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本文的目的是计算 Weil–Petersson 的曲率和一些有关的量. 很多内容来自

WEIL-PETERSSON GEOMETRY ON MODULI SPACE OF POLARIZED CALABI-YAU MANIFOLDS, by ZHIQIN LU & XIAOFENG SUN.

https://arxiv.org/pdf/math/0510020

我们的出发点是 Hodge–Riemann 双线性型保证的 $(\Omega ,\overline{\Omega })=i^{n}Q(\Omega ,\overline{\Omega })>0$, 其中 $\Omega \in {\Omega }^{n,0}(X_s)$ 是 CY 模空间对应 fiber 处的某全纯体积形式. 然后根据 special geometry, 对应的 Kahler 势函数为 $F=\log (\Omega ,\overline{\Omega })$, 那么 $g_{i\bar{j}}=-{\partial }_i{\partial }_{\bar{j}}F$. $$\begin{array}{r}{g}_{i\bar{j}}=-{\partial }_i\left(\frac{(\Omega ,\overline{{\partial }_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\right)=-\frac{({\partial }_i\Omega ,\overline{{\partial }_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}+\frac{(\Omega ,\overline{{\partial }_j\Omega })({\partial }_i\Omega ,\overline{\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega }{)}^2}.\end{array}$$

1第一次取 $D$

这里注意到体积形式的全纯性, ${\partial }_{\bar{j}}\Omega =0$, 然后 ${\partial }_i\Omega \in {\Omega }^{n-1,1}\oplus {\Omega }^{n,0}$. 接下来为了计算 ${\partial }_i\Omega$ 在上述直和下的分解, 由于该内积将 $(n,0)$ 形式和 $(0,n)$ 形式配对才会产生非零的值, 因此我们得知在 ${\Omega }^{n,0}$ 分量的值为$$p^{n,0}({\partial }_i\Omega )=\frac{({\partial }_i\Omega ,\overline{\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\Omega .$$于是按照传统我们记$$K_i:=-{\partial }_{i}F=-\frac{({\partial }_i\Omega ,\overline{\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })},D_i\Omega :={\partial }_i\Omega +K_i\Omega \in {\Omega }^{n-1,1}.$$

值得一提的是, 经过数值计算, 我们发现在 CY threefold family 的 2-吸引点处, $K_i$ 的值总是有理数.

我们总结得到下面的引理:

引理 1.1. 在前文的记号下:

(1) $(D_i\Omega ,\overline{\Omega })=0$,

(2) ${\partial }_{\bar{j}}{D}_i\Omega =g_{i\bar{j}}\Omega$,

(3) $g_{i\bar{j}}=-\frac{(D_i\Omega ,\overline{D_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}$.

证明. (1) 是根据 $D_i$ 的定义得到的.

(2) 直接计算$$\begin{array}{r}{\partial }_{\bar{j}}{D}_i\Omega ={\partial }_{\bar{j}}{\partial }_i\Omega +{\partial }_{\bar{j}}{K}_i\Omega =0+({\partial }_{\bar{j}}{K}_i)\Omega =g_{i\bar{j}}\cdot \Omega .\end{array}$$

(3) 直接计算$$\begin{array}{r}(D_i\Omega ,\overline{D_j\Omega })=(D_i\Omega ,\overline{{\partial }_j\Omega })=({\partial }_i\Omega ,\overline{{\partial }_j\Omega })+K_i(\Omega ,\overline{{\partial }_j\Omega }).\end{array}$$

由此结论得证.

$\square$

2第二次取 $D$

接下来我们计算 Christoffel 符号. $${\Gamma }_{ij}^k=g^{k\bar{q}}{\partial }_j{g}_{i\bar{q}}.$$其中的$$\begin{array}{rl}{\partial }_j{g}_{i\bar{q}}=-{\partial }_j\left(\frac{(D_i\Omega ,\overline{D_q\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\right)& =-\frac{({\partial }_j{D}_i\Omega ,\overline{D_q\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}+\frac{(D_i\Omega ,\overline{D_q\Omega })({\partial }_j\Omega ,\overline{\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega }{)}^2}\\ & =-\frac{({\partial }_j{D}_i\Omega ,\overline{D_q\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}+g_{i\bar{q}}{K}_j.\end{array}$$由此可知 Christoffel 符号的一个形式为$${\Gamma }_{ij}^k=-\frac{({\partial }_j{D}_i\Omega ,\overline{D_q\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}{g}^{k\bar{q}}+{\delta }_i^k{K}_j.$$

接下来想象我们在计算 ${\partial }_j{D}_i\Omega$ 往 ${\Omega }^{n-2,2}$ 的投影. 虽是这样说, 但是我们实际上是计算它与 $\overline{\Omega }$ 和 $\overline{D_k\Omega }$ 的内积, 然后减掉适当的项使之为 $0$.

首先计算$$\begin{array}{rl}({\partial }_j{D}_i\Omega ,\overline{\Omega })& ={\partial }_j(D_i\Omega ,\overline{\Omega })={\partial }_{j}0=0.\end{array}$$

由此可知 ${\partial }_j{D}_i\Omega$ 没有 $(n,0)$-分量. 接下来计算和已有的 $(n-1,1)$-分量的内积: (注意到 $(D_i\Omega ,\overline{D_j\Omega })$ 构成的矩阵为 $-g_{i\bar{j}}(\Omega ,\overline{\Omega })$, 其逆为 $-g^{i\bar{j}}/(\Omega ,\overline{\Omega })$), 于是

$$\begin{array}{r}{\partial }_j{D}_i\Omega =({\partial }_j{D}_i\Omega ,\overline{D_k\Omega })\cdot \frac{-g^{l\bar{k}}}{(\Omega ,\overline{\Omega })}{D}_l\Omega =({\Gamma }_{ij}^l-{\delta }_i^l{K}_j)D_l\Omega .\end{array}$$

这意味着我们可以定义$$D_j{D}_i\Omega :={\partial }_j{D}_i\Omega +K_j{D}_i\Omega -{\Gamma }_{ij}^l{D}_l\Omega .$$

总结前面发现, 我们得到

引理 2.1. 在前文的记号下:

(1) $(D_j{D}_i\Omega ,\overline{\Omega })=0$,

(2) $(D_j{D}_i\Omega ,\overline{D_k\Omega })=0$,

(3) $D_j{D}_i\Omega =D_i{D}_j\Omega$.

证明. (1) 和 (2) 是我们的构造保证的, 最后来看 (3), 注意到:

$$\begin{array}{rl}{\partial }_j{D}_i\Omega +K_j{D}_i\Omega & ={\partial }_j{\partial }_i\Omega +({\partial }_j{K}_i)\Omega +K_i{\partial }_j\Omega +K_j{\partial }_i\Omega +K_j{K}_i\Omega ,\\ & ={\partial }_j{\partial }_i\Omega -({\partial }_j{\partial }_{i}F)\Omega +K_i{\partial }_j\Omega +K_j{\partial }_i\Omega +K_j{K}_i\Omega ,\end{array}$$

注意 ${\Gamma }_{ij}^l$ 关于 $i,j$ 的对称性, 可知 $D_i{D}_j\Omega =D_j{D}_i\Omega$.

$\square$

此外, 还有一些关于 Yukawa 配对的计算, 如果 $n=3$, 也就是说我们研究 Calabi–Yau threefold 时, 按定义 $Y_{ijk}=(\Omega ,{\partial }_i{\partial }_j{\partial }_k\Omega )$:

命题 2.2. 在 $n=3$ 与前文记号下: $$(D_i{D}_k\Omega ,D_p\Omega )=Y_{ikp}.$$

证明. 实际上$$(D_i{D}_k\Omega ,D_p\Omega )=({\partial }_i{\partial }_k\Omega ,{\partial }_p\Omega )=(\Omega ,{\partial }_i{\partial }_k{\partial }_p\Omega ).$$最后一个等式是因为$$0={\partial }_{p}0={\partial }_p(\Omega \wedge {\partial }_i{\partial }_k\Omega )={\partial }_p\Omega \wedge {\partial }_i{\partial }_k\Omega +\Omega \wedge {\partial }_i{\partial }_k{\partial }_p\Omega .$$于是命题得证.

$\square$

3曲率的计算

有了前面的两个引理, 我们可以将曲率张量写成一个非常优美的表达式:

命题 3.1. 在前文的记号下:

$$R_{i\bar{j}k\bar{l}}=g_{i\bar{j}}{g}_{k\bar{l}}+g_{i\bar{l}}{g}_{k\bar{j}}-\frac{(D_k{D}_i\Omega ,\overline{D_l{D}_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}.$$

证明. 根据 $g_{i\bar{j}}$ 的构造可知它 Kahler, 我们的计算从关于 Kahler 度量曲率的基本事实开始: $$R_{i\bar{j}k\bar{l}}={\partial }_k{\partial }_{\bar{l}}{g}_{i\bar{j}}-g^{p\bar{q}}{\partial }_k{g}_{i\bar{q}}{\partial }_{\bar{l}}{g}_{p\bar{j}}.$$对于其中第一项, 利用前面已算得的结果, $$\begin{array}{rl}{\partial }_k{\partial }_{\bar{l}}{g}_{i\bar{j}}& ={\partial }_{\bar{l}}\left(-\frac{({\partial }_k{D}_i\Omega ,\overline{D_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}+g_{i\bar{j}}{K}_k\right)\\ & =-\frac{({\partial }_{\bar{l}}{K}_i)({\partial }_k\Omega ,\overline{D_j\Omega })+({\partial }_k{D}_i\Omega ,\overline{{\partial }_l{D}_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\\ & +\frac{({\partial }_k{D}_i\Omega ,\overline{D_j\Omega })(\Omega ,\overline{{\partial }_l\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega }{)}^2}+{\partial }_{\bar{l}}{g}_{i\bar{j}}\cdot K_k+g_{i\bar{j}}{\partial }_{\bar{l}}{K}_k\\ & =g_{i\bar{l}}{g}_{k\bar{j}}-\frac{({\partial }_k{D}_i\Omega ,\overline{{\partial }_l{D}_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\\ & +({\partial }_k{g}_{i\bar{j}}-K_k{g}_{i\bar{j}})K_{\bar{l}}+{\partial }_{\bar{l}}{g}_{i\bar{j}}\cdot K_k+g_{i\bar{j}}{g}_{k\bar{l}}.\end{array}$$

接下来使用 Christoffel 符号把所有 ${\partial }_k{g}_{i\bar{j}}$ 和 ${\partial }_k{D}_i\Omega$ 形状的东西联系起来. 首先是原式第二项$$g^{s\bar{t}}{\partial }_k{g}_{i\bar{t}}{\partial }_{\bar{l}}{g}_{s\bar{j}}=g^{s\bar{t}}{\Gamma }_{ki}^p{g}_{p\bar{t}}{\Gamma }_{\bar{l}\bar{j}}^{\bar{q}}{g}_{s\bar{q}}=g_{p\bar{q}}{\Gamma }_{ik}^p{\Gamma }_{\bar{j}\bar{l}}^{\bar{q}}.$$然后是第一项中唯一没有展开的项$$\begin{array}{rl}& \frac{({\partial }_k{D}_i\Omega ,\overline{{\partial }_l{D}_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}-\frac{(D_k{D}_i\Omega ,\overline{D_l{D}_j\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\\ =& \frac{(K_k{D}_i\Omega -{\Gamma }_{ik}^p{D}_p\Omega ,\overline{K_l{D}_j\Omega -{\Gamma }_{jl}^q{D}_q\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\\ =& -K_k{K}_{\bar{l}}\cdot g_{i\bar{j}}+K_k{\partial }_{\bar{l}}{g}_{i\bar{j}}+K_{\bar{l}}{\partial }_k{g}_{i\bar{j}}-g_{p\bar{q}}{\Gamma }_{ik}^p{\Gamma }_{\bar{j}\bar{l}}^{\bar{q}}.\end{array}$$

至此所有其他的项全部约掉, 命题得证.

$\square$

根据前面关于 Yukawa 配对的结果, 我们指出 (注意反对称性): $$(D_i{D}_k\Omega ,\overline{D_j{D}_l\Omega })=-\frac{(D_i{D}_k\Omega ,D_p\Omega )(\overline{D_q\Omega },\overline{D_j{D}_l\Omega })}{(\Omega ,\overline{\Omega })}{g}^{p\bar{q}}=\frac{g^{p\bar{q}}{Y}_{ikp}{Y}_{\bar{j}\bar{l}\bar{q}}}{(\Omega ,\overline{\Omega })}.$$由此我们能将原来的张量写作$$R_{i\bar{j}k\bar{l}}=g_{i\bar{j}}{g}_{k\bar{l}}+g_{i\bar{l}}{g}_{k\bar{j}}-\frac{g^{p\bar{q}}{Y}_{ikp}{Y}_{\bar{j}\bar{l}\bar{q}}}{(\Omega ,\overline{\Omega }{)}^2}.$$

4第三次取 $D$

本节我们假设 $n=3$, 这时候的计算恰好是很容易的. 我们需要计算 ${\partial }_k{D}_j{D}_i\Omega$ 和 $\overline{\Omega },\overline{D_l\Omega },D_l\Omega ,\Omega$ 的内积.

首先是类似于第二次取 $D$ 时算的: $$({\partial }_k{D}_j{D}_i\Omega ,\overline{\Omega })={\partial }_k(D_j{D}_i\Omega ,\overline{\Omega })=0.$$还有$$\begin{array}{rl}& ({\partial }_k{D}_j{D}_i\Omega ,\overline{{\partial }_l\Omega })={\partial }_k(D_j{D}_i\Omega ,\overline{{\partial }_l\Omega })=0,\\ ⟹& ({\partial }_k{D}_j{D}_i\Omega ,\overline{D_l\Omega })=0.\end{array}$$这是可以预计的, 由此得知它不具有 $(3,0),(2,1)$-分量.

接下来是$$\begin{array}{rl}& ({\partial }_k{D}_j{D}_i\Omega ,\Omega )=-Y_{ijk}.\end{array}$$

所以实际上能写$$D_k{D}_j{D}_i\Omega =\frac{Y_{ijk}}{(\Omega ,\overline{\Omega })}\overline{\Omega }.$$

最后$$\begin{array}{rl}({\partial }_k{D}_j{D}_i\Omega ,D_l\Omega )& ={\partial }_k(D_j{D}_i\Omega ,D_l\Omega )-(D_j{D}_i\Omega ,{\partial }_k{D}_l\Omega )\\ & ={\partial }_k{Y}_{ijl}-(D_j{D}_i\Omega ,{\Gamma }_{kl}^p{D}_p\Omega -K_k{D}_l\Omega )\\ & =({\partial }_k+K_k)Y_{ijl}-{\Gamma }_{kl}^p{Y}_{ijp}.\end{array}$$

5Yukawa 配对再探

当我们具有 $h^{2,1}=1$ 的 CY threefold 时, 它的模空间是一维的复流形, 也就是说能取 $\partial$ 的指标只剩下一个, 所以我们省略它. 我们能写出 $\Omega$ 满足的 PF 方程, 这是一个四次方程: $$\left({\partial }^4+\sum _{k=0}^3{c}_k{\partial }^k\right)\Omega =0.$$这自然带来$$(\Omega ,{\partial }^4\Omega )+\sum _{k=0}^3{c}_k(\Omega ,{\partial }^k\Omega )=0.$$而当 $k=0,1,2$ 时 $(\Omega ,{\partial }^k\Omega )=0$. 有趣的事情是$$\begin{array}{rl}0& ={\partial }^{2}0={\partial }^2(\Omega ,{\partial }^2\Omega )\\ & =(\Omega ,{\partial }^4\Omega )+2(\partial \Omega ,{\partial }^3\Omega )+({\partial }^2\Omega ,{\partial }^2\Omega )\\ & =2\partial (\Omega ,{\partial }^3\Omega )-(\Omega ,{\partial }^4\Omega ).\end{array}$$

结合 PF 方程具有的信息, 我们得到 Yukawa 配对 $Y=(\Omega ,{\partial }^3\Omega )$ 满足的方程$$2\partial Y+c_{3}Y=0.$$这也是最为著名的直接计算 Yukawa 配对的方法.

但是我们并不满足于此, 我们希望得到更多

6Picard–Fuchs 方程的解中蕴含的信息

7中间 Jacobian 和周期矩阵

最后我们研究 intermediate Jacobian.