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本文的目的是计算 Weil–Petersson 的曲率和一些有关的量. 很多内容来自

WEIL-PETERSSON GEOMETRY ON MODULI SPACE OF POLARIZED CALABI-YAU MANIFOLDS, by ZHIQIN LU & XIAOFENG SUN.

https://arxiv.org/pdf/math/0510020

我们的出发点是 Hodge–Riemann 双线性型保证的 $(\Omega ,\overline{\Omega })=i^{n}Q(\Omega ,\overline{\Omega })>0$, 其中 $\Omega \in {\Omega }^{n,0}(X_s)$ 是 CY 模空间对应 fiber 处的某全纯体积形式. 然后根据 special geometry, 对应的 Kahler 势函数为 $F=\log (\Omega ,\overline{\Omega })$, 那么 $g_{i\bar{j}}=-{\partial }_i{\partial }_{\bar{j}}F$. $$\begin{array}{r}{g}_{i\bar{j}}=-{\partial }_i\left(\frac{(\Omega ,\overline{{\partial }_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\right)=-\frac{({\partial }_i\Omega ,\overline{{\partial }_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}+\frac{(\Omega ,\overline{{\partial }_j\Omega })({\partial }_i\Omega ,\overline{\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega }{)}^2}.\end{array}$$

1第一次取 $D$

这里注意到体积形式的全纯性, ${\partial }_{\bar{j}}\Omega =0$, 然后 ${\partial }_i\Omega \in {\Omega }^{n-1,1}\oplus {\Omega }^{n,0}$. 接下来为了计算 ${\partial }_i\Omega$ 在上述直和下的分解, 由于该内积将 $(n,0)$ 形式和 $(0,n)$ 形式配对才会产生非零的值, 因此我们得知在 ${\Omega }^{n,0}$ 分量的值为$$p^{n,0}({\partial }_i\Omega )=\frac{({\partial }_i\Omega ,\overline{\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\Omega .$$于是按照传统我们记$${\mathrm{K}}_i:=-{\partial }_{i}F=-\frac{({\partial }_i\Omega ,\overline{\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })},D_i\Omega :={\partial }_i\Omega +{\mathrm{K}}_i\Omega \in {\Omega }^{n-1,1}.$$

值得一提的是, 经过数值计算, 我们发现在 CY threefold family 的 2-吸引点处, ${\mathrm{K}}_i$ 的值总是有理数.

我们总结得到下面的引理:

引理 1.1. 在前文的记号下:

(1) $(D_i\Omega ,\overline{\Omega })=0$,

(2) ${\partial }_{\bar{j}}{D}_i\Omega =g_{i\bar{j}}\Omega$,

(3) $g_{i\bar{j}}=-\frac{(D_i\Omega ,\overline{D_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}$.

证明. (1) 是根据 $D_i$ 的定义得到的.

(2) 直接计算$$\begin{array}{r}{\partial }_{\bar{j}}{D}_i\Omega ={\partial }_{\bar{j}}{\partial }_i\Omega +{\partial }_{\bar{j}}{\mathrm{K}}_i\Omega =0+({\partial }_{\bar{j}}{\mathrm{K}}_i)\Omega =g_{i\bar{j}}\cdot \Omega .\end{array}$$

(3) 直接计算$$\begin{array}{r}(D_i\Omega ,\overline{D_j\Omega })=(D_i\Omega ,\overline{{\partial }_j\Omega })=({\partial }_i\Omega ,\overline{{\partial }_j\Omega })+{\mathrm{K}}_i(\Omega ,\overline{{\partial }_j\Omega }).\end{array}$$

由此结论得证.

$\square$

2第二次取 $D$

接下来我们计算 Christoffel 符号. $${\Gamma }_{ij}^k=g^{k\bar{q}}{\partial }_j{g}_{i\bar{q}}.$$其中的$$\begin{array}{rl}{\partial }_j{g}_{i\bar{q}}=-{\partial }_j\left(\frac{(D_i\Omega ,\overline{D_q\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\right)& =-\frac{({\partial }_j{D}_i\Omega ,\overline{D_q\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}+\frac{(D_i\Omega ,\overline{D_q\Omega })({\partial }_j\Omega ,\overline{\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega }{)}^2}\\ & =-\frac{({\partial }_j{D}_i\Omega ,\overline{D_q\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}+g_{i\bar{q}}{\mathrm{K}}_j.\end{array}$$由此可知 Christoffel 符号的一个形式为$${\Gamma }_{ij}^k=-\frac{({\partial }_j{D}_i\Omega ,\overline{D_q\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}{g}^{k\bar{q}}+{\delta }_i^k{\mathrm{K}}_j.$$

接下来想象我们在计算 ${\partial }_j{D}_i\Omega$ 往 ${\Omega }^{n-2,2}$ 的投影. 虽是这样说, 但是我们实际上是计算它与 $\overline{\Omega }$ 和 $\overline{D_k\Omega }$ 的内积, 然后减掉适当的项使之为 $0$.

首先计算$$\begin{array}{rl}({\partial }_j{D}_i\Omega ,\overline{\Omega })& ={\partial }_j(D_i\Omega ,\overline{\Omega })={\partial }_{j}0=0.\end{array}$$

由此可知 ${\partial }_j{D}_i\Omega$ 没有 $(n,0)$-分量. 接下来计算和已有的 $(n-1,1)$-分量的内积: (注意到 $(D_i\Omega ,\overline{D_j\Omega })$ 构成的矩阵为 $-g_{i\bar{j}}(\Omega ,\overline{\Omega })$, 其逆为 $-g^{i\bar{j}}/(\Omega ,\overline{\Omega })$), 于是

$$\begin{array}{r}{\partial }_j{D}_i\Omega =({\partial }_j{D}_i\Omega ,\overline{D_k\Omega })\cdot \frac{-g^{l\bar{k}}}{(\Omega ,\overline{\Omega })}{D}_l\Omega =({\Gamma }_{ij}^l-{\delta }_i^l{\mathrm{K}}_j)D_l\Omega .\end{array}$$

这意味着我们可以定义$$D_j{D}_i\Omega :={\partial }_j{D}_i\Omega +{\mathrm{K}}_j{D}_i\Omega -{\Gamma }_{ij}^l{D}_l\Omega .$$

总结前面发现, 我们得到

引理 2.1. 在前文的记号下:

(1) $(D_j{D}_i\Omega ,\overline{\Omega })=0$,

(2) $(D_j{D}_i\Omega ,\overline{D_k\Omega })=0$,

(3) $D_j{D}_i\Omega =D_i{D}_j\Omega$.

证明. (1) 和 (2) 是我们的构造保证的, 最后来看 (3), 注意到:

$$\begin{array}{rl}{\partial }_j{D}_i\Omega +{\mathrm{K}}_j{D}_i\Omega & ={\partial }_j{\partial }_i\Omega +({\partial }_j{\mathrm{K}}_i)\Omega +{\mathrm{K}}_i{\partial }_j\Omega +{\mathrm{K}}_j{\partial }_i\Omega +{\mathrm{K}}_j{\mathrm{K}}_i\Omega ,\\ & ={\partial }_j{\partial }_i\Omega -({\partial }_j{\partial }_{i}F)\Omega +{\mathrm{K}}_i{\partial }_j\Omega +{\mathrm{K}}_j{\partial }_i\Omega +{\mathrm{K}}_j{\mathrm{K}}_i\Omega ,\end{array}$$

注意 ${\Gamma }_{ij}^l$ 关于 $i,j$ 的对称性, 可知 $D_i{D}_j\Omega =D_j{D}_i\Omega$.

$\square$

此外, 还有一些关于 Yukawa 配对的计算, 如果 $n=3$, 也就是说我们研究 Calabi–Yau threefold 时, 按定义 $Y_{ijk}=(\Omega ,{\partial }_i{\partial }_j{\partial }_k\Omega )$:

命题 2.2. 在 $n=3$ 与前文记号下: $$(D_i{D}_k\Omega ,D_p\Omega )=Y_{ikp}.$$

证明. 实际上$$(D_i{D}_k\Omega ,D_p\Omega )=({\partial }_i{\partial }_k\Omega ,{\partial }_p\Omega )=(\Omega ,{\partial }_i{\partial }_k{\partial }_p\Omega ).$$最后一个等式是因为$$0={\partial }_{p}0={\partial }_p(\Omega \wedge {\partial }_i{\partial }_k\Omega )={\partial }_p\Omega \wedge {\partial }_i{\partial }_k\Omega +\Omega \wedge {\partial }_i{\partial }_k{\partial }_p\Omega .$$于是命题得证.

$\square$

3曲率的计算

有了前面的两个引理, 我们可以将曲率张量写成一个非常优美的表达式:

命题 3.1. 在前文的记号下:

$$R_{i\bar{j}k\bar{l}}=g_{i\bar{j}}{g}_{k\bar{l}}+g_{i\bar{l}}{g}_{k\bar{j}}-\frac{(D_k{D}_i\Omega ,\overline{D_l{D}_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}.$$

证明. 根据 $g_{i\bar{j}}$ 的构造可知它 Kahler, 我们的计算从关于 Kahler 度量曲率的基本事实开始: $$R_{i\bar{j}k\bar{l}}={\partial }_k{\partial }_{\bar{l}}{g}_{i\bar{j}}-g^{p\bar{q}}{\partial }_k{g}_{i\bar{q}}{\partial }_{\bar{l}}{g}_{p\bar{j}}.$$对于其中第一项, 利用前面已算得的结果, $$\begin{array}{rl}{\partial }_k{\partial }_{\bar{l}}{g}_{i\bar{j}}& ={\partial }_{\bar{l}}\left(-\frac{({\partial }_k{D}_i\Omega ,\overline{D_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}+g_{i\bar{j}}{\mathrm{K}}_k\right)\\ & =-\frac{({\partial }_{\bar{l}}{\mathrm{K}}_i)({\partial }_k\Omega ,\overline{D_j\Omega })+({\partial }_k{D}_i\Omega ,\overline{{\partial }_l{D}_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\\ & +\frac{({\partial }_k{D}_i\Omega ,\overline{D_j\Omega })(\Omega ,\overline{{\partial }_l\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega }{)}^2}+{\partial }_{\bar{l}}{g}_{i\bar{j}}\cdot {\mathrm{K}}_k+g_{i\bar{j}}{\partial }_{\bar{l}}{\mathrm{K}}_k\\ & =g_{i\bar{l}}{g}_{k\bar{j}}-\frac{({\partial }_k{D}_i\Omega ,\overline{{\partial }_l{D}_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\\ & +({\partial }_k{g}_{i\bar{j}}-{\mathrm{K}}_k{g}_{i\bar{j}}){\mathrm{K}}_{\bar{l}}+{\partial }_{\bar{l}}{g}_{i\bar{j}}\cdot {\mathrm{K}}_k+g_{i\bar{j}}{g}_{k\bar{l}}.\end{array}$$

接下来使用 Christoffel 符号把所有 ${\partial }_k{g}_{i\bar{j}}$ 和 ${\partial }_k{D}_i\Omega$ 形状的东西联系起来. 首先是原式第二项$$g^{s\bar{t}}{\partial }_k{g}_{i\bar{t}}{\partial }_{\bar{l}}{g}_{s\bar{j}}=g^{s\bar{t}}{\Gamma }_{ki}^p{g}_{p\bar{t}}{\Gamma }_{\bar{l}\bar{j}}^{\bar{q}}{g}_{s\bar{q}}=g_{p\bar{q}}{\Gamma }_{ik}^p{\Gamma }_{\bar{j}\bar{l}}^{\bar{q}}.$$然后是第一项中唯一没有展开的项$$\begin{array}{rl}& \frac{({\partial }_k{D}_i\Omega ,\overline{{\partial }_l{D}_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}-\frac{(D_k{D}_i\Omega ,\overline{D_l{D}_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\\ =& \frac{({\mathrm{K}}_k{D}_i\Omega -{\Gamma }_{ik}^p{D}_p\Omega ,\overline{{\mathrm{K}}_l{D}_j\Omega -{\Gamma }_{jl}^q{D}_q\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\\ =& -{\mathrm{K}}_k{\mathrm{K}}_{\bar{l}}\cdot g_{i\bar{j}}+{\mathrm{K}}_k{\partial }_{\bar{l}}{g}_{i\bar{j}}+{\mathrm{K}}_{\bar{l}}{\partial }_k{g}_{i\bar{j}}-g_{p\bar{q}}{\Gamma }_{ik}^p{\Gamma }_{\bar{j}\bar{l}}^{\bar{q}}.\end{array}$$

至此所有其他的项全部约掉, 命题得证.

$\square$

根据前面关于 Yukawa 配对的结果, 我们指出 (注意反对称性): $$(D_i{D}_k\Omega ,\overline{D_j{D}_l\Omega })=-\frac{(D_i{D}_k\Omega ,D_p\Omega )(\overline{D_q\Omega },\overline{D_j{D}_l\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}{g}^{p\bar{q}}=\frac{g^{p\bar{q}}{Y}_{ikp}{Y}_{\bar{j}\bar{l}\bar{q}}}{(\Omega ,\overline{\Omega })}.$$由此我们能将原来的张量写作$$R_{i\bar{j}k\bar{l}}=g_{i\bar{j}}{g}_{k\bar{l}}+g_{i\bar{l}}{g}_{k\bar{j}}-\frac{g^{p\bar{q}}{Y}_{ikp}{Y}_{\bar{j}\bar{l}\bar{q}}}{(\Omega ,\overline{\Omega }{)}^2}.$$

4第三次取 $D$

本节我们假设 $n=3$, 这时候的计算恰好是很容易的. 我们需要计算 ${\partial }_k{D}_j{D}_i\Omega$ 和 $\overline{\Omega },\overline{D_l\Omega },D_l\Omega ,\Omega$ 的内积.

首先是类似于第二次取 $D$ 时算的: $$({\partial }_k{D}_j{D}_i\Omega ,\overline{\Omega })={\partial }_k(D_j{D}_i\Omega ,\overline{\Omega })=0.$$还有$$\begin{array}{rl}& ({\partial }_k{D}_j{D}_i\Omega ,\overline{{\partial }_l\Omega })={\partial }_k(D_j{D}_i\Omega ,\overline{{\partial }_l\Omega })=0,\\ ⟹& ({\partial }_k{D}_j{D}_i\Omega ,\overline{D_l\Omega })=0.\end{array}$$这是可以预计的, 由此得知它不具有 $(3,0),(2,1)$-分量.

接下来是$$\begin{array}{rl}& ({\partial }_k{D}_j{D}_i\Omega ,\Omega )=-Y_{ijk}.\end{array}$$

所以实际上能写$$D_k{D}_j{D}_i\Omega =\frac{Y_{ijk}}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\overline{\Omega }.$$

最后$$\begin{array}{rl}({\partial }_k{D}_j{D}_i\Omega ,D_l\Omega )& ={\partial }_k(D_j{D}_i\Omega ,D_l\Omega )-(D_j{D}_i\Omega ,{\partial }_k{D}_l\Omega )\\ & ={\partial }_k{Y}_{ijl}-(D_j{D}_i\Omega ,{\Gamma }_{kl}^p{D}_p\Omega -{\mathrm{K}}_k{D}_l\Omega )\\ & =({\partial }_k+{\mathrm{K}}_k)Y_{ijl}-{\Gamma }_{kl}^p{Y}_{ijp}.\end{array}$$

5Yukawa 配对再探

当我们具有 $h^{2,1}=1$ 的 CY threefold 时, 它的模空间是一维的复流形, 也就是说能取 $\partial$ 的指标只剩下一个, 所以我们省略它. 我们能写出 $\Omega$ 满足的 PF 方程, 这是一个四次方程: $$\left({\partial }^4+\sum _{k=0}^3{c}_k{\partial }^k\right)\Omega =0.$$这自然带来$$(\Omega ,{\partial }^4\Omega )+\sum _{k=0}^3{c}_k(\Omega ,{\partial }^k\Omega )=0.$$而当 $k=0,1,2$ 时 $(\Omega ,{\partial }^k\Omega )=0$. 有趣的事情是$$\begin{array}{rl}0& ={\partial }^{2}0={\partial }^2(\Omega ,{\partial }^2\Omega )\\ & =(\Omega ,{\partial }^4\Omega )+2(\partial \Omega ,{\partial }^3\Omega )+({\partial }^2\Omega ,{\partial }^2\Omega )\\ & =2\partial (\Omega ,{\partial }^3\Omega )-(\Omega ,{\partial }^4\Omega ).\end{array}$$

结合 PF 方程具有的信息, 我们得到 Yukawa 配对 $Y=(\Omega ,{\partial }^3\Omega )$ 满足的方程$$2\partial Y+c_{3}Y=0.$$这也是最为著名的直接计算 Yukawa 配对的方法.

但是我们并不满足于此, 我们希望计算更多内容.

6辛基

目前标准的记号下, 考虑 CY 流形, 它的 $H_3(X,\mathbb{Z})$ 无挠部分具有一组辛基 $A^a,B_b$. 自然可以定义它的对偶为 ${\alpha }_a,{\beta }^b\in H^3(X,\mathbb{Z})$. 这时候我们可以将全纯的 $\Omega \in H^{3,0}(X)$ 表示为$$\Omega =z^a{\alpha }_a-{\mathcal{F}}_b{\beta }^b.$$

由此我们得到一个非常有用的量 prepotential, 从它出发基本可以用来表示任何你关心的其他量. $$\mathcal{F}:=\frac{1}{2}{z}^a{\mathcal{F}}_a,{\mathcal{F}}_a=\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial z^a}.$$例如 Kahler 势$$e^{-K}=i({\overline{z}}^a{\mathcal{F}}_a-z^a{\overline{\mathcal{F}}}_a).$$又例如 Yukawa 配对$$Y_{\phi \phi \phi }=z^a{\left(\frac{d}{d\phi }\right)}^3{\mathcal{F}}_a-{\mathcal{F}}_a{\left(\frac{d}{d\phi }\right)}^3{z}^a.$$

然后在 MUM 处, 我们得到的 PF 方程的解一般具有一组基 ${\varpi }_0,\cdots ,{\varpi }_3$, 长得看起来是$$\begin{array}{rl}{\varpi }_0& =f_0(\phi ),\\ {\varpi }_1& =f_0(\phi )\log \phi +f_1(\phi ),\\ {\varpi }_2& =f_0(\phi ){\log }^2\phi +2f_1(\phi )\log \phi +f_2(\phi ),\\ {\varpi }_3& =f_0(\phi ){\log }^3\phi +3f_1(\phi ){\log }^2\phi +3f_2(\phi )\log \phi +f_3(\phi ).\end{array}$$

其中诸 $f_i$ 调和且 $f_0(0)=1,f_j(0)=0,f_j^{\prime }(0)=1$ 对 $j\ge 1$.

7Griffith 中间 Jacobian

$\bullet$ 最后我们研究 intermediate Jacobian. 首先是 Griffith 定义的中间 Jacobian. 它是$$J_G=\frac{H^3(X,\mathbb{C})}{F^2{H}^3(X,\mathbb{C})+H^3(X,\mathbb{Z})}.$$

鉴于我们现在拿到三组基, $\{{\alpha }_a,{\beta }^b\}$, $\{{\varpi }_i\}$, $\{\Omega ,\overline{\Omega },D_i\Omega ,\overline{D_i\Omega }\}$.

现在本质要计算的是 ${\mathbb{C}}^4$ 商掉 $\Omega ,D\Omega$ 的 ${\mathbb{C}}^2$ 和一个秩 $4$ 的格 ${\alpha }_a,{\beta }^b$ 的信息, 鉴于我们具有内积, 所以我们应该试图投影, 将这四个格的基向量和 $\Omega ,\partial \Omega$ 作内积即可得知系数. $$\begin{array}{rl}(\Omega ,{\alpha }_a)& ={\mathcal{F}}_a,\\ (\partial \Omega ,{\alpha }_a)& ={\mathcal{F}}_a^{\prime },\\ (\Omega ,{\beta }^b)& =z^b,\\ (\partial \Omega ,{\beta }^b)& =(z^b{)}^{\prime }.\end{array}$$因此对应的紧环面的周期矩阵为$$\begin{array}{rl}{M}_{J_G}:=& \left[\begin{array}{cccc}{z}^1& z^2& {\mathcal{F}}_1& {\mathcal{F}}_2\\ (z^1{)}^{\prime }& (z^2{)}^{\prime }& {\mathcal{F}}_1^{\prime }& {\mathcal{F}}_2^{\prime }\end{array}\right]\\ ⇝\widetilde{M_{J_G}}:=& {\left[\begin{array}{cc}{z}^1& z^2\\ (z^1{)}^{\prime }& (z^2{)}^{\prime }\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{\mathcal{F}}_1& {\mathcal{F}}_2\\ {\mathcal{F}}_1^{\prime }& {\mathcal{F}}_2^{\prime }\end{array}\right]\\ =& \frac{1}{z^1(z^2{)}^{\prime }-z^2(z^1{)}^{\prime }}\left[\begin{array}{cc}{\mathcal{F}}_1(z^2{)}^{\prime }-{\mathcal{F}}_1^{\prime }{z}^2& {\mathcal{F}}_2(z^2{)}^{\prime }-{\mathcal{F}}_2^{\prime }{z}^2\\ {\mathcal{F}}_1^{\prime }{z}^1-{\mathcal{F}}_1(z^1{)}^{\prime }& {\mathcal{F}}_2^{\prime }{z}^1-{\mathcal{F}}_2(z^1{)}^{\prime }\end{array}\right].\end{array}$$

$\circ$ 让我们先使用暴力计算, 注意到这里的导数都是关于模空间的全纯参数 $\phi$ 的, 现在 $\mathcal{F}$ 应该看作关于 $z^1,z^2$ 的函数, 再将 $z^1,z^2$ 看作关于 $\phi$ 的函数. 对于 $2\mathcal{F}=z^1{\mathcal{F}}_1+z^2{\mathcal{F}}_2$, 我们可以对这条式子关于 $z^1,z^2$ 求导, 对 ${\mathcal{F}}_1,{\mathcal{F}}_2$ 关于 $\phi$ 求导, 得到下面四条式子$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}_1& =z^1{\mathcal{F}}_{11}+z^2{\mathcal{F}}_{12},\\ {\mathcal{F}}_2& =z^2{\mathcal{F}}_{22}+z^1{\mathcal{F}}_{21},\\ {\mathcal{F}}_1^{\prime }& =(z^1{)}^{\prime }{\mathcal{F}}_{11}+(z^2{)}^{\prime }{\mathcal{F}}_{12},\\ {\mathcal{F}}_2^{\prime }& =(z^2{)}^{\prime }{\mathcal{F}}_{22}+(z^1{)}^{\prime }{\mathcal{F}}_{21}.\end{array}$$实际上还有 $2\mathcal{F}$ 关于 $\phi$ 求导的结果, 不过它会被前面四条以及 ${\mathcal{F}}_{12}={\mathcal{F}}_{21}$ 推出. $$(z^1{)}^{\prime }{\mathcal{F}}_1+(z^2{)}^{\prime }{\mathcal{F}}_2=z^1{\mathcal{F}}_1^{\prime }+z^2{\mathcal{F}}_2^{\prime }.$$代入上述表达式化简可得到非常漂亮的结果$$\widetilde{M_{J_G}}=\left[\begin{array}{cc}{\mathcal{F}}_{11}& {\mathcal{F}}_{21}\\ {\mathcal{F}}_{12}& {\mathcal{F}}_{22}\end{array}\right]=\mathrm{Hess}(\mathcal{F}).$$

$\bullet$ 为了从更合适的角度解释为何会得到 Hessian, 我们其实有其他办法, 从 $2\mathcal{F}=z^1{\mathcal{F}}_1+z^2{\mathcal{F}}_2$ 可知 $\mathcal{F}$ 实则可以被想象为 $2$ 次的, 而 $z^1,z^2,{\mathcal{F}}_1,{\mathcal{F}}_2,\Omega$ 可以看作 $1$ 次的, ${\mathcal{F}}_{11},{\mathcal{F}}_{12}={\mathcal{F}}_{21},{\mathcal{F}}_{22}$ 是 $0$ 次的. 计算得到$$\begin{array}{rl}{\partial }_1\Omega =& {\alpha }_1-{\mathcal{F}}_{11}{\beta }^1-{\mathcal{F}}_{21}{\beta }^2,\\ {\partial }_2\Omega =& {\alpha }_2-{\mathcal{F}}_{12}{\beta }^1-{\mathcal{F}}_{22}{\beta }^2,\\ \Omega =& z^1{\alpha }_1+z^2{\alpha }_2-{\mathcal{F}}_1{\beta }^1-{\mathcal{F}}_2{\beta }^2,\\ \partial \Omega =& (z^1{)}^{\prime }{\alpha }_1+(z^2{)}^{\prime }{\alpha }_2-{\mathcal{F}}_1^{\prime }{\beta }^1-{\mathcal{F}}_2^{\prime }{\beta }^2,\\ \Omega =& z^1{\partial }_1\Omega +z^2{\partial }_2\Omega ,\\ \partial \Omega =& (z^1{)}^{\prime }{\partial }_1\Omega +(z^2{)}^{\prime }{\partial }_2\Omega .\end{array}$$这告诉我们 $\Omega ,\partial \Omega$ 张成的空间 $H^{3,0}\oplus H^{2,1}$ 也被 ${\partial }_1\Omega ,{\partial }_2\Omega$ 张成, 于是$$({\partial }_a\Omega ,{\alpha }_b)={\mathcal{F}}_{ab},({\partial }_a\Omega ,{\beta }^b)={\delta }_a^b.$$

$\bullet$ 现在我们稍稍将 $z^1,z^2,{\mathcal{F}}_1,{\mathcal{F}}_2$ 换成$$1=\frac{z^1}{z^1},t=\frac{z^2}{z^1},{\mathcal{G}}_1=\frac{{\mathcal{F}}_1}{z^1},{\mathcal{G}}_t=\frac{{\mathcal{F}}_2}{z^1}.$$很多时候因为我们涉及的量是齐次的, 因此使用这些变量也有其好处. 计算得到$$\begin{array}{rl}{\mathcal{G}}_{1t}=& \frac{{\mathcal{G}}_{11}}{t_1}+\frac{{\mathcal{G}}_{12}}{t_2}=\frac{{\mathcal{F}}_{11}{z}^1-{\mathcal{F}}_1}{(z^1{)}^2}\cdot \frac{-(z^1{)}^2}{z^2}+\frac{{\mathcal{F}}_{12}}{z^1}\cdot z^1,\\ {\mathcal{G}}_{tt}=& \frac{{\mathcal{G}}_{t1}}{t_1}+\frac{{\mathcal{G}}_{t2}}{t_2}=\frac{{\mathcal{F}}_{21}{z}^1-{\mathcal{F}}_2}{(z^1{)}^2}\cdot \frac{-(z^1{)}^2}{z^2}+\frac{{\mathcal{F}}_{22}}{z^1}\cdot z^1.\end{array}$$将所有东西都使用 $t,{\mathcal{G}}_1,{\mathcal{G}}_t,{\mathcal{G}}_{tt}$ 表达, 得到$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}_{11}=& {\mathcal{G}}_1-t{\mathcal{G}}_t+\frac{1}{2}{t}^2{\mathcal{G}}_{tt},\\ {\mathcal{F}}_{12}=& {\mathcal{G}}_t-\frac{1}{2}t{\mathcal{G}}_{tt},\\ {\mathcal{F}}_{22}=& \frac{1}{2}{\mathcal{G}}_{tt},\\ {\mathcal{G}}_{1t}=& 2{\mathcal{G}}_t-t{\mathcal{G}}_{tt}.\end{array}$$

8Weil 中间 Jacobian

现在我们来计算 Weil 定义的中间 Jacobian. 它是$$J_W=\frac{H^3(X,\mathbb{C})}{H^{3,0}(X,\mathbb{C})+H^{1,2}(X,\mathbb{C})+H^3(X,\mathbb{Z})}.$$这意味着我们需要计算 ${\alpha }_a,{\beta }^b$ 和 $\overline{D\Omega }$ 的内积. 计算 ${\mathrm{K}}_{\phi }$ 是必不可少的一步: $${\mathrm{K}}_{\phi }=-\frac{(\partial \Omega ,\overline{\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}=-\frac{-(z^1{)}^{\prime }\overline{{\mathcal{F}}_1}-(z^2{)}^{\prime }\overline{{\mathcal{F}}_2}+{\mathcal{F}}_1^{\prime }\overline{z^1}+{\mathcal{F}}_2^{\prime }\overline{z^2}}{-(z^1)\overline{{\mathcal{F}}_1}-(z^2)\overline{{\mathcal{F}}_2}+{\mathcal{F}}_1\overline{z^1}+{\mathcal{F}}_2\overline{z^2}}$$然后是计算$$\begin{array}{rl}(\overline{D\Omega },{\alpha }_a)=& \overline{{\mathcal{F}}_a^{\prime }}+\overline{{\mathrm{K}}_{\phi }\cdot {\mathcal{F}}_a},\\ (\overline{D\Omega },{\beta }^b)=& \overline{(z^b{)}^{\prime }}+\overline{{\mathrm{K}}_{\phi }\cdot z^b}.\end{array}$$

这意味着$$\begin{array}{rl}{M}_{J_W}:=& \left[\begin{array}{cccc}{z}^1& z^2& {\mathcal{F}}_1& {\mathcal{F}}_2\\ \overline{(z^1{)}^{\prime }}+\overline{{\mathrm{K}}_{\phi }\cdot z^1}& \overline{(z^2{)}^{\prime }}+\overline{{\mathrm{K}}_{\phi }\cdot z^2}& \overline{{\mathcal{F}}_1^{\prime }}+\overline{{\mathrm{K}}_{\phi }\cdot {\mathcal{F}}_1}& \overline{{\mathcal{F}}_2^{\prime }}+\overline{{\mathrm{K}}_{\phi }\cdot {\mathcal{F}}_2}\end{array}\right]\\ ⇝\widetilde{M_{J_W}}:=& {\left[\begin{array}{cc}{z}^1& z^2\\ \overline{(z^1{)}^{\prime }}+\overline{{\mathrm{K}}_{\phi }\cdot z^1}& \overline{(z^2{)}^{\prime }}+\overline{{\mathrm{K}}_{\phi }\cdot z^2}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{\mathcal{F}}_1& {\mathcal{F}}_2\\ \overline{{\mathcal{F}}_1^{\prime }}+\overline{{\mathrm{K}}_{\phi }\cdot {\mathcal{F}}_1}& \overline{{\mathcal{F}}_2^{\prime }}+\overline{{\mathrm{K}}_{\phi }\cdot {\mathcal{F}}_2}\end{array}\right]\end{array}$$

神奇的是, 经过代入上述 ${\mathcal{F}}_1,{\mathcal{F}}_2,{\mathcal{F}}_1^{\prime },{\mathcal{F}}_2^{\prime }$ 的化简, 再设 $2i\mathrm{Im}({\mathcal{F}}_{ab})={\mathcal{F}}_{ab}-\overline{{\mathcal{F}}_{ab}}=d_{ab}$, 则得到$$\widetilde{M_{J_W}}=\widetilde{M_{J_G}}+\frac{d_{12}^2-d_{11}{d}_{22}}{d_{11}{z}^1{z}^1+2d_{12}{z}^1{z}^2+d_{22}{z}^2{z}^2}\left[\begin{array}{c}{z}^2{z}^2,-z^1{z}^2\\ -z^1{z}^2,z^1{z}^1\end{array}\right].$$结果表明两个 Jacobian 之间不仅有关系, 而且它们的差是一个秩 $1$ 的东西.

r = {f1 -> z1 f11 + z2 f12, f2 -> z2 f22 + z1 f12, f1d -> z1d f11 + z2d f12, f2d -> z2d f22 + z1d f12};

poob = -z1d Conjugate[f1] - z2d Conjugate[f2] + f1d Conjugate[z1] + f2d Conjugate[z2];

oob = -z1 Conjugate[f1] - z2 Conjugate[f2] + f1 Conjugate[z1] + f2 Conjugate[z2];

k = -poob/oob;

m1 = {{z1, z2}, {Conjugate[z1d + k z1], Conjugate[z2d + k z2]}};

m2 = {{f1, f2}, {Conjugate[f1d + k f1], Conjugate[f2d + k f2]}};

theans = (((Inverse[m1] . m2) // FullSimplify) /. r) // FullSimplify

r2 = {Conjugate[f11] -> c11, Im[f11] -> (f11 - c11)/(2 I), Re[f11] -> (f11 + c11)/2, Conjugate[f12] -> c12, Im[f12] -> (f12 - c12)/(2 I), Re[f12] -> (f12 + c12)/2, Conjugate[f22] -> c22, Im[f22] -> (f22 - c22)/(2 I), Re[f22] -> (f22 + c22)/2};

ans = theans /. r2 // FullSimplify

r5 = {f11 -> c11 + d11, f12 -> c12 + d12, f22 -> c22 + d22};

ans - {{f11, f12}, {f12, f22}} /. r5 // FullSimplify // MatrixForm

Solve[{g1t == -f11/t + g1/t + f12, gtt == -f21/t + gt/t + f22, g1 == f11 + t f12, gt == f21 + t f22, f12 == f21}, {f11, f12, f22, f21, g1t}]

这里 poob 表示 partial Omega Omega bar. (不是)