用户: 遗忘的左伴随/平展调料包讲义/引言

概观

本文旨在科普意义上回答三个问题:

•	我们为什么需要平展上同调?
•	平展上同调能做什么?
•	对于平展的未来有什么展望?

问题一

在代数拓扑中, 我们已经学到奇异同调与奇异上同调等相关不变量, 以及其所具有的文明性质, e.g.:

定理 0.1 (Poincaré 对偶). 设 $X$ 是紧可定向 $n$ 维流形, $G$ 是 Abel 群, 有同构$$(-)⌢[X]:H^k(X;G)\simeq H_{n-k}(X;G).$$

定理 0.2 (Künneth 公式). 设 $X$,$Y$ 是拓扑空间, 考虑域系数上的奇异上同调, 若我们对 $H^i(X)$ 都有有限生成, 我们有$$H^n(X\times Y)\simeq \underset{p+q=n}{⨁}{H}^p(X)\otimes H^q(Y).$$

定理 0.3 (奇异常值比较). 设 $X$ 是局部可缩空间, 对任何交换环 $G$ 有典范同构$$H_{\text{sing}}^i(X,G)\cong H^i(X,\underline{G}).$$

一个很自然的问题是, 我们能不能在代数几何中得到这样的东西呢? 自然而然我们可能会考虑已有的 Zariski 拓扑, 但 Zariski 拓扑太过松, 有以下问题:

定理 0.4. 对不可约空间 $X$, 常值层 $A$, 若 $i\ge 0$ 则 $H^i(X,A)=0$.

于是我们为了定义一个类似奇异上同调这样含有大量信息, 具有良好性质的上同调理论 (实际上可以归结为 Weil 上同调), 于是平展上同调应运而生.
另一问题在于, 我们如何定义一个具有代数几何意味的上同调理论, 同时不会出现以上的不良情况, 我们需要相比 Zariski 拓扑添入更多的开集, 但是代数几何所使用的 Zariski 拓扑抽象至极, 甚至不能要求具有基本的 $T_2$, 所以我们不能直接从拓扑意义上的添入开集, 因此在 Grothendieck 的伟大思想下, 考虑一种由态射定义的拓扑, 即 Grothendieck 拓扑:

定义 0.5 (景). 景 (site) 是二元资料 $(\mathcal{C},\mathrm{Cov}(\mathcal{C}))$, 其中 $\mathcal{C}$ 是 1-范畴,$\mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 是形如 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$, 其中 $U_i,U\in \mathrm{Ob}\mathcal{C}$ 的态射构成的类, 满足以下条件:

1.	对同构 $V\to U$, 我们有 $\{V\to U\}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.
2.	如果 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$, 且对于每个 $i\in I$ 有 $\{U_{ij}\to U_i{\}}_{j\in I_i}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$, 那么, 我们有 $\{U_{ij}\to U{\}}_{i\in I,j\in I_i}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.(类似于开集的并)
3.	对 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 以及任意映射 $V\to U$ 有纤维积 $U_i\underset{U}{\times }V$ 存在, 且 $\{U_i\underset{U}{\times }V\to V{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.(类比于开集的交).

注 0.6. 由以上例子, 我们把 $\mathcal{C}$ 中的对象称为开集,$\mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 中的元素称为覆盖.

在其中取 $\mathrm{Cov}$ 为平展态射, 我们即可得到平展景. 由此允我们得到有平展态射作为局部坐标的拓扑. 这使得更多的信息得以保留, 几何对象可以被定义.
同时我们有以下定理

定理 0.7. 对一个 $\mathbb{C}$ 上的非奇异代数簇 $X,X^{\mathrm{an}}$ 为其解析化$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\bullet }(X,A)\simeq H^{\bullet }(X^{\mathrm{an}},A)$$其中 $A$ 是合适的系数.

以及平展上同调同样由这样良好的结果

定理 0.8 (Künneth). 考虑纤维积若 $\Lambda$ 挠且我们有 $f,g$ 紧合的条件, 则有$$R{f}_{\ast }E\underset{\Lambda }{\stackrel{\mathrm{L}}{\otimes }}R{g}_{\ast }K\simeq R{h}_{\ast }(p^{-1}E\underset{\Lambda }{\stackrel{\mathrm{L}}{\otimes }}{q}^{-1}K).$$

定理 0.9 (Poincaré 对偶). 设 $X$ 是可分闭域 $k$ 上的纯 $d$ 维光滑紧化概形, 对于 $\mathcal{F}\in \text{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 有典范同构$${\mathrm{Ext}}_{\Lambda }^{2d-q}(\mathcal{F},\Lambda (d))\simeq {\mathrm{Hom}}_{\Lambda }(H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F}),\Lambda ).$$若 $\mathcal{F}\in \mathrm{Loc}(X,\Lambda )$, 则有同构: $$H^{2d-q}(X,{\mathcal{H}\mathrm{om}}_{\Lambda }(\mathcal{F},\Lambda (d)))\simeq {\mathrm{Hom}}_{\Lambda }(H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F}),\Lambda ).$$其中 $\Lambda$ 为挠系数.

我们由此得到了一个非常好的上同调理论, 可谓居家旅行必备.
另一个动机在于 Weil 猜想的需求:

猜想 0.10 (Weil). 设 $X$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上 $n$ 维光滑紧合几何整的簇, 设$$S_X(t)=\exp \left(\sum _{n>0}\frac{\#X({\mathbb{F}}_{q^n})}{n}{t}^n\right),$$则

1.	函数 $S_X(t)$ 是有理函数, 即 $S_X(t)={\prod }_{i=0}^{2n}(-1{)}^{i+1}{S}_i(t)$, 其中 $S_i$ 是满足一定条件的整系数多项式.
2.	满足函数方程 $S_X(q^{-n}{t}^{-1})=\pm q^{nE/2}{t}^E{S}_X(t)$ 其中 $E$ 为 $X$ 的 Euler 示性数.
3.	所有零点和极点的绝对值为 $q^{j/2}$ 其中 $j\in \mathbb{Z}$.
4.	若 $X$ 提升为代数整数环 $R\subset \mathbb{C}$ 上的光滑射影簇 $Y$, 则对于 $i=0,\cdots ,2n$, 流形 $Y(\mathbb{C})$ 的 Betti 数为 $S_i(t)$ 的次数为 $b_i$

证明. Dwork[??] 使用 $p$ 进分析的方法成功证明了 1.
Grothendieck[??] 证明了 2.
Delign[??] 证明了 3. 和 4.

$\square$

证明 Weil 猜想的过程中, 需要使用合适的上同调理论通过迹公式来进行证明. 于是 Grothendieck-Lefshetz 迹公式成为了 Weil 猜想的主要定理之一.

定理 0.11 (Grothendieck-Lefshetz 迹公式). 设 $\Lambda$ 为有限环且 $X$ 是有限域 $k$ 上的代数簇, 设 $K\in D_{\mathrm{perf}}(X,\Lambda )$, 且 $\Lambda$ 的基数在 $k$ 中可逆, 则$$\mathrm{Tr}({\pi }_X^{\ast }{\mid }_{R{\Gamma }_c(X_{\overline{k}},K{\mid }_{X_{\overline{k}}})})=\sum _{x\in X(k)}\mathrm{Tr}({\pi }_x{\mid }_{K_{\overline{x}}})\in {\Lambda }^{♮}$$其中左侧为整体 Lefshetz 数, 右侧为局部 Lefshetz 数.

这就是我们需要发展平展上同调的原因.

问题二

这个问题可以分为好几个观点来回答:

1.	有鸽子
2.	我直说了是子环

问题三

主线 (待撰写)

编者致谢

在编撰整理阶段承蒙平展讨论班各位的理解与襄助, 一个人显然是无法完成这等任务的, 在编撰过程中考虑到电子版阅读需求, 尽可能使用一些网络资源如 The Stacks Project, MathOverflow,Mathematics Stack Exchange,nLab,香蕉空间等, 方便读者进行检索.
 此外, 采用了北京大学李文威教授的 LaTeX 模板, 交换图表的编辑使用了 quiver, 感谢以上作者在技术以及知识上的无私分享!
 对于不适应电子版阅读的读者, 请看脚注 ¹, 将给出教材中对应的内容, 在平展上同调上主要参考教材有扶磊 [??], J.S.Milne[??], Freitag[??]. 代数基础与同调代数内容参见代数学方法卷一 [??], 代数学方法卷二 [??], 交换代数内容参见许金兴 [??]. 关于代数几何知识, 在此诚挚建议读者读完 Hartshorne[??] 的前 3 章, 部分重要的技术工具可以在附录 ?? 中查询, 至于其它附录则为与主线无关的部分 (如使用平展上同调分析曲面的不变量).
此外, 引用的线上资料还包括 cyb 酱代数基本观念 I[??], 王进一意象理论讲义 [??],