自由群

自由群指生成元之间除了群的定义中所要求的那些条件外, 没有其它约束条件的群.

1定义

定义 1.1. 对集合 $S$ , 其生成的自由群为

•	其下集合 $F_{S} = {a_{1}^{k_{1}} \dots a_{n}^{k_{n}} ∣ a_{i} \in S, k_{i} \in Z} / \sim .$ 这里 $a_{1}^{k_{1}} \dots a_{n}^{k_{n}}$ 是一个可以为空的字符串. 而 $\sim$ 是由下述关系生成的等价关系: $P a^{0} Q P a^{k_{1}} a^{k_{2}} Q \sim PQ, \forall a \in S, \sim P a^{k_{1} + k_{2}} Q, \forall a \in S .$ 这里 $P, Q$ 是形如上述的字符串.
•	乘法 $(a_{1}^{k_{1}} \dots a_{n}^{k_{n}}) \cdot (b_{1}^{l_{1}} \dots b_{m}^{l_{m}}) = a_{1}^{k_{1}} \dots a_{n}^{k_{n}} b_{1}^{l_{1}} \dots b_{m}^{l_{m}} .$
•	单位元 $e$ 为空字符串.
•	逆元 $(a_{1}^{k_{1}} \dots a_{n}^{k_{n}})^{- 1} = a_{n}^{- k_{n}} \dots a_{1}^{- k_{1}} .$

如 $S$ 的势为有限数 $n$ , $F_{S}$ 也被记为 $F_{n}$ , 即 $n$ 个元素生成的自由群.

注 1.2. $S \mapsto F_{S}$ 的对应给出了从集合范畴到群范畴的函子.

命题 2.1. 函子 $S \mapsto F_{S} : Set \to Grp$ 是遗忘函子 $For : Grp \to Set$ 的左伴随函子.

自由群可以简单地使用基本群实现.

命题 2.2. $S$ 生成的自由群是 $S$ 中元素个数个圆环 $S^{1}$ 的一点并的基本群: $F_{S} = π_{1} (i \in S ⋁ S^{1}) .$

由此可以使用代数拓扑的手段以研究自由群以及其相关物. 例如:

命题 2.3. 自由群的子群是自由群. 对有限生成情况, $F_{n}$ 的指数为 $k$ 的子群同构于 $F_{(n - 1) k + 1}$ .

证明. 由覆叠空间理论, 子群对应覆叠空间的基本群, 圆环的一点并为一维 CW 复形, 其覆叠空间仍为一维 CW 复形, 因此基本群仍为自由群.

对有限情形,

F_{n}

是

n

个

S^{1}

的一点并

X

F_{n}

的指数为

k

的子群对应

X

的

k

重覆叠的基本群, 它由

k

个点和

kn

条边构成. 此一空间同伦等价于

(n - 1) k + 1

个圆环的一点并, 其基本群为

F_{(n - 1) k + 1}

.

$□$

命题 2.4. 自由群的 Abel 化是自由 Abel 群.

•	空集生成的自由群为平凡群.
•	单点集生成的自由群为整数群 $Z$ .

术语翻译

自由群 • 英文 free group • 德文 freie Gruppe • 法文 groupe libre • 拉丁文 caterva libera • 古希腊文 ἐλευθέρα ὁμάς