用户: Cybcat/曲线模空间/JS第四讲(续)

1第四讲 (续)

—— 诶嘿嘿, 啊哈哈哈哈哈哈... moduli space 来咯哈哈哈.

唉, 这, 这, 这 marked points 都齐了, 怎么还不 glue 呀.

—— Strata 啊, 这大伙都不敢 glue. 有人说, 说是有人在 moduli space 里下了 recursive boundary structure.

首先我们把前一讲没做完的事情做完.

小引理的证明

引理 1.1. 设 $\pi :C\to B$ 为光滑, 紧合, 满, 局部有限表现同态, 相对维数不超过 $1$, 几何纤维同构 ${\mathbb{P}}^1$.

(a) 若 $\pi$ 具有截面 $p_1:B\to C$. 则 $B$ 上存在一个秩 $2$ 向量丛 $\mathcal{E}$ 使得于 $B$ 上 $C\cong \mathbb{P}(\mathcal{E})$.

(b) 若 $\pi$ 具有两个不交截面 $p_1,p_2:B\to C$, 则 $\mathcal{E}\cong {\mathcal{L}}_1\oplus {\mathcal{L}}_2$ 为线丛直和.

(c) 若 $\pi$ 具有三个不交截面 $p_1,p_2,p_3:B\to C$, 则 $\mathcal{E}$ 可被选取为 ${\mathcal{O}}_B\oplus {\mathcal{O}}_B$, 由此 $C\cong B\times {\mathbb{P}}^1$.

让我们如前面所保证的, 补充 1.1 的证明. 这个证明并不那么平凡, 因为定理要求提得比较一般. 读者如果感兴趣, 可以展开下面的证明进行阅读.

证明.

证明. 首先是 (a), 因为 $\pi :C\to B$ 紧合而且 $\pi \circ p_1={\mathrm{id}}_B$ 是闭浸入, 使用紧合消去得到 $p_1$ 是闭浸入. 这样 $p_1$ 的像在每个纤维上都是 Cartier 除子, 所以它实则定义了一个相对 Cartier 除子 (Stacks Project $062Y$), 从而可以得到线丛 $\mathcal{L}={\mathcal{O}}_C(p_1)$, 当然, 这些事实在解析侧都是非常自然的. 现在我们声称推出 $\mathcal{E}:={\pi }_{\ast }\mathcal{L}$ 是 $B$ 上的秩 $2$ 向量丛 (局部自由层). 如果是这样, 那么得到关于 $p_1$ 典范的同构 $C\cong \mathbb{P}(\mathcal{E})$ (Hartshorne V.2 (ruled surface) Prop2.2): 具体来说, 我们声称存在自然的满射 ${\pi }^{\ast }\mathcal{E}={\pi }^{\ast }{\pi }_{\ast }\mathcal{L}\to \mathcal{L}$, 为了检查这一点, 使用 Nakayama 引理, 只需在纤维, 无非是 $C_s\cong {\mathbb{P}}^1$ 上检查, 由于 $\mathcal{L}$ 被整体截面生成, 故 $\mathcal{E}\otimes k(s)\to H^0(C_s,{\mathcal{L}}_s)$ 是满射. 于是我们对应的满射 ${\pi }^{\ast }\mathcal{E}\to \mathcal{L}={\mathcal{O}}_C(1)$ 给出 $g:C\to \mathbb{P}(\mathcal{E})$ 于 $B$, 满足 $\mathcal{L}\cong g^{\ast }{\mathcal{O}}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1)$. 结合 $\mathcal{L}$ 在纤维极丰沛, 这就表明 $g$ 纤维是同构.

为了证明局部自由秩 $2$, 对 $s\in B$ 考虑 $H^1(C_s,{\mathcal{L}}_s)$ 消失, 这是因为在代数闭包 (过渡到闭包与取 $H^1$ 可交换) 上就能看到$$H^1(C_{k(s{)}^a},{\mathcal{L}}_{k(s{)}^a})=H^1({\mathbb{P}}_{k(s{)}^a}^1,\mathcal{O}(1))=0.$$于是根据上同调基变换的结果, $\pi$ 局部有限表现从而可以不需要 $B$ 局部诺特 (Vakil Rising Sea 1817 Exer28.2.M), 结合平坦和满等由题目保证的条件, Grauert 定理及推论得出此时 $\mathcal{E}={\pi }_{\ast }\mathcal{L}$ 局部自由, 而且$$h^0(C_{k(s{)}^a},{\mathcal{L}}_{k(s{)}^a})=h^0({\mathbb{P}}_{k(s{)}^a}^1,\mathcal{O}(1))=2.$$

接下来证明 (b). 现在我们有另一个 $p_2:B\to C$. 和 (a) 一样我们得到 ${\mathcal{L}}^{\prime }={\mathcal{O}}_C(p_2)$. 仍由 Grauert 定理, 存在 $B$ 上的线丛 $\mathcal{M}={\pi }_{\ast }({\mathcal{L}}^{\vee }\otimes {\mathcal{L}}^{\prime })$ 使得 ${\pi }^{\ast }\mathcal{M}={\mathcal{L}}^{\vee }\otimes {\mathcal{L}}^{\prime }$. 现在开始证明就很初等, 考虑 $s_0\in H^0(C,\mathcal{L}),s_{\infty }\in H^0(C,{\mathcal{L}}^{\prime })$ 分别为 $p_1,p_2$ 处消失的截面, 那么我们得到 $B$ 上的向量丛映射$$\Psi :{\mathcal{O}}_B\oplus {\mathcal{M}}^{\vee }\to \mathcal{E},(a,b)\mapsto a{s}_0+b{s}_{\infty }.$$这里 $b{s}_{\infty }$ 是良定义的, 因为在 $B$ 平凡化 $\mathcal{E}$ 的开集中$$\mathcal{E}={\pi }_{\ast }({\mathcal{L}}^{\prime }\otimes {\pi }^{\ast }{\mathcal{M}}^{\vee })={\mathcal{M}}^{\vee }\otimes {\pi }_{\ast }{\mathcal{L}}^{\prime }.$$由此 $\Psi$ 是同构, 实际上这个 $B$ 的开覆盖也平凡化 $\mathcal{M}$, 同时截面 $s_0,s_{\infty }$ 是一组基, 从而 $\mathcal{E}$ 被写成了线丛直和 (甚至其中一个是 ${\mathcal{O}}_B$).

最后的 (c) 也很简单, 由于 $p_3$ 和它们不交所以现在$$\mathcal{M}=p_3^{\ast }{\pi }^{\ast }\mathcal{M}=p_3^{\ast }({\mathcal{L}}^{\vee }\otimes {\mathcal{L}}^{\prime })=p_3^{\ast }{\mathcal{O}}_C(-p_1+p_2)={\mathcal{O}}_B.$$最后一个等号是因为它次数为 $0$. 由 (b) 就得到 $\mathcal{E}={\mathcal{O}}_B\oplus {\mathcal{O}}_B$. 结论得证.

$\square$

阶层结构一瞥

现在回到主线任务, 现在的目标是研究清楚粘接映射, 它有助于我们观察阶层结构.

本节中我们总假设已经得知 ${\overline{M}}_{g,n}$ 已然是模函子 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$ 的粗模空间而且它们为不可约 $3g-3+n$ 维 $\mathbb{C}$-概形.

命题 1.2. 设 $\Gamma$ 是稳定图, 则存在所谓的粘接态射 (gluing map)$${\xi }_{\Gamma }:{\overline{M}}_{\Gamma }=\prod _{v\in V(\Gamma )}{\overline{M}}_{g(v),n(v)}\to {\overline{M}}_{g,n}.$$将 $C_v$ 以及其上的标记点打到 $C$, 使得对应的点被粘成节点, 标记点被打到标记点. 而且映射 ${\xi }_{\Gamma }$ 是有限的, 它的像为 $M^{\Gamma }$ 的闭包 ${\overline{M}}^{\Gamma }$.

证明概要. 函子观点很重要, 我们首先考虑 ${\overline{\mathcal{M}}}_{\Gamma }:{\mathsf{Sch}}_{\mathbb{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 为$${\overline{\mathcal{M}}}_{\Gamma }(S):=\prod _{v\in V(\Gamma )}{\overline{\mathcal{M}}}_{g(v),n(v)}(S).$$那么使用 Yoneda 引理就知道, 构造 $\widehat{{\xi }_{\Gamma }}:{\overline{\mathcal{M}}}_{\Gamma }\to {\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$ 自然变换就会自然构造出 ${\xi }_{\Gamma }:{\overline{M}}_{\Gamma }\to {\overline{M}}_{g,n}$, 尽管它们是粗模空间, 下面的图表展示了它的工作方式: 所以现在来造自然变换, 非常自然地我们想按照下图所示的方法定义:

那么对于 ${\overline{\mathcal{M}}}_{\Gamma }(S)$ 中的一个元素$$({\pi }_v:C_v\to S,(q_h:S\to C_v){)}_{v\in V(\Gamma )}),$$(其中 $q_h$ 表示 $C_v$ 上的所有特殊点), 我们将其中对应于半边的那些对子 $(q_h,q_h^{\prime })$ 粘起来, 我们展示最简单的情形: 如果 ${\pi }_1:C_1\to S$ 和 ${\pi }_2:C_2\to S$ 沿着截面 $q_1:S\to C_1$ 和 $q_2:S\to C_2$ 粘起来, 本质上我们得到的对象 $X$ 其实是如下的二者像的并: 对于一般的情形, 就是反复地作这一操作. 比较严谨的办法是使用概形的推出, 下面的构造来自 Stacks project $0E25$,

我们给出一个一般场景, $S$ 是概形, $i:Z\to X,j:Z\to Y$ 是 $S$-概形态射, 假设

$\bullet$ $i$ 是闭浸入.

$\bullet$ $j$ 是整态射.

$\bullet$ 任意 $y\in Y$, 存在仿射开 $U\subset X$ 使得 $j^{-1}(\{y\})=i^{-1}(U)$.

那么推出 $X{\coprod }_{Z}Y$ 存在: 图表是 fibre square, 满足 $a$ 是整态射, $b$ 是闭浸入, 而且作为环层我们有$${\mathcal{O}}_{X{\coprod }_{Z}Y}=b_{\ast }{\mathcal{O}}_Y{\times }_{c_{\ast }{\mathcal{O}}_Z}{a}_{\ast }{\mathcal{O}}_X.$$其中 $c=a\circ i=b\circ j$.

当然, 完整的证明需要不少代数几何, 在环上简单观察就知道其不平凡: 假设 $X,Y,Z$ 对应环 $A,B,C$. 那么我们有 $A\to C$ 是满射, $B\to C$ 整, 此时 $X{\coprod }_{Z}Y$ 将对应环 $A{\times }_{C}B$(可以想象它存在而且满足好的条件), 以及张量积关系: $$C\cong A{\otimes }_{A{\times }_{C}B}B.$$然后很多性质就自然被张量积 (或者说概形纤维积) 保持.

特别地, 如果 $i:Z\to X,j:Z\to Y$ 都是闭浸入, 那么此时上面的要求都满足 (为什么), 同时我们有短正合列$$0\to {\mathcal{O}}_{X{\coprod }_{Z}Y}\to a_{\ast }{\mathcal{O}}_X\oplus b_{\ast }{\mathcal{O}}_Y\to c_{\ast }{\mathcal{O}}_Z\to 0.$$

回到我们熟悉的情况, 实际上$$Z=S,X=C_1,Y=C_2,i=p_1,j=p_2,$$此时得到的 $C_1{\coprod }_S{C}_2$ 即粘接出的对象. 一个局部上的直观就是$$\begin{array}{rlrlr}S=\mathrm{Spec}\mathbb{C},& & C_1=\mathrm{Spec}\mathbb{C}[X],& & C_2=\mathrm{Spec}\mathbb{C}[Y],\\ & & q_1:X\mapsto 0,& & q_2:Y\mapsto 0.\end{array}$$此时应当有$$\coprod _q{C}_i=\mathbb{C}[X,Y]/(XY)\subset \mathbb{C}[X,Y]=C_1{\times }_S{C}_2.$$这样一来, 粘接映射 $\widehat{{\xi }_{\Gamma }}$ 被构造出来, 从具体的定义上不难检查它在 ${\overline{M}}_{\Gamma }$ 的 $\mathbb{C}$-点上, 或者说集合上如我们所想那般运作. 另一方面由于它构造的自然性, 它在族的拉回下表现良好, 因此得到的 $\widehat{{\xi }_{\Gamma }}$ 是自然变换.

最后研究 ${\xi }_{\Gamma }$ 的性质, 首先它紧合, 因为它是紧合到射影的拓扑满映射, 于是为了证明它有限, 只需证明拟有限 (Vakil Rising Sea 1817 Thm29.6.2), 现只需检查每个闭点原像有限. 而这是个完全组合数学的事实, 让我们展示一个不同原像的例子:

无非是选择一些边, 使得把它们剪断后形成的连通分支在 $g,v$ 上分别如 $\Gamma$ 顶点的信息所示, 且选择的边, 即连接方式的确定也如 $\Gamma$ 给出, 这些选择都是在有限集上作的, 当然只有有限多. 所以 ${\xi }_{\Gamma }$ 的有限性得证.

然后是 ${\xi }_{\Gamma }$ 的像, 我们先研究光滑者的像, 定义 $M_{\Gamma }$, 并且回忆 $M^{\Gamma }$ 是什么: $$\begin{array}{rlrl}{M}_{\Gamma }:=& \prod _{v\in V(\Gamma )}{M}_{g(v),n(v)}& & \subset {\overline{M}}_{\Gamma }:=\prod _{v\in V(\Gamma )}{\overline{M}}_{g(v),n(v)},\\ M^{\Gamma }:=& \{(C;p_1,\cdots ,p_n):{\Gamma }_C\cong \Gamma \}& & \subset {\overline{M}}_{g,n}.\end{array}$$我们声称应当有 $M^{\Gamma }={\xi }_{\Gamma }(M_{\Gamma })$, 这基本就是粘接映射的定义. 由于 ${\xi }_{\Gamma }$ 紧合, 我们得知其在闭集上的像是闭的, 结合 $M_{\Gamma }$ 的闭包是 ${\overline{M}}_{\Gamma }$, 可知 ${\xi }_{\Gamma }({\overline{M}}_{\Gamma })$ 包含 $M^{\Gamma }$ 的闭包. 另一方面由于它们都是不可约的, 利用开 $M_{\Gamma }$ 的稠密性, ${\overline{M}}_{\Gamma }$ 的像包含在 $M_{\Gamma }$ 像的闭包中, 也就是 $M^{\Gamma }$ 的闭包中, 于是 ${\xi }_{\Gamma }({\overline{M}}_{\Gamma })=\overline{M^{\Gamma }}$. 结论得证.

$\square$

有了这个命题的帮助, 让我们再回到触手可及的主定理, 即:

命题 1.3. 设 $g,n\ge 0$ 满足 $2g-2+n>0$, 则任意给定亏格 $g$ 具有 $n$ 个标记的稳定图 $\Gamma$:

考虑 ${\overline{M}}_{g,n}$ 中稳定图同构 $\Gamma$ 的曲线等价类集合: $$M^{\Gamma }=\{(C;p_1,\cdots ,p_n):{\Gamma }_C\cong \Gamma \}\subset {\overline{M}}_{g,n},$$它是 ${\overline{M}}_{g,n}$ 中非空, 不可约, 局部闭 (闭集交开集) 的子簇, 满足$$\dim M^{\Gamma }=\dim {\overline{M}}_{g,n}-\#E(\Gamma ).$$最后, ${\overline{M}}_{g,n}$ 显然是诸 $M^{\Gamma }$ 的无交并. 维数为 $3g-3+n$.

这些 $M^{\Gamma }$ 称为 ${\overline{M}}_{g,n}$ 的阶层 (strata).

证明. 首先我们来算 $\dim {\overline{M}}_{\Gamma }$. 按照定义: $$\begin{array}{rl}\dim {\overline{M}}_{\Gamma }& =\sum _{v\in V(\Gamma )}(3g(v)-3+n(v))\\ & =3\sum _{v\in V(\Gamma )}g(v)-3\#V(\Gamma )+2\#E(\Gamma )+n(\Gamma )\\ & =3g(\Gamma )-3+n(\Gamma )-\#E(\Gamma )=\dim {\overline{M}}_{g,n}-\#E.\end{array}$$接下来由于 $M_{\Gamma }$ 非空且不可约, 故 ${\xi }_{\Gamma }$ 作用下也是, 现在 $M^{\Gamma }$ 非空不可约, 为了检查它局部闭, 我们先检查$${\xi }_{\Gamma }({\overline{M}}_{\Gamma }\backslash M_{\Gamma })=\overline{M^{\Gamma }}\backslash M^{\Gamma }.$$若真如此, 由于 ${\xi }_{\Gamma }$ 紧合, $\overline{M^{\Gamma }}\backslash M^{\Gamma }$ 闭于是 $M^{\Gamma }$ 将是闭集 $\overline{M^{\Gamma }}$ 中的开集. 这是因为 ${\overline{M}}_{\Gamma }\backslash M_{\Gamma }$ 中的曲线比 $M_{\Gamma }$ 中者稳定图的边数严格多, 包含了一些顶点的自环. 所以像也如此, 自是不能落在 $M^{\Gamma }$ 中. 至此结论得证.

$\square$

让我们再多做一点观察, 首先余维数 $1$ 的 ${\overline{M}}^{\Gamma }$ 是什么呢? 按照定义它们对应的稳定图只有一条边, 也就是:

由于连通性, 顶点数只有 $1,2$ 两种可能, 分别对应了上面的两种情况. 实际上不难证明 $\partial {\overline{M}}_{g,n}:={\overline{M}}_{g,n}\backslash M_{g,n}$ 是全体 $\overline{M^{\Gamma }}$ 的并, 其中 $\Gamma$ 恰有一条边. 所以人们也把这些 $\overline{M^{\Gamma }}$ 叫做边界除子. 实际上更加一般地, $\overline{M^{\Gamma }}$ 是一系列 $M^{{\Gamma }^{\prime }}$ 的并, 每个 $\Gamma$ 中的顶点在 ${\Gamma }^{\prime }$ 中则是一个稳定子图, 而且 ${\Gamma }^{\prime }$ 中的这些稳定子图的顶点集构成了所有顶点的一个分划 (不重不漏). 另一个角度说把这些连通者缩成顶点, 就从 ${\Gamma }^{\prime }$ 变成了 $\Gamma$, 相应地, 标记点也汇总子图的所有标记点, 亏格也是子图的亏格. 一个示意图如下:

这种结构在以后讨论 ${\overline{M}}_{g,n}$ 的相交理论时会再一次见到.

不过在这之前, 读者可以回忆一下我们曾经看到的 ${\overline{M}}_{1,2}$ 结构示意 (某种讲义封面), 回忆它有 $5$ 种稳定图, 其中有两个一维的 ${\Gamma }_B,{\Gamma }_C$, 我们用 ${\Gamma }_B$ 表示那个有自环的, ${\Gamma }_C$ 表示没有自环的. 同时有两个零维的 ${\Gamma }_D,{\Gamma }_E$, 我们用 ${\Gamma }_D$ 表示那个有自环的, ${\Gamma }_E$ 表示连了两条一样的边的. 其中 $M^{{\Gamma }_D}$ 同时位于 $\overline{M^{{\Gamma }_B}},\overline{M^{{\Gamma }_C}}$ 上, 而 $M^{{\Gamma }_E}$ 只在 $\overline{M^{{\Gamma }_B}}$ 上.

亏格 $0$ 稳定曲线

尽管前文我们已经粗略地观察了 $M_{0,n}$, 但是我们对其紧化仍知之甚少, $n=3$ 没什么好说的, 它只有唯一的稳定图, 对应的 ${\overline{M}}_{0,3}=M_{0,3}=\mathrm{pt}$. 接下来, 让我们稍稍具体一点, 观察例子 ${\overline{M}}_{0,4}$:

我们知道此时的稳定图有 $4$ 种 (请你核对上一节的表格), 让我们把它们展示出来:

根据前面的命题我们知道$${\overline{M}}_{0,4}=M^{{\Gamma }_0}\bigsqcup M^{{\Gamma }_1}\bigsqcup M^{{\Gamma }_2}\bigsqcup M^{{\Gamma }_3}.$$其中 $M^{{\Gamma }_0}=M_{0,4}$, 根据光滑曲线的讨论, 我们得知它就是 ${\mathbb{P}}^1\backslash \{0,1,\infty \}$. 如何因为诸 $M^{{\Gamma }_i}$ 对 $i>0$ 是一个点 (${\Gamma }_i$ 有 $1$ 条边所以簇 $0$ 维), 所以不难想象为了得到不可约的 ${\overline{M}}_{0,4}$, 只能将这三个点粘到 $0,1,\infty$ 去. 有趣的是这意味着我们最终得到了光滑的模空间, 但是这个形变看起来让一个球变成了两个, 似乎不是特别连续. 如何理解这种形变呢?

让我们观察 $xy=t{z}^2$, 其中 $t$ 是参数, 它上面有四个标记点$$p_0:=[0:1:0],p_1:=[1:t:1],p_{\infty }:=[1:0:0],p_t:=[t:1:1].$$当然, 如果 $t\ne 0$, 那么它总是光滑的. 但是当 $t\to 0$ 时, 奇妙的事情就发生了:

从图上就能看出光滑曲线如何裂开为节点曲线, 这种事情只有取合理的族时才能看出其奥妙. 当标记点 $p_t$ 在横坐标上靠近 $p_0$ 的过程中, 曲线裂成了我们所想的形态.

更巧妙的是, ${\overline{M}}_{0,4}$ 是精模空间, 如果一切都如我们所预料, 那么原本光滑的万有族 $M_{0,4}\times {\mathbb{P}}^1\to M_{0,4}$ 在这里将变成万有族$$\pi :{\overline{C}}_{0,4}:={\mathrm{Bl}}_{(0,0),(1,1),(\infty ,\infty )}{\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^1={\overline{M}}_{0,4}.$$其中第一个箭头是爆破诱导的, 第二个箭头是往第一个分量投影, 截面 $p_1,\cdots ,p_4:{\overline{M}}_{0,4}\to {\overline{C}}_{0,4}$ 为$${\mathbb{P}}^1\to {\overline{C}}_{0,4},q\mapsto (q,0),(q,1),(q,\infty ),(q,q).$$因为像没有穿过那三个爆破中心点 (locus), 所以不用担心映射的良定问题. 请读者检查, 这里 ${\pi }^{-1}(0),{\pi }^{-1}(1),{\pi }^{-1}(\infty )$ 都是节点曲线. 当然就是原本的那个 ${\mathbb{P}}^1$ 原像在一点处粘了爆破出来的 ${\mathbb{P}}^1$.

然后我们马上步入一般 $n$ 的研究. 不过我们先看一般的理论, 基于 Deligne–Mumford 在第三讲的大定理:

命题 1.4. 对任意正整数 $n\ge 3$.

(1) ${\overline{M}}_{0,n}$ 是精模空间, 它是光滑不可约 $n-3$ 维射影 $\mathbb{C}$-代数簇.

(2) 任意稳定图 $\Gamma$ 都是树, 而且自同构都是平凡的.

(3) 任意稳定曲线的自同构都是平凡的. 于是 ${\overline{M}}_{0,n}^0={\overline{M}}_{0,n}$.

(4) 对 $m\ge 2$, $n=m+1$ 个标记点稳定图的数量为 OEIS $A311(m)$, 是 Schroeder 第四问题的解数, 其 EGF $A(x)$ 满足$$\exp A(x)=2A(x)-x+1.$$它统计了一个退化情况: 当只有一个顶点却只有两个标记点. 计算递推数列时就没有这个困难: $$a(m+1)=(m+2)a(m)+2\sum _{k=2}^{m-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)a(k)a(m-k+1),a(2)=1.$$

证明.

证明. 先看 (2), 首先注意到叶子上总有标记点, 因此自同构必须固定所有叶子, 而这足以固定整个图. 实际上从某个非叶子 $v$ 两端任意延申一条路径 (贪心地), 由于是树而且有限, 这样总能抵达叶子 $v_1\ne v_2$. 注意到树上任意 $v_1\ne v_2$ 具有唯一的测地线, 现在它也经过 $v$, 于是, $v$ 被它在测地线上的位置唯一决定.

现在 (3) 就立刻被确定, 一旦顶点不动, 所有特殊点就不动, 于是每个正规化的连通分支上都是平凡自同构, 由此可知原本的稳定曲线也没有非平凡自同构. 然后 (1) 就是 DM 定理的推论, 在那里我们指出了平凡自同构对应的模问题是有精模空间 ${\overline{M}}_{g,n}^0$ 的, 现在 $g=0$ 时两个模问题相同, 自然就有所需的结论, 至于光滑性以及不可约性的论断, 它们也都来自 DM.

让我们来到组合数学命题 (4), 关于其他组合意义, 它们与主线关系不大所以我们就此略过. 先看递推关系. 对于 $n=m+2$, $m\ge 2$, 我们选定新加进来的标记点 $m+2$, 然后进行分类讨论:

$\bullet$ 如果去掉该标记点后图不再是稳定的, 注意到原图稳定, 说明两种情况之一发生了:

$\bullet \bullet$ 要么该标记点标记在叶子, 同时叶子上还有另一个标记点, 根据另一个标记点 $k$ 是什么共分为 $m+1$ 种情况, 无论何种情况将该叶子去掉并把那个标记点 $k$ 接到它连接的顶点上, 我们唯一确定了一个 $m+1$ 个标记点的图, 这些总共贡献了 $(m+1)a(m)$.

$\bullet \bullet$ 要么该标记点不在叶子, 同时此顶点度数恰好为 $2$, 而且 $m+2$ 是唯一标记点. 此时将该顶点去掉后可以将图恰好分为两个连通分支. 可以考虑 $m+1$ 所在的顶点, 它确定下来后它所在的分支和它不在的分支仍然需要选择其他顶点, 所以要选 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)$, 此时将 $m+2$ 所在的顶点拆掉, 把连的两边都改成标记点, 此时两边顶点数为 $k+1$ 和 $m+2-k$. 所以贡献了 $\sum \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)a(k)a(m-k+1)$ 种情况.

$\bullet$ 如果去掉标记点后图是稳定的, 仍分成两类讨论:

$\bullet \bullet$ 如果 $m+2$ 和 $m+1$ 在同一个顶点, 则它们可以合二为一, 它们贡献了 $a(m)$ 种情况.

$\bullet \bullet$ 如果不在同一个顶点, 我们将这种情况下的数量对应为前述标记点不在叶子, 顶点度数恰好为 $2$ 者的情况. 只需考虑 $m+2$ 和 $m+1$ 的测地线, 将最靠近 $m+2$ 的那条边剖开, 插入一个顶点, 然后, 将 $m+2$ 改装到该新顶点处即可. 所以也贡献了 $\sum \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)a(k)a(m-k+1)$ 种情况.

$\square$

据说 $a(n)$ 增长速度挺快, 和阶乘差不多: $$a(n)\sim \frac{n^{n-1}}{\sqrt{2}\cdot e^n\cdot (2\log 2-1{)}^{n-1/2}}.$$

无论如何, 让我们步入 $n\ge 5$. 先看一眼 $n=5$, 您猜怎么着:

$${\overline{M}}_{0,5}\cong {\mathrm{Bl}}_{(0,0),(1,1),(\infty ,\infty )}{\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1.$$

眼熟吧, 是的, ${\overline{M}}_{0,5}\cong {\overline{C}}_{0,4}$. 而这背后其实有更加一般的结论, 我们姑且先陈述:

定理 1.5. 设 $\pi :{\overline{C}}_{0,n}\to {\overline{M}}_{0,n}$ 为万有族. 对 $n\ge 3$:

(a) 我们有 ${\overline{M}}_{0,n+1}\cong {\overline{C}}_{0,n}$, 此时$$\pi :{\overline{M}}_{0,n+1}\to {\overline{M}}_{0,n}$$就是所谓遗忘映射, 遗忘标记点 $n+1$.

(b) 万有族 ${\overline{C}}_{0,n}\to {\overline{M}}_{0,n}$ 从$${\overline{M}}_{0,n}\times {\mathbb{P}}^1\to {\overline{M}}_{0,n}$$经由爆破一些光滑余 $2$ 维子簇得到.

注 1.6. 一方面, 这个结果告诉我们归纳地进行, ${\overline{M}}_{0,n}$ 实则由 $({\mathbb{P}}^1{)}^{n-3}$ 经由一系列爆破得到. 当然, 另一方面我们已经看到 $M_{0,n}$ 上的万有族是 $M_{0,n}\times {\mathbb{P}}^1$, 而这实则自然地成为 ${\overline{C}}_{0,n}$ 中的开子簇. 其中 $p_1,\cdots ,p_n:{\overline{M}}_{0,n}\to {\overline{C}}_{0,n}$ 实则也是 $M_{0,n}\to M_{0,n}\times {\mathbb{P}}^1$ 的唯一延拓 (开集的稠密性).

遗忘映射

现在我们来探讨遗忘映射的一般理论. 很自然地, $\pi :{\overline{M}}_{g,n+1}\to {\overline{M}}_{g,n}$ 的遗忘应该被定义为, 直白地丢掉最后一个标记点, 容易看到的情况是, 如果 $2g-2+n>0$, 那么 $\pi :M_{g,n+1}\to M_{g,n}$ 良好定义, 不过一般来说, 这确实会导致曲线变得不稳定. 怎么办呢?

实际上, 对于去掉 $n+1$ 号标记点会变得不稳定的情况, 我们上面提供的这配套解决方案非常安全有效:

$\bullet$ 对于 $n+1$ 标记在对偶图非叶子的顶点, 此时直接去掉该顶点然后将它原本连接的另两个 (可能是同一个) 顶点直接在曲线节点处连接.

$\bullet$ 对于 $n+1$ 标记在对偶图的叶子上, 而且恰有另一个标记点 $k$, 则将该叶子去掉, 让 $k$ 标记在叶子连接的顶点曲线的节点上.

这样我们完整定义了遗忘映射 $\pi :{\overline{M}}_{g,n+1}\to {\overline{M}}_{g,n}$.

但是在代数几何上, 仍然有一定的困难, 不过我们前面定义粘接映射时候的技巧也可以用来解决此处的问题, 假设曲线 $C$ 上有 $q_1,q_2$ 两点, 我们构造推出这样推出的 $C^{\prime }$ 就是我们需要的粘起来 $q_1,q_2$ 的节点曲线.

实际上上面这种做法的合理性是很不显然的, 所以我们需要这样一个重要定理:

命题 1.7. 存在 $\mathbb{C}$-概形态射 $\pi :{\overline{M}}_{g,n+1}\to {\overline{M}}_{g,n}$ 在 $\mathbb{C}$ 点处如前遗忘映射所定义, 使得: 在 ${\overline{M}}_{g,n}^0\subset {\overline{M}}_{g,n}$ 上, 映射 $\pi$ 给出它对应的万有族, 截面 $p_1,\cdots ,p_n:{\overline{M}}_{g,n}^0\to {\pi }^{-1}({\overline{M}}_{g,n}^0)$ 为如下粘接映射的限制: $p_i:{\xi }_{{\Gamma }_i}:{\overline{M}}_{g,n}={\overline{M}}_{0,3}\times {\overline{M}}_{g,n}\to {\overline{M}}_{g,n+1}$, 对应的图 ${\Gamma }_i$ 如下给出:

在给出对应的证明概要之前, 首先注意 $\pi :{\overline{M}}_{g,n+1}\to {\overline{M}}_{g,n}$ 作为 $M_{g,n+1}\to M_{g,n}$ 的延拓若存在则必须唯一, 这是因为所谓既约到分离映射定理, 告诉我们在开子集 $M_{g,n+1}\subset {\overline{M}}_{g,n+1}$ 上的态射足以决定整个态射. 当然, 在前文中我们也很清楚地观察了这种映射延拓在模问题下又对应了怎样的几何对象.

最后, 我们会用这个命题证明概要结束本节, 我们上面展示了这样一幅图, 如果你觉得对它已经很满意, 并表示能充分理解这个命题是在说什么, 那么跳过接下来这个富有技术的证明也不会对后面的阅读产生什么影响.

证明.

证明.

$\square$