用户: Cybcat/百题大过关/2021 P 几何 代数拓扑

1.	用拓扑方法证明 $F_n$ 是 $F_2$ 的子群, 其中 $F_n$ 表示 $n$ 个元素生成的自由群.
2.	求 Möbius 带的基本群, 用 Van Kampen 定理求两个 Möbius 带沿边界粘合所得空间的基本群.
3.	设 $m<n$, 计算整系数相对同调群 $H_{\bullet }({\mathbb{RP}}^n,{\mathbb{RP}}^m)$.
4.	设扭结 $i:{\mathbb{S}}^1\subset {\mathbb{S}}^3$, $N\cong {\mathbb{D}}^2\times {\mathbb{S}}^1$ 是其管状邻域. 记 $X={\mathbb{S}}^3\backslash i({\mathbb{S}}^1)$, 对 $(X,N)$ 使用 Mayer–Vietoris 序列计算 $H_1(X)$.
5.	(1) 叙述 Lefschetz 不动点定理. 设 $X$ 为有限单纯复形, $f:X\to X$, 叙述 Lefschetz 数 $\tau (f)$ 的定义. (2) 叙述 ${\mathbb{CP}}^n$ 的上、下同调和上积的结构. (3) 设 $f:{\mathbb{CP}}^n\to {\mathbb{CP}}^n$ 诱导 $f^{\ast }:H^k({\mathbb{CP}}^n)\to H^k({\mathbb{CP}}^n)$ 为乘 $d\in \mathbb{Z}$ 的映射. 求 $f_{\ast }:H_k({\mathbb{CP}}^n)\to H_k({\mathbb{CP}}^n)$ 的映射. (4) 证明 ${\mathbb{CP}}^{2k}$ 到自身的连续映射必然有不动点.

第一题.

第一题. 首先我们按照如下方法实现 $F_2$, 将它视作 $X_2={\mathbb{S}}^1\vee {\mathbb{S}}^1$ 如下对于 $F_n$, 我们可以把它实现为 $\underset{n}{\underbrace{{\mathbb{S}}^1\vee {\mathbb{S}}^1\vee \cdots \vee {\mathbb{S}}^1}}$, 然后用它覆叠 $F_2$, 具体以 $n=3$ 为例: 由于覆叠空间的基本群给出万有覆叠空间的子群, 于是 $F_n\le F_2$. 实际上我们这里的构造是 $F_2=⟨a,b⟩$, $F_n=⟨a,b^2,bab,b{a}^{2}b,\cdots ,b{a}^{n-2}b⟩$.

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第二题.

第二题. 简而言之得到一个 Klein 瓶. 基本群为 $⟨a,b:aba{b}^{-1}=1⟩$. 或者观察 $abab=b^2$ 然后用 $ab,b$ 作为新生成元, 把它写作 $⟨x,y:x^2=y^2⟩$. 这个空间还有一个看法, 就是把它看作 ${\mathbb{S}}^1$ 上非定向线丛直和上定向线丛后的球丛, 总之计算的详细过程略去.

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第三题.

第三题. 熟知 ${\mathbb{RP}}^n$ 具有胞腔结构, 在 $0,1,\cdots ,n$ 维各有一个胞腔 $e_0,\cdots ,e_n$, 然后对 $i>0$, $e_{i+1}$ 边界 $1+(-1{)}^{i+1}$ 重粘合在 $e_i$ 上. 我们可以将闭子流形 ${\mathbb{RP}}^m$ 实现为其前 $m+1$ 个胞腔 $e_0,\cdots ,e_m$ 的并. 显然这样得到 good pair $({\mathbb{RP}}^n,{\mathbb{RP}}^m)$, 为了计算相对同调群, 只需用商, 从而需要计算约化同调群 ${\tilde{H}}_{\bullet }({\mathbb{RP}}^n/{\mathbb{RP}}^m)$.

该空间具有胞腔 $e_0,e_{m+1},\cdots ,e_n$ (基本可以认为是粗暴截断小于等于 $m$ 维者, 而约化同调允许我们忽略 $e_0$), 仍是 $e_{i+1}$ 边界 $1+(-1{)}^{i+1}$ 重粘合在 $e_i$ 上. 所以它的胞腔复形从 $m+1$ 维到 $n$ 维各有一个 $\mathbb{Z}$, 而且边缘映射都是乘以 $1+(-1{)}^{i+1}$, 由此计算得知:

(1) 情况 $\mathbf{n}=\mathbf{m}+1$.

则唯一非零的 $H_n=H_{m+1}=\mathbb{Z}$.

(2) 情况 $\mathbf{n}>\mathbf{m}+1$.

如果 $m$ 是奇数, 则 $H_{m+1}=\mathbb{Z}$; 如果 $m$ 是偶数, 则 $H_{m+1}={\mathbb{Z}}_2$.

对于 $i=m+2,\cdots ,n-1$, 如果 $i$ 是奇数, 则 $H_i={\mathbb{Z}}_2$; 如果 $i$ 是偶数, 则 $H_i=0$.

如果 $n$ 是奇数, 则 $H_n=\mathbb{Z}$; 如果 $n$ 是偶数, 则 $H_n=0$.

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第四题.

第四题. 首先注意到 $N$ 同伦等价于 ${\mathbb{S}}^1$, $X\cap N\cong ({\mathbb{D}}^2\backslash 0)\times {\mathbb{S}}^1$ 同伦等价于 ${\mathbb{T}}^2$, 而 $X\cup N={\mathbb{S}}^3$. 因此利用 ${\mathbb{S}}^3$ 具有平凡的 $1,2$ 阶同调群, 我们可以写出长正合列的一部分: 由 $\mathbb{Z}$-有限生成模直和的性质, $A_1\oplus B\cong A_2\oplus B$ 当且仅当 $A_1\cong A_2$, 可知 $H_1(X)\cong \mathbb{Z}$.

实际上根据 Alexander 对偶我们理应有 $H_1(X)\cong H^1({\mathbb{S}}^3\backslash X)$.

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第五题.

第五题. (1)(2) 细节略. 总之 ${\mathbb{CP}}^n$ 的上同调和下同调都是在 $0,2,\cdots ,2n$ 维各有一个 $\mathbb{Z}$, 杯积为自然的 $e_i^{\ast }⌣e_j^{\ast }=e_{i+j}^{\ast }$.

(3) 我们指出 $f^{\ast },f_{\ast }$ 乘的是相同的整数. 只考虑 $k$ 为偶数的情形. 为了证明此事, 设 $\alpha \in H^k({\mathbb{CP}}^n)$ 以及 $c\in H_k({\mathbb{CP}}^n)$ 为对应的生成元. 考虑 $d=d⟨\alpha ,c⟩=⟨f^{\ast }(\alpha ),c⟩=⟨\alpha ,f_{\ast }c⟩$. 由于这个配对非退化, 故 $f_{\ast }$ 也是乘 $d$ 倍的映射.

(4) 最后一步使用 Lefschetz 不动点定理, 对任意连续 $f:{\mathbb{CP}}^{2k}\to {\mathbb{CP}}^{2k}$, 我们计算 Lefschetz 数 $\tau (f)$ 如下: $$\begin{array}{rl}\tau (f)& =\sum _{i=0}^{4k}(-1{)}^i\mathrm{Tr}(f_{\ast }:H_i\to H_i)\\ & =\sum _{i=0}^{2k}\mathrm{Tr}(f_{\ast }:H_{2i}\to H_{2i})\\ & =\sum _{i=0}^{2k}\mathrm{Tr}(f^{\ast }:H^{2i}\to H^{2i}).\end{array}$$而换成上同调的精妙之处在于可以使用环结构, 由于 $H^2$ 生成整个上同调环, 假设在它的生成元上 $f^{\ast }$ 相当于乘 $d$, 那么上述表达式等于 $1+d+d^2+\cdots +d^{2k}\ne 0$, 剩下的内容只是简单的奇偶性讨论.

注, ${\mathbb{CP}}^{2k+1}$ 到自身的连续映射可以没有不动点, 考虑 $[z_0:\cdots :z_{2k+1}]\mapsto [\overline{z_1}:-\overline{z_0}:\cdots ]$.

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