用户: Cybcat/数学物理学家用的数学/Witt 代数和Virasoro 代数

回忆我们在量子上同调 (二) 中定义了

定义 0.1. Witt 代数是算子 $\{L_n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ 自由张成的李代数, 它们满足条件$$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}.$$

Virasoro 代数是 Witt 代数唯一的中心扩张, 算子 $\{L_n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ 和 $c$ 自由张成一个李代数. 其中 $c$ 和诸 $L_n$ 可交换, 即 $[c,L_n]=0$, 而诸 $L_n$ 之间满足$$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^3-m)1_{[m+n=0]}.$$

让我们在这里简单讨论它们的一些基本事实.

1圆环自同构

用 ${\mathbb{S}}^1=\partial \mathbb{D}$ 表示复平面中标准的圆环 $|z|=1$. 一个很自然的研究对象就是所谓的无穷维李群$$H:={\mathrm{Diff}}^{+}{\mathbb{S}}^1$$它的群元素是 ${\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{S}}^1$ 的保定向微分自同构, 而群运算自然是复合, 对 $G_1,G_2\in H$, 定义 $(G_1{G}_2)(z):=G_1(G_2(z))$. 不过在书写中, 我们有时使用 $G(z)$, 有时也使用记号 $G(\phi )$, 这里 $\phi \in [0,2\pi ]$ 且 $G(0)=G(2\pi )$. 现在问题是, $H$ 的李代数 $\mathfrak{h}$ 应该是什么样的? 为了研究 ${\mathfrak{h}}_{\mathbb{C}}$, 我们要观察一个无穷接近 $\mathrm{id}$ 的变换.

按传统考虑单参子群 $\{G_r{\}}_{r\in \mathbb{R}}\le H$, 一个自然的观察 $\frac{1}{r}(G_r(z)-z)$. 如果这个单参子群比较正常, 或者说在适当的可微条件下, 我们会发现这其实定义了一个 ${\mathbb{S}}^1$ 上的光滑切向量场. (这里排除切向量场在一些点处发散的情况) 所以我们自然地问, 如果我们从一个切向量场出发, 能不能反过来定义一个单参子群呢?

方法很简单, 我们只需要沿着切向量场走就可以了. 为了方便, 我们将这些资料都提升为 $\mathbb{R}$ 上者, 这样 $G(\phi +2\pi )=G(\phi )+2\pi$. 那么对于一个向量场, 我们可以把它描述为一个 $2\pi$ 周期的函数 $X(\phi )$, 即 $X(\phi +2\pi )=X(\phi )$, 假设一切事情都很好, 例如考虑光滑的 $X$ 以避免一切分析学困难, 假设 $f({\phi }_0,t)$ 描述从 ${\phi }_0$ 出发, 沿着这个向量场走 $t$ 后所在的位置, 那么对应的微分方程为: $$\{\begin{array}{l}f({\phi }_0,0)={\phi }_0,\\ \frac{\partial }{\partial t}f({\phi }_0,t)=X(f({\phi }_0,t)).\end{array}$$现在我们定义 $G_t(\phi )=f(\phi ,t)$, 我们来证明这确实给出了一个单参子群, 且 $\frac{1}{t}(G_t(\phi )-\phi )$ 一致收敛到 $X(\phi )$. 首先它是单参子群的证明, 首先验证 $f(\phi ,t_1+t_2)=f(f(\phi ,t_1),t_2)$, 这是因为两边看作关于 $t_2$ 的函数, 满足一样的初值和微分方程, 于是取 $t_2+t_1=0$, 得到 $\phi =f(\phi ,0)=f(f(\phi ,t),-t)=f(f(\phi ,-t),t)$ 从而 $\phi \mapsto f(\phi ,t)$ 对任意给定的 $t\in \mathbb{R}$ 都是 ${\mathbb{S}}^1$ 的自同构, 可知 $G_t$ 给出单参子群. 而且 $\frac{\partial }{\partial t}{G}_t(\phi ){|}_{t=0}=X(\phi )$, 由此我们完成了构造.

这告诉我们 $X$ 可以有正有负, 不过不影响我们在做自同构的事实, 可以感受到在 $X$ 的非零点间 $\phi$ 在按正负确定的方向流动.

接下来考虑李代数结构, 这应该自然地来自于李导数. 具体来说, 如果有向量场 $X_1,X_2$, 假设它们对应单参子群 $G_{1,t},G_{2,t}$ 则在 $\phi =0$ 为例, 计算$$\begin{array}{rl}& X_1(x)=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+b_3{x}^3\\ ⟹& G_{1,t}(x)=x+(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2)t+\frac{1}{2}(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2)(b_1+2b_{2}x+3b_3{x}^2)t^2+\cdots .\end{array}$$得到$$\begin{array}{r}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t^2}(G_{1,t}{G}_{2,t}{G}_{1,-t}{G}_{2,-t}(\phi )-\phi ){|}_{\phi =0}=X_1^{\prime }(0)X_2(0)-X_2^{\prime }(0)X_1(0),\end{array}$$所以一般的也就是 $X_1^{\prime }(\phi )X_2(\phi )-X_2^{\prime }(\phi )X_1(\phi )$.

现在对于 ${\mathbb{S}}^1$ 上的光滑切向量场, 其复化后可以看作一个 ${\mathbb{S}}^1$ 上的复光滑函数, 于是应该使用 Fourier 展开, 可以考虑写成 $X=f(z)\frac{d}{dz}$, 由此对 $L_1=f_1(z)\frac{d}{dz},L_2=f_2(z)\frac{d}{dz}$ 可以得到 $[L_1,L_2]=f_2(z)\frac{d}{dz}{f}_1(z)-f_1(z)\frac{d}{dz}{f}_2(z)=L_2\circ L_1-L_1\circ L_2$, 由此对 ${\mathfrak{h}}_{\mathbb{C}}$ 一组基 (Schauder 基), $L_n:=z^{n+1}\frac{d}{dz}$, 计算得到 $[L_n,L_m]=(n-m)L_{n+m}$. 至此, 我们重新得到了 Witt 代数.

2Witt 代数的中心扩张

计算中心扩张时, 我们假设$$[L_m,L_n]:=(m-n)L_{m+n}+C_{m,n},$$那么 Lie 括号的条件给出 $C_{m,n}=-C_{n,m}$, 然后就是 Jacobi 恒等式给出$$(m-n)C_{m+n,p}+(n-p)C_{n+p,m}+(p-m)C_{m+p,n}=0.$$而注意到一个自然的 coboundary 可以看作$$C_{m,n}^{\mathrm{cob}}:=-(m-n)\cdot b(m+n).$$由此通过取 $m\ne 0$ 时 $b(m)=\frac{1}{m}{C}_{m,0}$, $b(0)=C_{1,-1}/2$, $C_{m,n}^{\prime }=C_{m,n}+C_{m,n}^{\mathrm{cob}}$. 可以设 $C_{1,-1}=C_{0,n}^{\prime }=0$ 对一切 $n\ne 0$. 于是乎, 对 $p=0$ 观察 Jacobi 恒等式就得到 $(m+n)C_{m,n}=0$. 这意味着我们只需考虑取 $C_{m,n}=c(m)1_{[m+n=0]},c(-m)=-c(m)$.

现在找 $c(m)$ 的表达式只需取 $p=-(m+1),n=1$, 就得到$$(m-1)c(m+1)+(2+m)c(-m)=0⟹c(m+1)=\frac{m+2}{m-1}c(m),m\ge 2.$$由于 $C_{0,0}=C_{1,-1}=0$ 故 $c(0)=c(1)=0$, 设 $c(2)=c/2$, 得到$$c(m)=\frac{(m+1)m(m-1)}{12}c.$$于是我们得到了 Virasoro 代数. 这里的系数 $12$ 来自于取 $c(2)=c/2$.

最后为了检查这个扩张不平凡, 也就是检查 $C_{m,n}$ 不给出一个 coboundary, 若其满足$$\frac{c}{12}m(m^2-1)1_{[m+n=0]}=-(m-n)\cdot b(m+n).$$则代入 $m+n=0$ 即可推出这式子不能恒成立, 因为 $b(0)$ 只能取一个值. 由此我们检查了 Virasoro 代数是 Witt 代数的唯一中心扩张.

不过上面关于 coboundary 的计算告诉我们 $b(m)=c{1}_{[m=0]}/24$ 告诉我们其实也可以写出一个 cocycle$$\frac{1}{12}(c{m}^3-c^{\prime }m)1_{[m+n=0]}.$$而我们的代表元, 或者说见到的标准形式就是 $c=c^{\prime }$ 时的情形. 而 $H={\mathrm{Diff}}^{+}{\mathbb{S}}^1$ 拥有有限维的二阶上同调实则也是一个一般结论的特例, Gelfand 和 Fuks 证明了对可定向的紧流形 $M$, 设 $X(M)$ 是其上切向量场构成的代数, 那么 $H^q(X(M),\mathbb{R})$ 对一切 $q$ 都是有限维的.

3Kac-Moody 代数

现在 Virasoro