用户: Cybcat/数学物理学家用的数学/Frobenius 流形 (二)

在 Frobenius 流形的第一篇文章中, 我们介绍了 Frobenius 流形的定义以及基本性质, 现在我们来看一些例子.

1例子

我们既可以手动整出来一些 Frobenius 流形, 也可以从经典的数学物理对象中掰扯出来一些. 相对来说, 前者的例子是较为简单及容易理解的; 后者则更加深刻, 所以我们把这些内容分到两个小节去.

简单例子

$\circ$ 首先是一个完全平凡的例子, 在 ${\mathbb{C}}^n$ 上, 我们定义 $g={\sum }_v(d{z}^v{)}^2$, 乘积 ${\partial }_i{\partial }_j={\delta }_{ij}{\partial }_i$, $\alpha =d\eta$, 然后度量势 $\eta$ 以及势函数 $\Phi$ 分别为$$\eta (z):=\sum _v{z}^v,\Phi (z):=\sum _v\frac{1}{6}(z^v{)}^3.$$对应的形变联络为 ${\nabla }_{{\partial }_i}^{\lambda }{\partial }_j=\lambda {\delta }_{ij}{\partial }_i$.

没什么好说的, 我们提供这个例子以便读者检查是否能对上 Frobenius 流形 (一) 中的内容.

$\circ$ 另一个相对平凡的情况是一维的 Frobenius 流形. 考虑 $M$ 是连通的一维复流形. 那么 $M$ 上的一个 Frobenius 流形结构总是具有平坦的 $1$, 实际上, 此时 Frobenius 流形资料等价于给定一个 $M$ 上的切向量场 $1$ 和 $M$ 上的 $1$-形式 $\alpha$ 使得 $\alpha (1)$ 恒为常数.

为了检查此事, 注意到如果只有一个变量, 则 ${\partial }_1{\gamma }_{11}={\gamma }_{11}^2=0$, 而 ${\gamma }_{11}=\frac{1}{2}{\eta }_{11}/{\eta }_1$. 也就是说 ${\eta }_{11}=0$, 换言之 ${\eta }_1$ 是常数, 由此可知局部上 $g=c(d{z}^1{)}^2$. 而且 $c\ne 0$, 那么结论显然.

$\circ$ 然后我们考虑稍稍一般的情况. 二维的含幺代数都是结合的 (为什么), 所以本质上情况分为两种. 要么代数半单, 此时 $A\cong \mathbb{C}\oplus \mathbb{C}$; 要么不半单, 此时 $A\cong \mathbb{C}[y]/y^2$ 必成立. 我们仍然局部进行研究, 为了方便我们假设 $1$ 是平坦的. 此时 $g(1,1)=\alpha (1)$ 是常数, 不妨设之为 $c$, 那么情况将分为 $c=0$ 和 $c\ne 0$ 讨论.

首先如果 $c=0$, 则不妨设此时平坦坐标 $(z,w)$ 使得 $g=dz\otimes dw+dw\otimes dz$, 其中 ${\partial }_z=1$. 这样一来 $g({\partial }_z\cdot {\partial }_z,{\partial }_z)=0$, $g({\partial }_z\cdot {\partial }_z,{\partial }_w)=1$, $g({\partial }_z\cdot {\partial }_w,{\partial }_w)=0$, 所以 ${\Phi }_{zzz}={\Phi }_{zww}=0,{\Phi }_{zzw}=1$. 由此我们可以写出 $\Phi (z,w)=\frac{1}{2}{z}^{2}w+f(w)$, 而实际上 $f$ 除了全纯以外也没有其他限制, 因此这些信息决定了整个 Frobenius 流形 $M$.

其次如果 $c\ne 0$, 则不妨设此时平坦坐标 $(z,w)$ 使得 $g=cdz\otimes dz+cdw\otimes dw$, 其中 ${\partial }_z=1$. 类似地计算可知 ${\Phi }_{zzz}={\Phi }_{zww}=c$ 以及 ${\Phi }_{zzw}=0$. 由此 $\Phi (z,w)=c(\frac{1}{6}{z}^3+\frac{1}{2}z{w}^2)+f(w)$. 此时 $w$ 的选取差一个 $\pm 1$, 在这意义下决定了 $M$.

复杂例子

$\circ$ 我们取 $M$ 是 $\mathbb{C}[z]$ 中如下的多项式构成的线性空间: $$p(z):=z^{n+1}+a_2{z}^{n-1}+\cdots +a_{n}z+a_{n+1},a_2,\cdots ,a_{n+1}\in \mathbb{C}.$$换言之它们是首一的 $n+1$ 次多项式且根的和是 $0$.

另一个角度来说, 它其实是是 ${\mathbb{C}}^{n+1}$ 的超平面 $z_1+\cdots +z_{n+1}=0$ 然后商掉 $S_{n+1}$ 作用. 在这个看法下我们可以把 $M$ 看成一个 orbifold. 话不多说, 首先可以将 $a_2,\cdots ,a_{n+1}$ 看成局部坐标. 这样 $M$ 切空间有一组基 $\frac{\partial }{\partial a_2},\cdots ,\frac{\partial }{\partial a_{n+1}}$. 在点 $p\in M$ 可以考虑代数$$A_p:=\mathbb{C}[z]/(p^{\prime })=\mathbb{C}[z]/((n+1)z^n+(n-1)a_2{z}^{n-2}+\cdots +a_n).$$所以 $A_p$ 是半单的当且仅当 $p^{\prime }$ 的根互不相同, 否则就会有幂零元. 不过无论如何 $A_p$ 具有一组基$$\{[z^k]:k=0,1,\cdots ,n-1\}.$$好消息是, 局部上我们确实可以将 $\frac{\partial }{\partial a_2},\cdots ,\frac{\partial }{\partial a_{n+1}}$ 映射到 $[z^{n-1}],\cdots ,[z^0]$. 这样一来 $M$ 的切空间上就带有了 $A_p$ 诱导的代数结构.

接下来 $A_p$ 上可以考虑留数作为线性映射. 对于 $f\in \mathbb{C}[z]$, 考虑 $f\cdot dz/p^{\prime }$ 在 $\infty$ 处的留数. 如果说 $f$ 是 $p^{\prime }$ 的倍式, 此时由于复变结论熟知没有留数: 设 $f=f_1\cdot p^{\prime }$, 观察 $f_1\cdot dz$ 在 $\infty$ 的留数, 因为它在有限处没有极点, 所以有限平面内留数和 $0$ 可知在 $\infty$ 处留数也是 $0$. 当然我们可以选择直接作坐标变换 $f_1(z^{-1})\cdot (-z^{-2})dz$, 由于 $f_1$ 是多项式所以所得者并没有 $-1$ 次项. 另外使用围道积分也可以检查这一事实.

所以 $\mathbb{C}[z]\to \mathbb{C}$ 的映射 $f\mapsto {\mathrm{Res}}_{z=\infty }f\cdot dz/p^{\prime }$ 穿过 $A_p$, 所以我们得到映射 ${\alpha }_p:A_p\to \mathbb{C}$.

为了计算它们在单项式上的取值, 对于 $k=0,1,\cdots ,n-1$, 我们有$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Res}}_{z=\infty }\frac{z^k}{p^{\prime }}& ={\mathrm{Res}}_{z=0}-\frac{z^{-k-2}dz}{(n+1)z^{-n}+(n-1)a_2{z}^{-(n-2)}+\cdots +a_n}\\ & ={\mathrm{Res}}_{z=0}\frac{-z^{n-k-2}dz}{(n+1)+(n-1)a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n}.\end{array}$$于是, 当 $k=n-1$ 时才会有非平凡的留数 $-1/(n+1)$, 一般情况下都是 $0$. 所以如果按照前述 $A_p$ 的基等同, 我们有 ${\alpha }_p=-\frac{1}{n+1}d{a}_2$. 由于局部上 ${\alpha }_p=d\eta {|}_p$ 由此我们得知 $\eta =-\frac{1}{n+1}{a}_2$.