Poincaré 对偶

Poincaré 对偶描述了流形的同调、上同调的一种对称的结构. 它说明对紧可定向 $n$ 维流形 $X$ 而言, 有同构$$H^k(X)\simeq H_{n-k}(X).$$由此及万有系数定理, 对域系数的 (上) 同调而言, 有自然的同构$$\begin{array}{rl}{H}^k(X)& \simeq H^{n-k}(X{)}^{\vee },\\ H_k(X)& \simeq H_{n-k}(X{)}^{\vee },\end{array}$$其中 ${}^{\vee }$ 表示向量空间的对偶空间.

1陈述

对紧流形

定理 1.1 (Poincaré 对偶). 设 $X$ 是紧定向 $n$ 维拓扑流形, $G$ 是 Abel 群. 则有同构$$(-)⌢[X]:H^k(X;G)\simeq H_{n-k}(X;G),$$其中 $⌢$ 是帽积, $[X]\in H_n(X)$ 是 $X$ 的基本类.

由万有系数定理, 对域系数的 (上) 同调而言, Poincaré 对偶有以下等价表述.

推论 1.2 (等价表述). 设 $X$ 是紧定向 $n$ 维流形, $\mathbb{k}$ 是域. 则

•	有完美配对$$(-)⌣(-):H^k(X;\mathbb{k})\otimes H^{n-k}(X;\mathbb{k})\to H^n(X;\mathbb{k})\simeq \mathbb{k},$$其中 $⌣$ 是杯积. 换言之, 有向量空间同构$$H^k(X;\mathbb{k})\simeq H^{n-k}(X;\mathbb{k}{)}^{\vee }.$$
•	有完美配对$$(-)\cdot (-):H_k(X;\mathbb{k})\otimes H_{n-k}(X;\mathbb{k})\to H_0(X;\mathbb{k})\simeq \mathbb{k},$$其中 $\cdot$ 是相交积. 换言之, 有向量空间同构$$H_k(X;\mathbb{k})\simeq H_{n-k}(X;\mathbb{k}{)}^{\vee }.$$
•	若 $X$ 还是光滑流形, 则有 de Rham 上同调的完美配对$${\int }_X(-)\wedge (-):H_{\mathrm{dR}}^k(X)\otimes H_{\mathrm{dR}}^{n-k}(X)\to \mathbb{R}.$$

对非紧流形

定理 1.3 (Poincaré 对偶, 非紧版本). 设 $X$ 是定向 $n$ 维拓扑流形, $G$ 是 Abel 群. 则有同构$$\begin{array}{rl}(-)⌢[X]:& H_{\mathrm{c}}^k(X;G)\simeq H_{n-k}(X;G),\\ (-)⌢[X]:& H^k(X;G)\simeq H_{n-k}^{\mathrm{BM}}(X;G),\end{array}$$其中 $H_{\mathrm{c}}^{\bullet }$ 是紧支上同调, $H_{\bullet }^{\mathrm{BM}}$ 是 Borel–Moore 同调, $[X]\in H_n^{\mathrm{BM}}(X)$ 是基本类.

对带边流形

(…)

2证明

通过三角剖分

(…)

通过 Thom 同构

(…)

通过微分几何

(…)

3推广

(…)

4相关概念

•	Hodge 理论
•	Verdier 对偶

术语翻译

Poincaré 对偶 • 英文 Poincaré duality • 德文 Poincaré-Dualität (f) • 法文 dualité de Poincaré (f)