z}_i\wedge d{\bar{z}}_i,$$其中 $g_{i\bar{i}}>0$. 这样一来$${\omega }_1^k\wedge {\omega }_2^{n-k-1}=(\sqrt{-1}{)}^{n-1}\sum _{i,J,|J|=n-k-1,i\notin J}\prod _{j\in J}{g}_{j\bar{j}}\underset{\ell \ne i}{\bigwedge }d{z}_{\ell }\wedge d{\bar{z}}_{\ell }.$$鉴于 $\sqrt{-1}\partial \phi \wedge \bar{\partial }\phi =\sqrt{-1}{\sum }_{i,j}{\phi }_i{\phi }_{\bar{j}}d{z}_i\wedge d{\bar{z}}_j$, 可以看出在与上式外积之后, 只有 $i=j$ 项不消失. 由于 $\phi$ 是实函数, $\overline{{\phi }_i}={\phi }_{\bar{i}}$. 所以$$\partial \phi \wedge \bar{\partial }\phi \wedge {\omega }_1^k\wedge {\omega }_2^{n-k-1}=(\sqrt{-1}{)}^n\sum _{i,J,|J|=n-k-1,i\notin J}|{\phi }_i{|}^2\prod _{j\in J}{g}_{j\bar{j}}\underset{\ell \ne i}{\bigwedge }d{z}_{\ell }\wedge d{\bar{z}}_{\ell },$$这样积分 $\ge 0$, 取等当且仅当 $|{\phi }_i{|}^2=0$, 即 $\phi$ 是常数.

$\square$

4存在性

这是丘成桐证明的部分, 也是本读书报告的主要部分. 证明存在性用的方法是常用的连续性方法, 即考虑将方程的参数连续变化到一个具有显然解的情形. 例如这个方程, 我们考虑解 Kähler 形式 ${\omega }_t={\omega }_0+\sqrt{-1}\partial \bar{\partial }{\phi }_t$, 使得 ${\omega }_t^n=e^{tF+c_t}{\omega }_0^n$, 其中 $c_t$ 使得右边的积分与 ${\omega }_0^n$ 的积分相等. 那么 $t=0$ 时方程显然有解 ${\phi }_0=0$. 记 $S\subseteq [0,1]$ 为使方程有光滑解的 $t$ 的集合, 于是 $0\in S$. 我们想证明 $S=[0,1]$. 为此要证明 $S$ 是开的且是闭的. 开性基本由隐函数定理得出, 而闭性就需要具体估计. 以下随便取一个 $\alpha \in (0,1)$ 作为 Hölder 空间的参数.

在证开性之前先证明一个光滑化结论. 从以下局部坐标式子可以看出方程被称为复 Monge–Ampère 方程的原因.

定理 4.1. 如原方程有解 $\phi \in C^{2+\alpha }$, 则 $\phi \in C^{\infty }$.

证明. 令 $\omega ={\omega }_0+\sqrt{-1}\partial \bar{\partial }\phi$, $g$ 为相应的 Riemann 度量, 则$$\log \frac{{\omega }^n}{{\omega }_0^n}=F.$$写出局部坐标, 此式即$$\log \det (g_{i\bar{j}})-\log \det ((g_0{)}_{i\bar{j}})=\log \det ((g_0{)}_{i\bar{j}}+{\partial }_i{\partial }_{\bar{j}}\phi )-\log \det ((g_0{)}_{i\bar{j}})=F.$$求导得 (以 $(g^{i\bar{j}})$ 记 $(g_{i\bar{j}})$ 的逆矩阵, $g_0$ 同; 以下出现 $\phi$ 的三阶导, 暂时看成广义函数; 之后由椭圆正则性立知它是真的函数)$$\begin{array}{rl}{\partial }_{k}F& =\sum _{i,j}{g}^{i\bar{j}}{\partial }_k{g}_{i\bar{j}}-\sum _{i,j}(g_0{)}^{i\bar{j}}{\partial }_k(g_0{)}_{i\bar{j}}\\ & =\sum _{i,j}{g}^{i\bar{j}}({\partial }_k(g_0{)}_{i\bar{j}}+{\partial }_i{\partial }_{\bar{j}}{\partial }_k\phi )-\sum _{i,j}(g_0{)}^{i\bar{j}}{\partial }_k(g_0{)}_{i\bar{j}}\\ & =\Delta ({\partial }_k\phi )+\sum _{i,j}(g^{i\bar{j}}{\partial }_k(g_0{)}_{i\bar{j}}-(g_0{)}^{i\bar{j}}{\partial }_k(g_0{)}_{i\bar{j}}).\end{array}$$如 $\phi \in C^{2+\alpha }$, 则上式后一项是 $C^{\alpha }$ 的, 因其中最不光滑的东西是 $g^{i\bar{j}}$, 是某个含 $\phi$ 的两阶导的矩阵之逆的矩阵元 (由此可见使用 $C^{k+\alpha }$ 而不用 $W^{k,p}$ 的道理). 这样由椭圆正则性便知 ${\partial }_k\phi \in C^{2+\alpha }$, 于是 $\phi \in C^{3+\alpha }$. 如此迭代, 即可得到 $\phi \in C^{\infty }$.

$\square$

现在我们来证明

定理 4.2. $S$ 是开的.

证明. 设 $s\in S$, 那么我们已经可以解出 ${\omega }_s$. 以它代替 ${\omega }_0$, 我们可不妨设 $s=0$. 考虑 Kähler 流形 $(M,g_0,{\omega }_0,J)$, 以 Riemann 度量 $g_0$ 来定义 $M$ 上的函数空间, 并考虑 $C^{2+\alpha }$ 中积分为 $0$ 的函数构成的子空间 $C_0^{2+\alpha }$, 与 $C^{\alpha }$ 中取指数再减 $1$ 所得函数积分为 $0$ 的 (非线性) 空间 $C_{0^{\prime }}^{\alpha }$. 定义非线性算子$$\mathcal{F}:\mathbb{R}\times C_0^{2+\alpha }\to C_{0^{\prime }}^{\alpha }$$$$\mathcal{F}(t,\phi )=\log \frac{({\omega }_0+\sqrt{-1}\partial \bar{\partial }\phi {)}^n}{{\omega }_0^n}-tF-c_t,$$则 $\mathcal{F}(t,\phi )=0$ 时 $\phi$ 就是所求解. 显然 $\mathcal{F}(0,0)=0$. 如果我们能够证明算子 $\phi \mapsto \mathcal{F}(0,\phi )$ 在 $0$ 处具有可逆的导数, 则由隐函数定理, $t$ 在 $0$ 附近时就都有唯一的 $C^{2+\alpha }$ 解了. 注意 $C_{0^{\prime }}^{\alpha }$ 在 $0$ 处切空间就是 $C_0^{\alpha }$. 这个导数不难求出, 是$$\psi \mapsto \frac{n\sqrt{-1}\partial \bar{\partial }\psi \wedge {\omega }_0^{n-1}}{{\omega }_0^n}={\Delta }_0\psi ,$$其中 ${\Delta }_0$ 指关于度量 $g_0$ 的 Laplace 算子. 故此导数映射的核是所有调和函数. 由椭圆正则性, ${\Delta }_0$ 是 $C_0^{3+\alpha }$ 到 $C_0^{1+\alpha }$ 的同构, 故隐函数定理推出, 对 $0$ 附近的 $t$, 都存在 $C^{2+\alpha }$ 的解 ${\phi }_t$. 这样由前一个定理便知都存在光滑解, 我们就证明了 $S$ 是开集.

$\square$

为证 $S$ 是闭的, 只需证 $S$ 中每一个收敛列仍收敛到 $S$ 中. 如有收敛列 $t_i\to t_0$, 我们就有相应的光滑解 ${\phi }_{t_i}$. 如果证明它有子列 $C^{2+\alpha }$ 地收敛, 则收敛到的函数就是 $t_0$ 处方程的解. 那么应用 Arzela–Ascoli 定理, 我们只需证明在 $t_0$ 附近, ${\phi }_t$ 的 $C^{2+\alpha }$ 范数有一致界即可. 这样对于 ${\alpha }^{\prime }<\alpha$, 它就有子列在 $C^{2+{\alpha }^{\prime }}$ 范数下收敛了.

为此我们要先验估计 $\Vert {\phi }_t{\Vert }_{C^{2+\alpha }}$. 记 $\phi ={\phi }_t$, $\omega ={\omega }_t$, 以 $\Delta$ 记关于 $\omega$ 的 Laplace 算子, ${\Delta }_0$ 记关于 ${\omega }_0$ 的 Laplace 算子.

$C^0$ 估计

我们先估计 $\Vert \phi {\Vert }_{C^0}$. 此估计需使用 Moser 迭代技术. 为方便 Moser 迭代, 取 $\psi =\phi -\inf \phi +1$, 则 $\inf \psi =1$. 那么$${\int }_M{\psi }^p({\omega }_0^n-{\omega }^n)={\int }_M{\psi }^p(1-e^{tF+c_t}){\omega }_0^n\le C\Vert {\psi }^p{\Vert }_1\le C\Vert {\psi }^{p+1}{\Vert }_1;$$另一方面,$$\begin{array}{rl}{\int }_M{\psi }^p({\omega }_0^n-{\omega }^n)& =-{\int }_M\sqrt{-1}{\psi }^p\wedge \partial \bar{\partial }\psi \wedge ({\omega }_0^{n-1}+\cdots +{\omega }^{n-1})\\ & ={\int }_M\sqrt{-1}p{\psi }^{p-1}\partial \psi \wedge \bar{\partial }\psi \wedge ({\omega }_0^{n-1}+\cdots +{\omega }^{n-1})\ge {\int }_M\sqrt{-1}p{\psi }^{p-1}\partial \psi \wedge \bar{\partial }\psi \wedge {\omega }_0^{n-1}\\ & =\frac{4p}{(p+1{)}^2}{\int }_M\sqrt{-1}\partial {\psi }^{\frac{p+1}{2}}\wedge \bar{\partial }{\psi }^{\frac{p+1}{2}}\wedge {\omega }_0^{n-1}=\frac{p}{(p+1{)}^2}{\Vert {\psi }^{\frac{p+1}{2}}\Vert }_{W^{1,2}}^2\end{array}$$于是我们有对 $p\ge 1$$${\Vert {\psi }^{\frac{p+1}{2}}\Vert }_{W^{1,2}}\le C\frac{p+1}{\sqrt{p}}{\Vert {\psi }^{\frac{p+1}{2}}\Vert }_{L^2}.$$而由 Sobolev 不等式 (实维数为 $2n$)$${\Vert {\psi }^{\frac{p+1}{2}}\Vert }_{L^{\frac{2n}{n-1}}}\le C\left({\Vert {\psi }^{\frac{p+1}{2}}\Vert }_{W^{1,2}}+{\Vert {\psi }^{\frac{p+1}{2}}\Vert }_{L^2}\right)\le C\sqrt{p+1}{\Vert {\psi }^{\frac{p+1}{2}}\Vert }_{L^2},$$即$$\Vert \psi {\Vert }_{L^{\frac{(p+1)n}{n-1}}}\le C^{\frac{1}{p+1}}(p+1{)}^{\frac{1}{p+1}}\Vert \psi {\Vert }_{L^{p+1}}.$$这样指数 $\ge 2$ 时, 大的范数被指数小的范数控制, 于是我们可执行 Moser 迭代. 记 $q_j=2{\left(\frac{n}{n-1}\right)}^j$, 则每控制一次, 系数需要乘以 $C^{\frac{1}{q_j}}{q}_j^{\frac{1}{q_j}}$. 而$$\log \prod _{j=0}^{\infty }(C{q}_j{)}^{\frac{1}{q_j}}=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{1}{2}{\left(\frac{n-1}{n}\right)}^j\left(\log 2+\log C+j\log \frac{n}{n-1}\right)$$为收敛级数. 所以我们得到$$\Vert \psi {\Vert }_{C^0}=\Vert \psi {\Vert }_{L^{\infty }}\le C\Vert \psi {\Vert }_{L^2},$$故$$\Vert \phi {\Vert }_{C^0}\le C(\Vert \phi {\Vert }_{L^2}+1).$$注意在不等式$$\frac{p}{(p+1{)}^2}{\Vert {\psi }^{\frac{p+1}{2}}\Vert }_{W^{1,2}}^2\le {\int }_M{\psi }^p({\omega }_0^n-{\omega }^n)\le {\int }_{M}C{\psi }^p{\omega }_0^n=C\Vert {\psi }^p{\Vert }_1$$中不将 ${\psi }^p$ 放成 ${\psi }^{p+1}$, 直接取 $p=1$, 即得$$\Vert \psi {\Vert }_{W^{1,2}}^2\le C\Vert \psi {\Vert }_1.$$由 Poincaré 不等式 (注意 ${\int }_M\phi {\omega }_0^n=0$) 我们得到$$\Vert \phi {\Vert }_{L^2}\le C\Vert \phi {\Vert }_{W^{1,2}}\le C(\Vert \phi {\Vert }_{L^1}+1),$$故最后只需控制 $\Vert \phi {\Vert }_{L^1}$. 注意我们还有条件没用到, 即 $\omega ={\omega }_0+\partial \bar{\partial }\phi$ 定义 Kähler 度量. 写出坐标即是 $(g_{i\bar{j}})=((g_0{)}_{i\bar{j}}+{\phi }_{i\bar{j}})$ 为正定 Hermite 矩阵. 乘以 $((g_0{)}^{i\bar{j}})$ 再取迹, 即得 $n+{\Delta }_0\phi >0$. 这样, 以 $G(p,q)$ 记算子 ${\Delta }_0$ 的 Green 函数, 则$$\phi (p)=-{\int }_{M}G(p,q){\Delta }_0\phi (q){\omega }_0^n(q)<n{\int }_{M}G(p,q){\omega }_0^n(q)\le C,$$因为右边对 $p$ 连续, 而流形 $M$ 紧. 故 $\sup \phi \le C$. 这样由于 ${\int }_M\phi {\omega }_0^n=0$, 我们得到 $\Vert \phi {\Vert }_{L^1}\le C$. 这样就一致地估计了 $\Vert \phi {\Vert }_{C^0}$.

$C^2$ 估计

接下来我们估计 $\Vert \phi {\Vert }_{C^2}$. 由于已经估计出 $\Vert \phi {\Vert }_{C^0}$, 由 Schauder 估计, 只需估计 $\Vert {\Delta }_0\phi {\Vert }_{C^0}$. 注意上面已经得到 ${\Delta }_0\phi >-n$, 故只需估计其上界. 为此我们想得到形如 $\Delta u\ge u-C$ 的式子, 其中 $u={\Delta }_0\phi$ 或乘以某辅助函数; 这样在 $u$ 取最大值时 $\Delta u\le 0$, 便得到了 $u\le C$.

我们需要局部坐标具体计算. 为此取一点 $p$ 处的测地法坐标, 即设 $(g_0{)}_{i\bar{j}}(p)={\delta }_{ij}$ 为单位阵, 且 $\nabla (g_0{)}_{i\bar{j}}(p)=0$; 注意即便取测地法坐标, 我们仍有相当于 $U(n)$ 的自由度, 故可再对角化 $\phi$ 的 Hesse 矩阵, 即可设 $i\ne j$ 时 ${\phi }_{i\bar{j}}=0$. 令 $f=tF+c_t$, 则 $f$ 的各阶导数都有一致 (不依赖 $t$) 的界. 原方程即$$\log \det ((g_0{)}_{i\bar{j}}+{\partial }_i{\partial }_{\bar{j}}\phi )-\log \det ((g_0{)}_{i\bar{j}})=f.$$两边取 ${\Delta }_0$ 得 (注意 $p$ 点处 $g_0$ 一阶导消失)$${\Delta }_{0}f=(g_0{)}^{k\bar{\ell }}{f}_{k\bar{\ell }}=(g_0{)}^{k\bar{\ell }}{g}^{i\bar{j}}((g_0{)}_{i\bar{j},k\bar{\ell }}+{\phi }_{i\bar{j}k\bar{\ell }})-(g_0{)}^{k\bar{\ell }}{g}^{t\bar{j}}{g}^{i\bar{s}}{\phi }_{t\bar{s}\bar{\ell }}{\phi }_{i\bar{j}k}-(g_0{)}^{k\bar{\ell }}(g_0{)}^{i\bar{j}}(g_0{)}_{i\bar{j},k\bar{\ell }},$$其中 $g_{i\bar{j},k\bar{\ell }}$ 表示 ${\partial }_k{\bar{\partial }}_{\ell }{g}_{i\bar{j}}$, ${\phi }_{i\bar{j}k\bar{\ell }}$ 表示 ${\partial }_i{\bar{\partial }}_j{\partial }_k{\bar{\partial }}_{\ell }\phi$, 余类似. 而$$\Delta {\Delta }_0\phi =g^{k\bar{\ell }}((g_0{)}^{i\bar{j}}{\phi }_{i\bar{j}}{)}_{k\bar{\ell }}=g^{k\bar{\ell }}(g_0{)}^{i\bar{j}}{\phi }_{i\bar{j}k\bar{\ell }}+g^{k\bar{\ell }}(g_0{)}_{,k\bar{\ell }}^{i\bar{j}}{\phi }_{i\bar{j}}.$$将两式中 $\phi$ 的四阶导消去得到$$\Delta {\Delta }_0\phi =-(g_0{)}^{k\bar{\ell }}{g}^{i\bar{j}}(g_0{)}_{i\bar{j},k\bar{\ell }}+(g_0{)}^{k\bar{\ell }}{g}^{t\bar{j}}{g}^{i\bar{s}}{\phi }_{t\bar{s}\bar{\ell }}{\phi }_{i\bar{j}k}+(g_0{)}^{k\bar{\ell }}(g_0{)}^{i\bar{j}}(g_0{)}_{i\bar{j},k\bar{\ell }}+{\Delta }_{0}f+g^{k\bar{\ell }}(g_0{)}_{,k\bar{\ell }}^{i\bar{j}}{\phi }_{i\bar{j}}.$$在测地法坐标我们有 $p$ 点处曲率 $(R_0{)}_{i\bar{j}k\bar{\ell }}=-(g_0{)}_{i\bar{j},k\bar{\ell }}=(g_0{)}_{,k\bar{\ell }}^{i\bar{j}}$, 于是上式变成$$\Delta {\Delta }_0\phi ={\Delta }_{0}f+(g_0{)}^{k\bar{\ell }}\left(g^{t\bar{j}}{g}^{i\bar{s}}{\phi }_{t\bar{s}\bar{\ell }}{\phi }_{i\bar{j}k}+g^{i\bar{j}}(R_0{)}_{i\bar{j}k\bar{\ell }}-(g_0{)}^{i\bar{j}}(R_0{)}_{i\bar{j}k\bar{\ell }}\right)+g^{k\bar{\ell }}(R_0{)}_{i\bar{j}k\bar{\ell }}{\phi }_{i\bar{j}}.$$现在由于 $i\ne j$ 时 ${\phi }_{i\bar{j}}=0$, 所以有 $g_{i\bar{j}}=(g_0{)}_{i\bar{j}}+{\phi }_{i\bar{j}}={\delta }_{ij}(1+{\phi }_{i\bar{i}})$, $g^{i\bar{j}}=\frac{{\delta }_{ij}}{1+{\phi }_{i\bar{i}}}$. 由 $(g_0{)}_{i\bar{j}}=(g_0{)}^{i\bar{j}}={\delta }_{ij}$, 故上式变为$$\Delta {\Delta }_0\phi ={\Delta }_{0}f+\frac{1}{1+{\phi }_{i\bar{i}}}\frac{1}{1+{\phi }_{j\bar{j}}}{\phi }_{\bar{i}jk}{\phi }_{i\bar{j}k}+(R_0{)}_{i\bar{i}k\bar{k}}\left(\frac{1}{1+{\phi }_{i\bar{i}}}+\frac{{\phi }_{i\bar{i}}}{1+{\phi }_{k\bar{k}}}-1\right).$$而 $M$ 紧, $g_0$ 是固定的度量, 故每点处测地法坐标展开出来的 $(R_0{)}_{i\bar{i}k\bar{k}}$ 之模长具有一致界 $C$. 另外由于 $g$ 也是度量, 我们有 $1+{\phi }_{i\bar{i}}>0$. 这样便有 (由于 $(R_0{)}_{i\bar{j}k\bar{\ell }}=(R_0{)}_{k\bar{\ell }i\bar{j}}$)$$\begin{array}{rl}(R_0{)}_{i\bar{i}k\bar{k}}\left(\frac{1}{1+{\phi }_{i\bar{i}}}+\frac{{\phi }_{i\bar{i}}}{1+{\phi }_{k\bar{k}}}-1\right)& =(R_0{)}_{i\bar{i}k\bar{k}}\frac{{\phi }_{i\bar{i}}({\phi }_{i\bar{i}}-{\phi }_{k\bar{k}})}{(1+{\phi }_{i\bar{i}})(1+{\phi }_{k\bar{k}})}\\ & =\frac{1}{2}(R_0{)}_{i\bar{i}k\bar{k}}\frac{({\phi }_{i\bar{i}}-{\phi }_{k\bar{k}}{)}^2}{(1+{\phi }_{i\bar{i}})(1+{\phi }_{k\bar{k}})}\ge -\frac{C}{2}\frac{({\phi }_{i\bar{i}}-{\phi }_{k\bar{k}}{)}^2}{(1+{\phi }_{i\bar{i}})(1+{\phi }_{k\bar{k}})}\\ & =-C\left(\frac{1+{\phi }_{k\bar{k}}}{1+{\phi }_{i\bar{i}}}-1\right)=-C\left((n+{\Delta }_0\phi )\sum _i\frac{1}{1+{\phi }_{i\bar{i}}}-n^2\right),\end{array}$$于是$$\Delta {\Delta }_0\phi \ge {\Delta }_{0}f+\frac{1}{1+{\phi }_{i\bar{i}}}\frac{1}{1+{\phi }_{j\bar{j}}}{\phi }_{\bar{i}jk}{\phi }_{i\bar{j}k}-C\left((n+{\Delta }_0\phi )\sum _i\frac{1}{1+{\phi }_{i\bar{i}}}-n^2\right),$$其中最后一个等号是因为我们在对重复指标求和. 现在令 $\varphi =\phi -\sup \phi -1\le -1$, 并取辅助函数 $u=e^{-\lambda \varphi }(n+{\Delta }_0\varphi )>n+{\Delta }_0\varphi$, $\lambda >0$ 待定. 则 (以下 $|\cdot |$ 是对度量 $g$ 而不是 $g_0$ 的模长, 内积也是)$$\begin{array}{rl}\Delta u& =e^{-\lambda \varphi }\Delta {\Delta }_0\varphi +2\nabla e^{-\lambda \varphi }\cdot \nabla {\Delta }_0\varphi +\Delta e^{-\lambda \varphi }(n+{\Delta }_0\varphi )\\ & =e^{-\lambda \varphi }\Delta {\Delta }_0\varphi -\lambda e^{-\lambda \varphi }{g}^{i\bar{i}}{\varphi }_i({\Delta }_0\varphi {)}_{\bar{i}}-\lambda e^{-\lambda \varphi }{g}^{i\bar{i}}{\varphi }_{\bar{i}}({\Delta }_0\varphi {)}_i\\ & -\lambda e^{-\lambda \varphi }\Delta \varphi (n+{\Delta }_0\varphi )+{\lambda }^2{e}^{-\lambda \varphi }|\nabla \varphi {|}^2(n+{\Delta }_0\varphi ).\end{array}$$用 Cauchy 不等式$${\lambda }^2{e}^{-\lambda \varphi }|\nabla \varphi {|}^2(n+{\Delta }_0\varphi )+e^{-\lambda \varphi }|\nabla {\Delta }_0\varphi {|}^2(n+{\Delta }_0\varphi {)}^{-1}\ge 2\lambda e^{-\lambda \varphi }\nabla \varphi \cdot {\Delta }_0\varphi$$知$$\Delta u\ge e^{-\lambda \varphi }\Delta {\Delta }_0\varphi -\lambda e^{-\lambda \varphi }\Delta \varphi (n+{\Delta }_0\varphi )-e^{-\lambda \varphi }|\nabla {\Delta }_0\varphi {|}^2(n+{\Delta }_0\varphi {)}^{-1}.$$而因为 $g^{i\bar{j}}=\frac{{\delta }_{ij}}{1+{\phi }_{i\bar{i}}}=\frac{{\delta }_{ij}}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}$$$\begin{array}{r}\Delta {\Delta }_0\varphi -|\nabla {\Delta }_0\varphi {|}^2(n+{\Delta }_0\varphi {)}^{-1}=-(n+{\Delta }_0\varphi {)}^{-1}\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}({\Delta }_0\varphi {)}_i({\Delta }_0\varphi {)}_{\bar{i}}\\ \ge -(n+{\Delta }_0\varphi {)}^{-1}\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}|{\varphi }_{j\bar{j}i}{|}^2+{\Delta }_{0}f+\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}\frac{1}{1+{\varphi }_{j\bar{j}}}{\varphi }_{\bar{i}jk}{\varphi }_{i\bar{j}k}-C(n+{\Delta }_0\varphi )\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}},\end{array}$$其中常数 $C{n}^2$ 舍去. 再次由 Cauchy 不等式$$\begin{array}{r}(n+{\Delta }_0\varphi {)}^{-1}\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}|{\varphi }_{j\bar{j}i}{|}^2=(n+{\Delta }_0\varphi {)}^{-1}\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}{\left|\frac{{\varphi }_{j\bar{j}i}}{\sqrt{1+{\varphi }_{j\bar{j}}}}\sqrt{1+{\varphi }_{j\bar{j}}}\right|}^2\\ \le (n+{\Delta }_0\varphi {)}^{-1}\left(\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}\frac{1}{1+{\varphi }_{j\bar{j}}}|{\varphi }_{j\bar{j}i}{|}^2\right)(1+{\varphi }_{k\bar{k}})=\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}\frac{1}{1+{\varphi }_{j\bar{j}}}|{\varphi }_{ij\bar{j}}{|}^2\\ \le \frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}\frac{1}{1+{\varphi }_{j\bar{j}}}{\varphi }_{\bar{i}jk}{\varphi }_{i\bar{j}k},\end{array}$$所以$$\Delta {\Delta }_0\varphi -|\nabla {\Delta }_0\varphi {|}^2(n+{\Delta }_0\varphi {)}^{-1}\ge {\Delta }_{0}f-C(n+{\Delta }_0\varphi )\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}},$$于是最终$$\Delta u\ge e^{-\lambda \varphi }\left({\Delta }_{0}f-C(n+{\Delta }_0\varphi )\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}\right)-\lambda e^{-\lambda \varphi }\Delta \varphi (n+{\Delta }_0\varphi );$$鉴于 $\Delta \varphi =g^{i\bar{i}}{\varphi }_{i\bar{i}}=\frac{{\varphi }_{i\bar{i}}}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}=n-{\sum }_i\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}$, 上式右边即 (补上求和号)$$e^{-\lambda \varphi }\left({\Delta }_{0}f-C(n+{\Delta }_0\varphi )\sum _i\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}\right)-\lambda e^{-\lambda \varphi }\left(n-\sum _i\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}\right)(n+{\Delta }_0\varphi ).$$现在取 $\lambda =C+1$, 由于 ${\Delta }_{0}f$ 有一致界, 故$$\Delta u\ge -C_1{e}^{\lambda \varphi }-C_2{e}^{\lambda \varphi }(n+{\Delta }_0\varphi )+e^{-\lambda \varphi }\sum _i\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}(n+{\Delta }_0\varphi ).$$由初等不等式以及 $\det (g_{i\bar{j}})=e^f\det ((g_0{)}_{i\bar{j}})$ 有$$\sum _i\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}\ge {\left(\frac{{\sum }_i(1+{\varphi }_{i\bar{i}})}{{\prod }_i(1+{\varphi }_{i\bar{i}})}\right)}^{\frac{1}{n-1}}=e^{-\frac{f}{n-1}}(n+{\Delta }_0\varphi {)}^{n-1},$$于是由于 $\varphi$ 有 $C^0$ 估计, 我们得到$$e^{-\lambda \varphi }\sum _i\frac{1}{1+{\varphi }_{i\bar{i}}}(n+{\Delta }_0\varphi )\ge C(e^{-\lambda \varphi }(n+{\Delta }_0\varphi ){)}^{\frac{n}{n-1}}.$$最后$$\Delta u\ge -C_1-C_{2}u+C{u}^{\frac{n}{n-1}}.$$现在如果 $u$ 在 $p$ 处取最大值, 则在此处 $\Delta u\le 0$, 所以此处 $u$ 有一致的, 仅依赖于 $C,C_1,C_2$ 的上界. 这样一来, ${\Delta }_0\phi ={\Delta }_0\varphi =u{e}^{\lambda \varphi }$ 就有一致上界. 于是我们得到 $\phi$ 的 $C^2$ 估计.

$C^{2+\alpha }$ 估计

我们还需要 $\phi$ 的 $C^{2+\alpha }$ 估计以完成证明. 仍在一点 $p$ 附近取测地法坐标邻域 $U\hookrightarrow {\mathbb{C}}^n$, $p\mapsto 0$. 令 $\Omega$ 为 $U$ 的像, $u:\Omega \to \mathbb{R}$ 定义为 $u(z)=\frac{1}{2}|z{|}^2+\phi (z)$. 则由于 ${\omega }_0+\sqrt{-1}\partial \bar{\partial }\phi$ 仍为度量, $u$ 在 $0$ 附近多次调和 (即限制在每条复直线上次调和, 等价于 Hesse 矩阵 $(u_{i\bar{j}})$ 正定 Hermite. 事实上此矩阵在 $0$ 处正是 $g_{i\bar{j}}$). 缩小 $\Omega$ 可设 $u$ 多次调和. 这样 $\phi$ 的 $C^{2+\alpha }$ 估计等价于 $u$ 的 $C^{2+\alpha }$ 估计. 由于我们已经有 $C^2$ 估计, 且此处 $\det (u_{i\bar{j}})\approx e^{F_t}\det ((g_0{)}_{i\bar{j}})$ 各阶导数都有先验估计, 问题也就化归到以下椭圆方程理论的定理:

定理 4.3. 设 ${\Omega }^{\prime }⋐\Omega ⋐{\mathbb{C}}^n$ 开, $u:\Omega \to \mathbb{R}$ 光滑且多次调和. 设 $f=\det (u_{i\bar{j}})$ 在 $\Omega$ 上有界且有正的下确界. 那么存在 $\alpha \in (0,1)$, 仅依赖于 $n$, $\Vert u{\Vert }_{C^2}$, $\Vert f{\Vert }_{C^2}$, $({\inf }_{\Omega }f{)}^{-1}$, 以及除此之外仅依赖于 $d({\Omega }^{\prime },\partial \Omega )$ 的 $C$, 使得$$\Vert u{\Vert }_{C^{2+\alpha }}\le C.$$

显然, 一旦有了这个定理, 用有限个坐标卡覆盖 $M$, 即可得到 $\phi$ 的整体 $C^{2+\alpha }$ 估计.

在证这个定理之前我们先证两个线性代数引理. 以 $\mathcal{H}$ 记 $n$ 维 Hermite 矩阵构成的线性空间, ${\mathcal{H}}_{+}$ 记其中正定者构成的子集.

引理 4.4. 对 $A\in {\mathcal{H}}_{+}$,$$\det (A{)}^{1/n}=\frac{1}{n}\inf \{\mathrm{tr}(AB):B\in {\mathcal{H}}_{+},\det (B)=1\}.$$

证明. 由于 $AB$ 相似于正定矩阵 $\sqrt{B}A\sqrt{B}$, 故其所有特征值皆正. 故 $\det (B)=1$ 时我们总有$$\frac{1}{n}\mathrm{tr}(AB)\ge \det (AB{)}^{1/n}=\det (A{)}^{1/n},$$于是 $\det (A{)}^{1/n}\le \frac{1}{n}\inf \{\mathrm{tr}(AB):B\in {\mathcal{H}}_{+},\det (B)=1\}$. 取 $B=\det (A{)}^{1/n}{A}^{-1}$ 知能取等.

$\square$

此引理说明 $A\mapsto \det (A{)}^{1/n}$ 是凹函数. 那么 $\log \det (A)$ 也是凹函数.

引理 4.5. 对 $\Lambda >\lambda >0$, 以 $S(\lambda ,\Lambda )$ 记所有特征值落在 $[\lambda ,\Lambda ]$ 内的 Hermite 矩阵的集合. 那么存在单位向量 ${\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_N$, 包含 ${\mathbb{C}}^n$ 的标准正交基, 以及 ${\Lambda }_{\ast }>{\lambda }_{\ast }>0$, 仅依赖于 $n,\lambda ,\Lambda$, 使得每个 $A\in S(\lambda ,\Lambda )$ 均可写成$$A=\sum _{i=1}^N{a}_i{\zeta }_i{\zeta }_i^{\ast },$$${\lambda }_{\ast }\le a_i\le {\Lambda }_{\ast }$, 其中 ${}^{\ast }$ 指共轭转置.

证明. 对任意的单位向量 $v_1,\dots ,v_m$ 与 $L>\ell >0$ 我们记$$S(v_1,\dots ,v_m;\ell ,L)=\left\{\sum _{i=1}^N{a}_i{v}_i{v}_i^{\ast }:\ell \le a_i\le L\right\},$$则因 Hermite 矩阵都能酉对角化, 可知 $m$ 取遍正整数而 $\ell ,L$ 取遍正实数时, $S(v_1,\dots ,v_m;\ell ,L)$ 覆盖 ${\mathcal{H}}_{+}$. 注意线性无关的 $v_i{v}_i^{\ast }$ 足够多时 $S(v_1,\dots ,v_m;\ell ,L)$ 成为开集, 故 $S(v_1,\dots ,v_m;\ell ,L)$ 中开的那些构成 ${\mathcal{H}}_{+}$ 的开覆盖. 而 $S(\lambda ,\Lambda )\subseteq {\mathcal{H}}_{+}$ 紧 (同样因为酉对角化, 它是 $U(n)\times [\lambda ,\Lambda {]}^n\times U(n)$ 在连续映射下的像), 所以以上开覆盖存在有限子覆盖, 引理得证.

$\square$

最后我们来证明定理.

证明. 对向量 $\zeta =({\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n)$ 我们定义方向导数 ${\phi }_{\zeta }={\sum }_i{\zeta }_i{\phi }_i$, ${\phi }_{\bar{\zeta }}={\sum }_i{\zeta }_i{\phi }_{\bar{i}}$. 以下先固定单位向量 $\zeta$. 对 $\det (u_{i\bar{j}})=f$ 两边取对数之后取 ${\partial }_{\zeta }$ 与 ${\bar{\partial }}_{\zeta }$, 得 (以下 $u^{i\bar{j}}$ 是 $u_{i\bar{j}}$ 的逆矩阵)$$u^{i\bar{j}}{u}_{\zeta \bar{\zeta }i\bar{j}}-u^{i\bar{\ell }}{u}^{k\bar{j}}{u}_{\zeta i\bar{j}}{u}_{\bar{\zeta }k\bar{\ell }}=(\log f{)}_{\zeta \bar{\zeta }}.$$由于 $\log \det$ 是凹函数, $u^{i\bar{\ell }}{u}^{k\bar{j}}{u}_{\zeta i\bar{j}}{u}_{\bar{\zeta }k\bar{\ell }}\le 0$, 从而 $u^{i\bar{j}}{u}_{\zeta \bar{\zeta }i\bar{j}}\ge (\log f{)}_{\zeta \bar{\zeta }}$. 我们将此不等式写成散度形式. 令 $a^{i\bar{j}}=f{u}^{i\bar{j}}$, 则$$(a^{i\bar{j}}{)}_{\bar{j}}=f(u^{i\bar{j}}{u}^{k\bar{\ell }}-u^{i\bar{\ell }}{u}^{k\bar{j}})u_{k\bar{\ell }\bar{j}}=0,$$因重复指标自动求和. 于是$$(a^{i\bar{j}}{u}_{\zeta \bar{\zeta }i}{)}_{\bar{j}}\ge f(\log f{)}_{\zeta \bar{\zeta }}\ge -C.$$这样对任意 $z_0\in {\Omega }^{\prime }$ 以及 $B_{4r}=B(z_0,4r)\subseteq \Omega$, 由上式左边算子的椭圆性 (来源于矩阵 $a^{i\bar{j}}$ 的正定性), 有弱 Harnack 不等式 (见 [4], 定理 8.18)$$r^{-2n}{\int }_{B_r}\left(\underset{B_{4r}}{\sup }{u}_{\zeta \bar{\zeta }}-u_{\zeta \bar{\zeta }}\right)\le C\left(\underset{B_{4r}}{\sup }{u}_{\zeta \bar{\zeta }}-\underset{B_r}{\sup }{u}_{\zeta \bar{\zeta }}+r\right).$$另外, 对 $x,y\in \Omega$, 以上引理给出 $u^{i\bar{j}}(y)u_{i\bar{j}}(x)\ge n\det (u^{i\bar{j}})(y{)}^{1/n}\det (u_{i\bar{j}})(x{)}^{1/n}$, 于是$$a^{i\bar{j}}(y)(u_{i\bar{j}}(y)-u_{i\bar{j}}(x))\le nf(y{)}^{1-1/n}(f(y{)}^{1/n}-f(x{)}^{1/n})\le C|x-y|.$$现在由于 $u$ 的特征值有正的上下界 (因行列式如此), 我们可用另一个引理, 得到包含标准正交基的 ${\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_N$, 以及有一致界的 $b_1(y),\dots ,b_N(y)$, 使得$$a^{i\bar{j}}(y)(u_{i\bar{j}}(y)-u_{i\bar{j}}(x))=\sum _{i=1}^N{b}_i(y)(u_{{\zeta }_i\overline{{\zeta }_i}}(y)-u_{{\zeta }_i\overline{{\zeta }_i}}(x)).$$记 $M_{i,r}={\sup }_{B_r}{u}_{{\zeta }_i\overline{{\zeta }_i}}$, $m_{i,r}={\inf }_{B_r}{u}_{{\zeta }_i\overline{{\zeta }_i}}$, $\eta (r)={\sum }_{i=1}^N(M_{i,r}-m_{i,r})$, 则只需证存在 $\alpha$ 使得 $\eta (r)\le C{r}^{\alpha }$. 由等比数列求和我们知道这等价于存在 $\delta \in (0,1)$ 使得 $\eta (r)\le \delta \eta (4r)+Cr$. 下证之.

现在我们有$$\sum _{i=1}^N{b}_i(y)(u_{{\zeta }_i\overline{{\zeta }_i}}(y)-u_{{\zeta }_i\overline{{\zeta }_i}}(x))\le C|x-y|,$$于是对 $x\in B_{4r},y\in B_r$$$b_i(y)(u_{{\zeta }_i\overline{{\zeta }_i}}(y)-u_{{\zeta }_i\overline{{\zeta }_i}}(x))\le C|x-y|+\sum _{j\ne i}{b}_j(y)(u_{{\zeta }_j\overline{{\zeta }_j}}(x)-u_{{\zeta }_j\overline{{\zeta }_j}}(y));$$把左边对 $x$ 取下确界, 右边取上确界, 由于 $b_i(y)$ 有一致界, 得$$u_{{\zeta }_i\overline{{\zeta }_i}}(y)-m_{i,4r}\le C\left(r+\sum _{j\ne i}(M_{j,r}-u_{{\zeta }_j\overline{{\zeta }_j}}(y))\right).$$将 Harnack 不等式对 ${\zeta }_j,j\ne i$ 求和又有$$r^{-2n}{\int }_{B_r}\sum _{j\ne i}(M_{j,4r}-u_{{\zeta }_j\overline{{\zeta }_j}})\le C(\eta (4r)-\eta (r)+r);$$积分再相加得$$r^{-2n}{\int }_{B_r}(u_{{\zeta }_i\overline{{\zeta }_i}}(y)-m_{i,4r})\le C(\eta (4r)-\eta (r)+r);$$再与 Harnack 不等式相加, 得到$$\eta (r)\le C(\eta (4r)-\eta (r)+r),$$即为欲证.

$\square$

参考文献

[1]	Newlander, A.; Nirenberg, L., “Complex analytic coordinates in almost complex manifolds”. Ann. of Math. (2) 65 (1957), 391–404.
[2]	Huybrechts, Daniel, Complex Geometry: An Introduction, Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2005.
[3]	do Carmo, Manfredo Perdigäo, Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.
[4]	Gilbarg, David; Trudinger, Neil S., Elliptic partial differential equations of second order. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 224. Springer-Verlag, Berlin, 1983.
[5]	Tian, Gang, Canonical metrics in Kähler geometry. Notes taken by Meike Akveld. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 2000.
[6]	Błocki, Z., “The Calabi-Yau theorem”, course given at the Winter School in Complex Analysis, Toulouse, January 2005, appeared in Complex Monge-Ampère equations and geodesics in the space of Kähler metrics, Edited by Vincent Guedj. Lecture Notes in Mathematics 2038, pp. 201–227, Springer, Heidelberg, 2012.