用户: Cybcat/百题大过关/2019 P 几何 微分拓扑

1.	证明 $\mathrm{SO}(3)$ 为光滑三维流形.
2.	构造 ${\mathbb{S}}^k$ 上同痕于 $\mathrm{id}$ 的 Lefschetz 映射 $f$, 计算 $f$ 在不动点的 Lefschetz 数, 并依此计算 ${\mathbb{S}}^k$ 的 Euler 示性数.
3.	设 $C=\{(x,y)\in T^2:3x=8y\}$ 为环面 ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上的闭曲线, 计算 $C$ 的 Poincaré 对偶.
4.	设 $K,L$ 为三维光滑紧流形 $Y$ 的子流形 (未必光滑), 且有 $K\cong L\cong {\mathbb{S}}^1$. 证明对任意 $ϵ>0$, 存在 $f_t(x)\in C^{\infty }(K\times I,Y)$ 使得下面三条成立: (a) $f_0(x)=x$ 对一切 $x\in K$; (b) $d(x,f_t(x))<ϵ$ 对任意 $(x,t)\in K\times I$; (c) $f_1$ 为光滑嵌入, 且 $f_1(K)\cap L=\varnothing$.