用户: Cybcat/曲线模空间/曲线的对称积

1引入

让我们先来看一个经典概念.

定义 1.1. 对于拓扑空间 $X$, 我们能定义它的对称积如下: ${\mathrm{Sym}}^{k}X:=\underset{n}{\underbrace{X\times \cdots \times X}}/S_n$.

换言之, 即 $n$ 个 $X$ 的乘积空间商掉在 $S_n$ 作用置换分量这一等价关系下所得者.

关于这一概念, 最常见的例子是 ${\mathrm{Sym}}^n\mathbb{C}$. 让我们来具体实现该空间, 构造映射: $$f:{\mathrm{Sym}}^n\mathbb{C}\to {\mathbb{C}}^n,[(x_1,\cdots ,x_n)]\mapsto \left({\sigma }_1=\sum _i{x}_i,{\sigma }_2=\sum _{i<j}{x}_i{x}_j,\cdots ,{\sigma }_n=\prod _i{x}_i\right),$$即将一个对称积空间中的点映射到分量的 $n$ 个初等对称多项式去.

定理 1.2. 上述映射 $f$ 是同胚映射.

证明. 我们可以分下面三步来检查这一映射是同胚映射如下:

(1) $f$ 是连续映射. 根据泛性质, 我们只需检查 $f$ 右复合商映射 ${\mathbb{C}}^n\to {\mathrm{Sym}}^k\mathbb{C}$ 连续, 而此时复合结果为 $n$ 个分量的多项式映射, 确实连续.

(2) $f$ 是双射. 首先 $f$ 是满射, 因为代数基本定理告诉我们, 从 ${\sigma }_i$ 出发可以求解方程 $x^n+{\sum }_k(-1{)}^k{\sigma }_k{x}^{n-k}=0$ 来得到 $x_i$ (差一个置换). 而 $f$ 是单射则是 $\mathbb{C}[x]$ 是唯一分解整环所保证的.

(3) $f$ 的逆连续, 这即是著名结果: 首一多项式的根关于其系数连续变化.

$\square$

现在由上述结果出发, 我们可以迅速得到如下的紧化版本:

定理 1.3. 我们有同胚 $\mathrm{Sym}{\mathbb{CP}}^1\cong {\mathbb{CP}}^n$.

证明. 类似 ${\mathbb{C}}^1$ 的版本. 我们可以构造对应的 $f$ 如下: $$\begin{array}{rl}f:{\mathrm{Sym}}^n{\mathbb{CP}}^1\to {\mathbb{CP}}^n,& [([x_1:y_1],\cdots ,[x_n:y_n])]\mapsto \\ & \left[{\sigma }_0=\prod _i{y}_i:{\sigma }_1=\prod _i{y}_i\cdot \sum _i\frac{x_i}{y_i}:{\sigma }_2=\prod _i{y}_i\cdot \sum _{i<j}\frac{x_i}{y_i}\frac{x_j}{y_j}:\cdots :{\sigma }_n=\prod _i{x}_i\right].\end{array}$$也就是说考虑 $x_i/y_i$ 的初等对称多项式然后作齐次化. 例如对于 $n=2$ 的情况, $$f:[([x_1:y_1],[x_2:y_2])]\mapsto [y_1{y}_2:x_1{y}_2+x_2{y}_1:x_1{x}_2].$$

(1) 首先检查 $f$ 良定义. 我们构造 $f(\lambda )={\prod }_i(x_i\lambda +y_i)$. 如果它恒为 $0$ 说明因子中存在 $0$, 这是因为 $\mathbb{C}[x]$ 是整环. 由此 $n+1$ 个对称多项式都是 $0$ 推出同时存在一对 $x_i=0,y_i=0$.

(2) 其次证明 $f$ 是双射, 这仍然可以通过对前述 $f(\lambda )$ 作因式分解来确定所有的因子 (差一个置换).

(3) 证明 $f$ 连续以及逆连续, 在局部 (仿射开集) 上检查 $f(x)={\prod }_i(x-x_i){\prod }_j(x-y_j^{-1})$ 的根关于系数连续变化. 给定任意 $\{x_i{\}}_i,\{y_j{\}}_j$ 分别的开邻域 $U,V$. 存在 $f(x)$ 系数的邻域, 使得在这个邻域内变化时, 存在 $f$ 的根的对应数量的一部分, 它们和余下部分的相反数分别落在 $U,V$ 中.

$\square$