用户: Cybcat/百题大过关/2019 P 几何代数拓扑

1.	设 $X$ 为三维欧氏空间中三个两两相切的球面构成的子空间, 计算基本群 $π_{1} (X)$ .
2.	设 $X$ 为 Klein 瓶, 求出 $X$ 的所有有限叶覆盖曲面. $X$ 是否有非正则的有限叶覆盖?
3.	设 $X$ 为三维欧氏空间单位球面将赤道圆沿对径点粘接得到的空间, 计算 $X$ 的整系数同调群以及 $Z_{2}$ 系数的上同调环.
4.	设 $X$ 为可定向单连通紧四维流形, 若 $X$ 存在一个反定向的自同胚, 证明 $X$ 的 Euler 示性数为偶数.

第一题.

$□$

第二题.

$□$

第三题.

$□$

第四题.

第四题. 我们在这里总采用 $R$ 系数同调和上同调从而忽略挠的影响. 假设 $i : X \to X$ 为反定向自同胚, 故 $i^{*} : H^{4} \to H^{4}$ 是 $z \mapsto - z$ . 然后注意到它单连通, 所以 $π_{1} (X) = 1$ 即 $H_{1} = 0$ 故 Poincaré 对偶告诉我们 $H^{1} = H^{3} = 0$ . 因此欧拉示性数是偶数当且仅当 $H^{2}$ 的维数是偶数.

假设它是奇数维线性空间

R^{2 k + 1}

, 现在 Poincaré 配对给出它上面非退化的对称双线性型

(x, y)

. 由于

i

是反定向自同胚, 因此

i^{*} : H^{2} \to H^{2}

是线性同构, 满足

(i^{*} x, i^{*} y) = i^{*} (x, y) = - (x, y)

. 我们指出这种结构在奇数维是不存在的. 考虑

i

在一组基下对应的矩阵

T

,

$□$

名字空间

视图

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