用户: Cybcat/数学物理学家用的数学/量子上同调 (二)

1$\psi$-类的引入

接下来让我们回顾一点模空间的基本内容. 注意到亏格 $g$ 带有 $n$ 个标记点的曲线模空间 ${\overline{M}}_{g,n}$ 上有我们熟知的线丛 ${\mathcal{L}}_i(1\le i\le n)$, 它是模空间的万有曲线上第 $i$ 个标记点处的余切丛 (因为曲线是一维的, 所以其余切丛是一维的, 由此这是模空间上的一个线丛) 于是 ${\psi }_i=c_1({\mathcal{L}}_i)\in A^1\subset H^2({\overline{M}}_{g,n})$ 表示 $L_i$ 的第一 Chern 类.

Witten 关心这些类的乘积, 于是 Witten 自然地定义了 (省略 $⌣$)$$⟨{\tau }_{a_1},\cdots ,{\tau }_{a_n}{⟩}_{g,n}:={\int }_{[{\overline{M}}_{g,n}]}{\psi }_1^{a_1}\cdots {\psi }_n^{a_n}.$$实际上稍加一般地我们可以对 Gromov-Witten 不变量定义$$⟨{\tau }_{a_1}({\gamma }_1),\cdots ,{\tau }_{a_n}({\gamma }_n){⟩}_{g,n}:={\int }_{[{\overline{M}}_{g,n}]}{\pi }_{\ast }({\mathrm{ev}}_1^{\ast }{\gamma }_1\cdots {\mathrm{ev}}_n^{\ast }{\gamma }_n)\cdot {\psi }_1^{a_1}\cdots {\psi }_n^{a_n}.$$此外有的人偷懒, 写下标的时候也省略 $\cdots {⟩}_{g,n}$ 中的 $n$.

再一般一点, 我们可以把上面的 ${\pi }_{\ast }({\mathrm{ev}}^{\ast }\gamma )$ 换成 ${\Omega }_{g,n}({\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n)$, 这样一来这不变量完全可以对于抽象 CohFT 定义, 反正大家都生活在 ${\overline{M}}_{g,n}$ 上.

那么对 $⟨{\tau }_{a_1},\cdots ,{\tau }_{a_n}{⟩}_g$ 来说, 它非零需要的维数条件是复维数 $\sum a_i=\dim {\overline{M}}_{g,n}=3g-3+n$. 对后者也有一个类似的提法, 就是要求 ${\gamma }_i,{\psi }_i$ 合力贡献正确的维数. 那么这样来看, 使用 $\psi$-类具有两个好处, 首先第一是它是较为基本的上同调类 (作为 tautological class), 在维数上也提供丰富的选择, 第二是有一些和它有关的恒等式, 让我们回忆施哥的模空间考试:

典中典之施哥模空间考试.

看到问题 42 和问题 44 了吗, 它们分别是大名鼎鼎的 String Equation(弦方程) 以及 Dilaton Equation(胀子方程). 特别地, 43 也是 42 很有用的推论. 此外, 这两个名字也来自于弦论. 让我们重新用更清楚的形式列出这些结果, 结合两个熟知的特殊情况, 就是说, 在 $2g-2+n>0$ 时, 我们有下面的恒等式: $$\begin{array}{rl}(1)& ⟨{\tau }_0,{\tau }_{a_1},\cdots ,{\tau }_{a_n}{⟩}_{g,n+1}=\sum _{j=1}^n⟨{\tau }_{a_1},\cdots ,{\tau }_{a_j-1},\cdots ,{\tau }_{a_n}{⟩}_{g,n},\\ (2)& ⟨{\tau }_1,{\tau }_{a_1},\cdots ,{\tau }_{a_n}{⟩}_{g,n+1}=(2g-2+n)⟨{\tau }_{a_1},\cdots ,{\tau }_{a_n}{⟩}_{g,n},\\ (3)& ⟨{\tau }_0,{\tau }_0,{\tau }_0{⟩}_{0,3}=1,\\ (4)& ⟨{\tau }_1{⟩}_{1,1}=\frac{1}{24}.\end{array}$$使用 (1) 到 (4) 作为公理, 我们实际上就能够得到 $g=0,1$ 时任意 $n$ 以及任意 $a_i$ 时的这些值. 对了, 出于物理人喜欢的原因, 它们也被称为 correlation functions, 然后被积的东西 ${\Omega }_{g,n}\cdot {\psi }_1^{a_1}\cdots {\psi }_n^{a_n}\in H^{\ast }({\overline{M}}_{g,n})\otimes (V^{\ast }{)}^{\otimes n}$ 则被叫做 correlators. 此外, 对于高亏格 ($g>1$) 情况下的计算, 仅有上面这些公理是不够的, 读者可以自行尝试体验.

例 1.1. 我们展示从 (1) 和 (3) 得到问题 43. 首先我们考虑亏格 $0$.

来看看对 $n=3,4,5$ 计算的过程, 简写一下, 我们已经有 (3) 的 $⟨000⟩=1$, 我们对 $n=3$ 已经再没有其他要算的. 现在对 $n=4$, 就有 $⟨1000⟩$, 根据 (1) 计算得到 $⟨1000⟩=⟨000⟩=1$(省略具有 $-1$ 的项), 类似对 $n=5$ 我们有 $⟨20000⟩=⟨1000⟩=1$ 以及 $⟨11000⟩=2⟨1000⟩=2$.

由此我们看到了, 对于 $n$ 处的计算, 总能化归到 $n-1$ 时的情形, 所以我们可以对 $n$ 归纳. 实际上由于 $n$ 个 $a_i$ 的和是 $n-3$, 所以总有 $0$, 这意味着 (1) 总能用, 那么最后需要证明的恒等式就是$$\begin{array}{rl}& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{0,a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n}\right)\\ =& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-3}{a_1-1,a_2,a_3,\cdots }\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-3}{a_1,a_2-1,a_3,\cdots }\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-3}{a_1,a_2,\cdots ,a_n-1}\right).\end{array}$$这其实是二项式组合数中对应结论的推广, 如果要给出一个组合数学解释, 就是 $n-2$ 个对象选出 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 大小的不同的组, 然后我们先确定第一个对象所在的组, 就有 $n$ 种情况, 然后剩下 $n-3$ 个对象, 仍然选到 $n$ 类中, 不过某一类已经只需 $a_i-1$ 个元素, 这就解释了我们的求和.

类似的, 对于亏格 $1$ 的情形, $3g-3+n=n$, 这说明 $n$ 个非负整数 $a_i$ 的和为 $n$, 这样一来有两种可能, 要么这些数中存在 $0$, 这样可以利用弦方程来降低 $n$; 要么这些数全是 $1$, 此时可以使用胀子方程来搞定一个 $1$.

有趣的是, 对高亏格的情形, 只要我们预先给定足够多的小情况作为公理, 上述 (1) 和 (3) 仍然足够, 例如对于 $g=2$, 我们需要 $⟨4{⟩}_{2,0}=1/1152,⟨32{⟩}_{2,1}=29/5760,⟨222{⟩}_{2,2}=7/240$. 因为除了这三种情形以外, 其他的 correlators 总包含 $0$ 或者 $1$.

一般的高亏格情形, 仍然有一些值是具有计算公式的, 例如所谓的单点积分 (One-pointed Integrals) $⟨3g-2{⟩}_{g,1}=1/(24^g\cdot g!)$. 由此可见 $24$ 真是一个神奇的数字, 在模形式理论中也好, 模空间理论中也好, 这个数都有着重要地位.

另外一个好消息是 Sage 具有计算这些玩具的包, 叫做 admcycles, 总之它很明白这些道理.

sage: from admcycles import *

sage: R = TautologicalRing(2, 1);

sage: p = R.psi(1);

sage: (p ** 4).evaluate()

输出为 1/1152

在数学中, 很自然的一件事就是, 如果你有一系列由正整数指标的数, 那么你就应该构造这玩意的生成函数. 所以首先对给定的亏格 $g$, 我们定义所谓的 Potential (势), 而且生成函数形式的具体选取连同势的概念都来自于二维量子引力理论.

$$F_g(t_0,t_1,t_2,\cdots ):=\sum _{n_i}⟨{\tau }_0^{n_0}{\tau }_1^{n_1}{\tau }_2^{n_2}\cdots {⟩}_{g,n}\cdot \prod _{i=0}^{\infty }\frac{t_i^{n_i}}{n_i!}.$$

这里求和时只考虑诸 $n_i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 中具有有限多非零者的情况, 注意这里的 $n_i$ 都在上标, 换言之, 我们在统计下标是 $i$ 的 ${\tau }_i$ 的数量, 记作 $n_i$, 然后 $n=\sum n_i$, 所以还要另一种定义的方法: $$F_g(t_0,t_1,t_2,\cdots ):=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\sum _{a_1,\cdots ,a_n}⟨{\tau }_{a_1},\cdots ,{\tau }_{a_n}{⟩}_{g,n}{t}_{a_1}\cdots t_{a_n}.$$这里我们的求和先是让 $n$ 取遍任意正整数, 也就是标记点的数量, 然后为了说明它们两个是等价的, 我们只要注意到如果给定 $n_i$ 个 $i$, 把相同的数字视作等同, 那么要把它们排成一行的方法数量就是 $n!/{\prod }_i{n}_i!$ 这里 $n=\sum n_i$, 因此将下面这种定义求和中相同的 $a_i$ 分拆方法统计出来, 其对应的数量就是这里差的常数.

某种意义上说, 我们实际上应当把它看作在交换环里计算 $\exp ({\tau }_0{t}_0+{\tau }_1{t}_1+\cdots )$, 或者写得再简单一点, 就变成 $\exp (\tau \tau \cdot tt)$. 然后上面两种定义的方法, 分别对应了将 $\exp$ 直接对每个变量 $t_i$ 一起展开, 写出 $\prod t_i^{n_i}$ 的系数, 以及对每个给定的指数 $n$, 展开 $(\tau \tau \cdot tt{)}^n/n!$ 再求和.

另外除了问题 42, 问题 44 以外, 关于 $\psi$ 类还有一族不那么为人们所知的, 也不出现在前述考试问题系列中的一系列性质, 被称为 Topological Recurrsion Relations(拓扑递推关系), 这些让我们放在后面再介绍.

在这之前, 我们最后引入把所有亏格 $g$ 放到一起的生成函数, 引入变量 $\lambda$, $$F:=\sum _{g=0}^{\infty }{\lambda }^{2g-2}{F}_g.$$

2微分方程, Witt 代数和 Virasoro 代数

现在我们有了生成函数, 就应当研究它符合的微分方程.

定理 2.1. (1) 弦方程可以被重新写作$$\frac{\partial }{\partial t_0}F=\frac{t_0^2}{2{\lambda }^2}+\sum _{i=0}^{\infty }{t}_{i+1}\frac{\partial }{\partial t_i}F.$$(2) 胀子方程可以被重新写作$$\frac{\partial }{\partial t_1}F=\frac{1}{24}+\frac{1}{3}\left(\sum _{i=0}^{\infty }(2i+1)t_i\frac{\partial }{\partial t_i}F\right).$$

证明. 对 (1), 我们来观察对 $t_0$ 求导会带来什么, 对于项$$T=⟨{\tau }_0^{n_0}{\tau }_1^{n_1}\cdots {\tau }_k^{n_k}{⟩}_{g,n}\cdot \frac{t_0^{n_0}}{n_0!}\cdots \frac{t_k^{n_k}}{n_k!}.$$对 $t_0$ 求导后, 得到$$\frac{\partial }{\partial t_0}T=⟨{\tau }_0^{n_0}{\tau }_1^{n_1}\cdots {\tau }_k^{n_k}{⟩}_{g,n}\cdot \frac{t_0^{n_0-1}}{(n_0-1)!}\cdots \frac{t_k^{n_k}}{n_k!}.$$也就是说, 我们将对其中的一个 ${\tau }_0$, 应用弦方程, 按定义, 我们将得到$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t_0}T& =\sum _{i=0}^{k-1}⟨{\tau }_0^{n_0-1}{\tau }_1^{n_1}\cdots {\tau }_i^{n_i+1}{\tau }_{i+1}^{n_{i+1}-1}\cdots {\tau }_k^{n_k}{⟩}_{g,n-1}\frac{t_0^{n_0-1}}{(n_0-1)!}\cdots \frac{t_i^{n_i}}{n_i!}\frac{t_{i+1}^{n_{i+1}}}{(n_{i+1}-1)!}\cdots \frac{t_k^{n_k}}{n_k!}\\ & =\sum _{i=0}^{k-1}{t}_{i+1}\frac{\partial }{\partial t_i}⟨{\tau }_0^{n_0-1}{\tau }_1^{n_1}\cdots {\tau }_i^{n_i+1}{\tau }_{i+1}^{n_{i+1}-1}\cdots {\tau }_k^{n_k}{⟩}_{g,n-1}\frac{t_0^{n_0-1}}{(n_0-1)!}\cdots \frac{t_i^{n_i+1}}{(n_i+1)!}\frac{t_{i+1}^{n_{i+1}-1}}{(n_{i+1}-1)!}\cdots \frac{t_k^{n_k}}{n_k!}\end{array}$$于是我们重新配出了原形式, 唯需注意 $⟨{\tau }_0^3{⟩}_{0,3}=1$ 求导后尚未出现在求和中, 它对应 ${\lambda }^{2\cdot 0-2}{t}_0^3/3!$, 求导得到 ${\lambda }^{-2}{t}_0^2/2$, 这样我们解释了弦方程的微分方程版本.

对 (2), 我们做的事情是类似的. $T$ 对于 $t_1$ 求导得到$$\frac{\partial }{\partial t_1}T=⟨{\tau }_0^{n_0}{\tau }_1^{n_1}\cdots {\tau }_k^{n_k}{⟩}_{g,n}\cdot \frac{t_0^{n_0}}{n_0!}\frac{t_1^{n_1-1}}{(n_1-1)!}\cdots \frac{t_k^{n_k}}{n_k!}.$$然后对一个 ${\tau }_1$, 应用胀子方程, 注意到 potential 非零当且仅当 $3g-3+n=\sum i{n}_i$, 此外我们有 $n=\sum n_i$, 所以计算得到 $2g-2+n-1=\frac{2}{3}\sum i{n}_i+\frac{1}{3}\sum n_i-1$, 不过因为 $n_1$ 前的系数恰好是 $1$, 所以它可以把 $-1$ 吞进去. $$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t_1}T& =\left(-1+\sum _{i=0}^{\infty }\frac{1}{3}(2i+1)n_i\right)\cdot ⟨{\tau }_0^{n_0}{\tau }_1^{n_1-1}\cdots {\tau }_k^{n_k}{⟩}_{g,n-1}\cdot \frac{t_0^{n_0}}{n_0!}\frac{t_1^{n_1-1}}{(n_1-1)!}\cdots \frac{t_k^{n_k}}{n_k!}\\ & =\sum _{i=0}^{\infty }(2i+1)t_i\frac{\partial }{\partial t_i}⟨{\tau }_0^{n_0}{\tau }_1^{n_1-1}\cdots {\tau }_k^{n_k}{⟩}_{g,n-1}\frac{t_0^{n_0}}{n_0!}\frac{t_1^{n_1-1}}{(n_1-1)!}\cdots \frac{t_k^{n_k}}{n_k!}\end{array}$$最后 $⟨{\tau }_1^1{⟩}_{1,1}=1/24$ 对应 $t_1/24$, 它求导后得到前面的常数 $1/24$, 这样我们解释了胀子方程的微分方程版本.

$\square$

现在我们可以定义出弦方程和胀子方程对应的算子如下: $$\begin{array}{rl}{L}_{-1}:=& -\frac{\partial }{\partial t_0}+\sum _{i=0}^{\infty }{t}_{i+1}\frac{\partial }{\partial t_i},\\ L_0:=& -\frac{3}{2}\frac{\partial }{\partial t_1}+\sum _{i=0}^{\infty }\left(i+\frac{1}{2}\right)t_i\frac{\partial }{\partial t_i}.\end{array}$$

按照物理学家的传统, 当我们有两个算子的时候, 应该去计算它们的交换子: $$\begin{array}{rl}[L_{-1},L_0]& =\left[-\frac{\partial }{\partial t_0},\frac{1}{2}{t}_0\frac{\partial }{\partial t_0}\right]+\left[t_1\frac{\partial }{\partial t_0},-\frac{3}{2}\frac{\partial }{\partial t_1}\right]\\ & +\sum _{i=0}^{\infty }\left[t_{i+1}\frac{\partial }{\partial t_i},\left(i+\frac{1}{2}\right)t_i\frac{\partial }{\partial t_i}+\left(i+\frac{3}{2}\right)t_{i+1}\frac{\partial }{\partial t_{i+1}}\right]\\ & =-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t_0}+\frac{3}{2}\frac{\partial }{\partial t_0}+\sum _{i=0}^{\infty }\left(t_{i+1}\cdot \left(i+\frac{1}{2}\right)\frac{\partial }{\partial t_i}-\left(i+\frac{3}{2}\right)t_{i+1}\frac{\partial }{\partial t_i}\right)\\ & =-L_{-1}.\end{array}$$这就非常巧妙了. 物理学家们对这种李代数结构非常敏感, 例如我们有 Witt 代数和 Virasoro 代数:

定义 2.2. Witt 代数是算子 $\{L_n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ 自由张成的李代数, 它们满足条件$$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}.$$实际上为了检查它确实符合李代数的条件, 只需检查 Jacobi 恒等式, 由于$$[[L_a,L_b],L_c]=[(a-b)L_{a+b},L_c]=(a-b)(a+b-c)L_{a+b+c}.$$轮换求和得到 ${\sum }_{cyc}(a-b)(a+b-c)=0$.

Virasoro 代数是 Witt 代数唯一的中心扩张, 它在二维的共形场论中有广泛的应用. 它在 Witt 代数的基础上引入一个新的算子中心荷 $c$, 在 $c=0$ 下 Virasoro 代数退化为 Witt 代数. 具体来说我们有算子 $\{L_n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ 和 $c$ 自由张成一个李代数. 其中 $c$ 和诸 $L_n$ 可交换, 即 $[c,L_n]=0$, 而诸 $L_n$ 之间满足$$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^3-m)1_{[m+n=0]}.$$检查它们符合李代数的过程就留给读者.

那么在这里我们为什么要引入 Witt 代数呢, 因为我们已经看到只有弦方程和胀子方程是不足以描述 $F$ 的, 马上我们将会引入其他的算子 $L_i$, 对应的 $F$ 也将满足这些方程, 尽管它们不再像弦方程和胀子方程一样有好的名字. 此外我们也将看到 Witten 的一些惊人洞察力, 他做了两个猜测, 一个是关于上面这些算子的, 另一个是关于下一节将要介绍的 KdV 方程的, 不过猜测的内容是, 这两套独立的系统都能唯一地确定 potential $F$!

The reason leading Witten to make the conjecture is roughly this (see his paper Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space): There were two mathematical models that described the physical theory of two-dimensional gravity. One was a matrix model, with some Lagrangian, in which some flows were naturally governed by the KdV equations. The other model was the theory of intersection theory on ${\overline{M}}_{g,n}$. Now since the two theories described the same thing, Witten translated the crucial results of one theory over to the other. (And of course he made a lot of checks in low genus and so on.) Kontsevich’s proof seems to follow the same ideas, formalising the dictionary between intersection theory and matrix integrals...

具体来说, 对正整数 $n$, 我们定义$$\begin{array}{rl}{L}_n:=& -\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdots (2n+3)}{2^{n+1}}\frac{\partial }{\partial t_{n+1}}\\ & +\sum _{i=0}^{\infty }\frac{(2i+1)(2i+3)\cdots (2i+2n+1)}{2^{n+1}}{t}_i\frac{\partial }{\partial t_{i+n}}\\ & +\frac{{\lambda }^2}{2}\sum _{i=0}^{n-1}(-1{)}^{i+1}\frac{(-2i-1)(-2i+1)\cdots (-2i+2n-1)}{2^{n+1}}\frac{{\partial }^2}{\partial t_i\partial t_{n-1-i}}.\end{array}$$那么读者可以检查, 这些算子符合 Witt 代数的要求 $[L_n,L_m]=(n-m)L_{n+m}$.

3KdV 方程

关于 Witt 代数和 Virasoro 代数的更多细节我们将有专门的文章讨论, 在这里我们还有更加重要的内容需要介绍. 我们想引入前一节所说的 KdV 方程, 这个名字来源于发现它的两个人 Korteweg 和 de Vries. 好玩的是, 这个方程的最早来自于看起来和弦论关系不大的另一个物理邻域, 流体力学. Wiki 上是这样介绍它的:

In mathematics, the Korteweg–De Vries (KdV) equation is a PDE which serves as a mathematical model of waves on shallow water surfaces. It is particularly notable as the prototypical example of an integrable PDE and exhibits many of the expected behaviors for an integrable PDE, such as a large number of explicit solutions, in particular soliton solutions, and an infinite number of conserved quantities, despite the nonlinearity which typically renders PDEs intractable.

设 $\varphi =\varphi (x,t)$ 是二元函数, 其中变量 $x$ 是空间分量, $t$ 是时间分量, 则 KdV 方程的原始形式是$${\partial }_t\varphi +{\partial }_x^3\varphi -6\varphi {\partial }_x\varphi =0.$$其中的 ${\partial }_x^3\varphi$ 被称为色散项, 而 $\varphi {\partial }_x\varphi$ 则被称为漂移项 (或对流项). 常数项是 $6$ 是一个无伤大雅的传统, 通过用 $6\varphi$ 代替 $\varphi$ 可以忽略.

在我们模空间的研究中, KdV 方程是与前面我们见到的 $L_i$ 不同的另一套体系. 现在让我们先引入 Witten 的记号$$⟨⟨{\tau }_{k_1},\cdots ,{\tau }_{k_n}⟩⟩:=\frac{\partial }{\partial t_{k_1}}\cdots \frac{\partial }{\partial t_{k_n}}F.$$特别地, $⟨⟨{\tau }_{k_1},\cdots ,{\tau }_{k_n}⟩⟩{|}_{\forall i,t_i=0}=⟨{\tau }_{k_1},\cdots ,{\tau }_{k_n}⟩$. 现在我们可以将这里关于 potential 的 KdV 方程写出来, 它实则是一族方程, 对任意正整数 $n$: $$(2n+1){\lambda }^{-2}⟨⟨{\tau }_n{\tau }_0^2⟩⟩=⟨⟨{\tau }_{n-1}{\tau }_0⟩⟩\cdot ⟨⟨{\tau }_0^3⟩⟩+2⟨⟨{\tau }_{n-1}{\tau }_0^2⟩⟩\cdot ⟨⟨{\tau }_0^2⟩⟩+\frac{1}{4}⟨⟨{\tau }_{n-1}{\tau }_0^4⟩⟩.$$例如 $n=3$ 时在全体 $t_i=0$ 处取值就得到 $7⟨300{⟩}_1=⟨20{⟩}_1⟨000{⟩}_0+\frac{1}{4}⟨20000{⟩}_0$, 由此可得 $⟨1{⟩}_1=1/24$. Witten 猜测, 对全体 $n$, 这些 KdV 方程决连同我们前面的弦方程, 完全决定了 $F$. 换言之, 比如胀子方程是可以由其推出的! 而 Kontsevich 证明了这个猜想, 不过他的证明办法是完全解析的, 他把所有东西都用矩阵积分来计算, 此外迄今为止这个定理也没有任何代数证明. 作为练习, 读者可以试着从 KdV 方程入手, 代入 $n=3g$ 并且令所有 $t_i=0$ 来证明我们前面见到的单点积分 $⟨{\tau }_{3g-2}{⟩}_g=⟨{\tau }_{3g-5}{⟩}_{g-1}/(24g)$, 以从中体会这一定理的威力: $$⟨{\tau }_{3g-2}{⟩}_g=⟨{\tau }_{3g}{\tau }_0^2{⟩}_g=\frac{⟨{\tau }_{3g-2}{⟩}_g+\frac{1}{4}⟨{\tau }_{3g-5}{⟩}_{g-1}}{6g+1}.$$

之所以把我们这里的方程称为 KdV 方程, 因为物理传统上, KdV 方程延申出了所谓的 KdV 层级 (KdV hierarchy): $$R_1=U,{\dot{R}}_{i+1}=\frac{1}{2i+1}(R_i\dot{U}+2{\dot{R}}_{i}U+\frac{1}{4}{\dot{\ddot{R}}}_i).$$这里由于网页端不允许使用命令 dddot, 所以 $R$ 上的三个点只能这样展示. 考虑 $R$ 是无穷多个变量 $\{t_i{\}}_{i\ge 0}$ 的函数, 如果我们对 $R_{i+1}$ 头上打点表示对 $t_i$ 分量 (这就是 hierarchy 的要求, 被求导的是不同的分量) 进行求导, 那么我们将看到关于 $R_2$ 的方程变成了$$\frac{\partial }{\partial t_1}U=\frac{1}{3}\left(U\cdot \frac{\partial }{\partial t_0}U+2\frac{\partial }{\partial t_0}U\cdot U+\frac{1}{4}\cdot \frac{{\partial }^3}{\partial t_0^3}U\right).$$也就是 ${\partial }_{t_1}U=U\cdot {\partial }_{t_0}U+\frac{1}{12}{\partial }_{t_0}^{3}U$. 这不就变成了传统 KdV 方程的形状了吗. 由此我们也能想象, 传统 KdV 方程背后暗藏着更多玄机, 这也解释了 Wiki 上说的 [an infinite number of conserved quantities] .