用户: Cybcat/数学物理学家用的数学/量子上同调 (一)

这是我在施哥讨论班要讲内容的讲义. 在第一部分我们主要追随 Rahul Pandharipande 的文章 Cohomological Field Theory Calculations.

1上同调场论 (CohFT) 及其公理

上同调场论 (Cohomological field theories CohFTs) 是 Kontsevich 和 Manin 在上世纪 90 年代自主研发的一款公理化场论. 他的诞生更好地公理化了 Gromov-Witten 理论, 并提供了一种研究场论的一般工具. 其细节大量地涉及到曲线的模空间以及上面的相交理论, 简单来说, 它总结了涉及曲线模空间的几个场论的一般性质, 某种意义上说, 可以认为是研究某种计数问题和不变量的公理化和系统化阐述.

让我们首先回顾曲线模空间的一些基本构造. 这些记号是标准的, 在本讲义中我们始终使用如下的记号.

定义 1.1. 记号说明.

表示亏格 带有 个标记点的稳定曲线的 Deligne-Mumford 模空间.

表示遗忘最后一个标记点的遗忘 (forgetful) 映射 (注意真实操作中需要作稳定化).

表示粘接最后两个标记点的内粘合 (inner gluing) 映射.

表示粘接两个模空间最后一个标记点的外粘合 (outer gluing) 映射. 这里 .

表示亏格 带有 个标记点到 的像 的稳定映射构成的模空间.

表示遗忘掉映射, 只记录 (稳定化的) 曲线的信息. 这里 .

表示观察标记点 的像, 这里 .

对同调类 , 定义对应的 Gromov-Witten 类而对应的 Gromov-Witten 不变量为

那么什么是上同调场论呢?

定义 1.2 (上同调场论). 一个上同调场论包含了如下的信息:

是一个有限维 -线性空间.

上的一个非退化对称双线性型.

一族线性映射 . 具体来说:

那么对张量 , 当代入 个元素 后, 得到称为关联的同调类 (the cohomology class associated with -s).

这些 满足一系列公理. 将在后文中介绍.

我们应该如何想象这些资料? 实际上, 在具体应用中 一般是一个流形或者其他几何对象 的上同调环. 而 则是上面的 Poincare pairing, 也就是 表示 中顶维上同调的系数, 具有熟知的非退化性. 最后这些 , 它们实际上可以类比为 Gromov Witten 理论中的 , 它们即将要在模空间 中的同调类上作积分 (配对), 所以这解释了为什么它们生活在上同调环 里.

那么它们需要满足怎么样的公理呢?

定义 1.3 (基本公理). 基本公理 (fundamental axioms) 包含下面两条.

(1) 对称性 (Symmetric), 当对称群 中的元素同时作用在 (交换 个标记点) 以及 (交换 个输入) 上时, 保持不变.

(2) 边界粘合相容性 (Gluing compatibility), 对于两个粘合诱导的拉回假设 有一组 -基 , 记 , 那么对内粘合对外粘合, 我们有

首先, 对称性体现了模空间中 个标记点本身具有的对称性. 所以对称性公理体现了 与此标准对称性具有的相容性.

然后边界相容性之所以叫做边界相容性, 因为粘合映射的像都位于模空间的边界 . 所以边界粘合相容性体现了关于模空间紧化的构造信息. 再就是关于取基 的说明, 首先作为线性代数练习, 读者可以检查这两个求和式与基的选取无关, 只和 本身有关. 在物理学家用的 Einstin 求和记号中, 这种技术被称为张量指标缩合 (tensor index contraction), 是一种自然的构造. 这里相当于先用 对偶然后缩合.

让我们以 有关的公理为例. 几何意义上说, 就是沿着赋值映射拉回 上的一些上同调类, 那么当我们把两个标记点粘起来后, 形式上看就应该如下面的交换图表所展示: 理应有 , 所以它对应了我们要求 视作取 , 视作缩合, 那么我们就得到了 Gromov-Witten 不变量满足边界相容性公理的验证. 类似地我们也能检查关于 的公理.

然后, 我们知道连通的几何对象的上同调中具有一个特别的元素 , 它在 Poincare 对偶下对应了 . 在我们的公理体系中假设了它的存在性之后, 就需要额外添加两条.

定义 1.4 (单位公理). 元素 取定, 称之单位元素. 那么关于它需加入如下两条单位公理 (unit axioms).

(3) 遗忘相容性 (Forgetful compatibility), 对于遗忘映射诱导的拉回我们有

(4) 归一化 (Normalization), 我们有因为 是一个点, 所以这里把 等同.

类似前文的处理, 这样遗忘映射 对应了如下的图表: 我们要求而注意到遗忘最后一个 相当于上同调拉回的时候取多一个基本类 .

再来看归一化公理, 某种意义上说, 它体现了几何上的相交. 考虑 , 回顾模空间 的定义, 相当于观察 被打到一个点的退化情形, 而标记点 的像 (也就是那个像点) 位于 , 那么这样的 的数量 (在维数合适的情况下) 自然应该是 .

一般地对于 , (读者可以参考 Kontsevich 和 Manin 的量子上同调原文).

注 1.5. 对于一个满足基本公理 (1) 和 (2) 的资料 , 我们称一个 CohFT; 而对于一个还满足 (3) 和 (4) 的 CohFT , 我们称一个带单位的 CohFT(CohFT with unit).

注意到诸如 Gromov-Witten 类等 CohFT 满足更多的公理, 这个我们后面再说.

另外, 我们指出即便是 这样的几何平凡情况 (几何上看, 就是一个点的 CohFT), 也有很不平凡的例子, 显然这来自于模空间本身的复杂性.

一个相对简单但是本质上比较重要的例子是, 考虑秩 的 Hodge 丛 (简单来说就是对曲线 考虑其上同调 作为一个线性空间, 可将它实现为模空间 上的向量丛) , 我们取 Chern 类 .

检查上述构造给出一个 CohFT with unit 并不困难, 唯一要验证的公理是边界相容性 (因为只有它可能涉及曲线本身而不仅仅是标记点), 核心在于利用 Chern 类和 Hodge 丛的函子性.

另一个有趣, 有点平凡的小例子是 也是一个 CohFT. 被称为 的拓扑组分 (Topological part).

2半单性 (Semisimplicity)

一个带单位的 CohFT 定义了一个量子积 (quantum product):

定义 2.1 (量子积). 是 CohFT with unit, 则 上可定义量子积:

我们做一些最基本的检查, 首先它是良定义的, 也就是说 定义了一个 -双线性映射. 双线性性是 本身保证的, 而无关性在于 是非退化的, 所以本质上 是一个 中的线性映射, 所以把它写作 形式下, 唯一, 也可以看作一种 Riesz 表示定理.

然后我们有交换律 , 这是因为对称性公理 (1) 给出 的对称性.

接下来是幺元, , 这是因为我们有归一化公理 (4), .

最后我们声称还有结合律, 我们来检查 , 也就是首先运用亏格 时的遗忘相容公理 (3) 还有粘合相容公理 (2), 过程中我们会大量用对称性公理 (1), 计算得到仍是注意 . 结合 的非退化性, 所以上述带拉回 的检查即可确定原来的等式成立. 由此我们得知 构成了 -有限维交换含幺代数.

研究量子积的一大意义是下面的引理:

引理 2.2. 一个 CohFT with unit 的拓扑组分 (和 这些基本的信息) 唯一决定.

证明. 我们来观察 的确定. 技巧是考虑一个特殊的 , 其中 的每个不可约分支都同构于 且上面带有三个特殊点. 例如 的一个例子是: 这种曲线也称极大退化曲线 (maximal degenerate curve), 根据一些组合数学它是存在的 (尽管不一定唯一), 我们知道它可以由一系列 (不难得知是 个) 经过两个粘接映射 得到. 现在由于 , 所以它的值只需要在一点处确定. 于是在 处的取值就由 的拉回组合地确定.

使用交换代数知识, 我们实则知道上述代数 是一个 Artin 环, 所以由于 代数闭, 它的谱集本质上是有限多个点, 结构定理告诉我们, 同构于 的直和. 这种代数的半单性刻画非常容易, 实际上

引理 2.3. 对一个 -有限维含幺交换代数 , 下面这些等价:

(0) 是半单代数.

(1) 不存在非零幂零元, 即 .

(2) 存在一组 -基 , 使得 .

(3) .

由于 代数闭, 所以上面的刻画非常好. 但是在一般的情况下, 例如当我们需要讨论 上的有限维半单代数时, 它也可以是一系列 -有限扩张的直和. 当然, 其半单性可以基变换到 来检查.

定义 2.4. 一个 CohFT with unit 被称为半单的 (Semisimple), 指的是 是半单代数.

和这个定义密切有关的结果是所谓的 Givental-Teleman 分类, 它完全分类了 semisimple CohFT with unit( 的维数不限). 特别地, 的情况, 由单位 生成, 这表明它的乘法是非退化的, 从而是半单的, 于是这时的情况确实被上述 GT 分类包含.

这个分类的内容简单来说, 由以下两个结构唯一决定:

首先是 的拓扑组分 .

然后是一个 -矩阵: 满足所谓的辛性质 (symplectic property)这里 表示取关于双线性形式 的伴随.

值得一提的是, 如果 是一维的, 那么伴随就是自身, 所以 , 一个直接的例子是 . 实际上如果考虑 一个邻域内的全纯函数, 那么由于它非零, 可设 , 求得 , 所以实际上所有符合条件的解是 , 其中 可以是任意全纯奇函数.

而根据我们前面的引理, 决定, 如果 是一维的那么这个映射也是平凡的. 由此我们得到了上述 GT 分类的一个小小特例.

实际上在一般的情况下, 我们也可以三步走来研究一个带单位的半单 CohFT:

(1) 具体地决定环 ,

(2) 使用上述引理决定拓扑组分 ,

(3) 计算该理论的 -矩阵.

特别地, 如果我们考虑的是 Gromov-Witten 理论的具体计算. 那么上述 (1) 由量子上同调环 决定, [需要细节] .

另外, 很多有趣的 CohFT 都不是半单的, 典例是 quintic . 不过近年来, 人们似乎找到了一种利用 semisimple formal quintic theory 来作为替代研究对象的解决方案. 不过在本笔记中我们并不会介绍其细节.