用户: Cybcat/Banach 代数/第六讲

1第六讲

Hilbert 空间的基本性质

Hilbert 空间的定义和基本性质, 这里特指 $\mathbb{C}$ 上的 Hilbert 空间. 对于极其经典而且熟知的结论, 它们的证明略去.

定义 1.1 (Hilbert 空间). ($\mathbb{C}$ 上的)Hilbert 空间是指复的内积空间 $(H,(-,-))$, 使得关于内积诱导的范数 $\Vert x{\Vert }_H:=(x,x{)}^{1/2}$ 是完备度量空间. 我们用 $\mathcal{L}(H)$ 表示 $H\to H$ 的有界线性映射在算子范数下构成的 Banach 代数.

本节中我们总用 $H$ 指一个 $\mathbb{C}$-Hilbert 空间, $(-,-)$ 指内积, $\Vert \bullet \Vert$ 指范数.

定理 1.2 (Cauchy 不等式). 对 $x,y\in H$, 我们有 $|(x,y)|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$.

定理 1.3 (正交分解). 设 $M\subset H$ 是闭子空间, 则 $H=M\oplus M^{\perp }$.

接下来是一系列表示定理.

定理 1.4 (Riesz 表示定理). 存在共轭线性同构 $H\to H^{\ast },y\mapsto \Lambda$ 如下给出: $$\Lambda x=(x,y),\forall x\in H.$$

推论 1.5 (共轭双线性算子的 Riesz 表示定理). 设 $f:H\times H\to \mathbb{C}$ 为共轭双线性算子, 满足有界条件: $$M=\underset{\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1}{\sup }|f(x,y)|<+\infty .$$则存在唯一 $S\in \mathcal{L}(H)$ 使$$f(x,y)=(x,Sy),\forall x,y\in H.$$且 $\Vert S\Vert =M$ 成立.

定理 1.6 (Lax–Milgram 定理). 设 $f:H\times H\to \mathbb{C}$ 为共轭双线性算子, 满足有界与强制条件, 所谓的强制条件即存在 $\delta >0$ 使: $$\delta \Vert x{\Vert }^2\le |f(x,x)|,\forall x\in H.$$则存在唯一的 $S\in \mathcal{L}(H)$ 使得$$f(x,y)=(x,Sy),\forall x,y\in H.$$且 $S^{-1}$ 存在, $S^{-1}\in \mathcal{L}(H)$ 并成立着 $\Vert S^{-1}\Vert \le {\delta }^{-1}$.

然后是两个在教科书中不那么经典的定理.

定理 1.7 ($\mathbb{C}$ 上 Hilbert 空间的特别性质). 若 $T\in \mathcal{L}(H)$ 使得 $(Tx,x)=0$ 对一切 $x\in H$, 则 $T=0$ 成立.

证明.

证明. 展开 $(T(x+y),x+y)=(T(x+iy),x+iy)=0$ 得到$$(Tx,y)+(Ty,x)=-i(Tx,y)+i(Ty,x)=0.$$于是线性组合得到 $(Tx,y)=0$.

$\square$

定理 1.8 (正交收敛判定). 设 $\{x_n{\}}_{n=1}^{\infty }\subset H$ 两两正交, 那么下面三条等价:

(1) $\sum x_n$ 收敛. (2) $\sum \Vert x_n{\Vert }^2$ 收敛. (3) $\sum (x_n,y)$ 对每个 $y\in H$ 收敛.

证明.

证明. (a) 等价 (b) 是正交向量的勾股定理, (b) 推 (c) 是 Cauchy 不等式. (c) 推 (b) 是定义 ${\Lambda }_{n}y:={\sum }_{i=1}^n(y,x_i)$ 然后对它们用共鸣定理.

$\square$

伴随作为对合

定义 1.9. 由 Riesz 表示定理, 对任意 $T\in \mathcal{L}(H)$, 存在唯一 $T^{\ast }\in \mathcal{L}(H)$ 使$$(Tx,y)=(x,T^{\ast }y),\forall x,y\in H.$$我们称 $T^{\ast }$ 为 $T$ 的伴随算子.

命题 1.10. 伴随是 Banach 代数 $\mathcal{L}(H)$ 上的对合. 且 $\Vert T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert$ 总成立.

定理 1.11. $\mathcal{L}(H)$ 在对偶 $\ast$ 下构成 $C^{\ast }$ 代数.

证明.

证明. 对 Hilbert 空间 $H$ 上的算子 $a\in \mathcal{L}(H)$, 利用 Cauchy 不等式, 我们有$$\Vert a^{\ast }a\Vert \ge \underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }|(x,a^{\ast }ax)|=\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }|(ax,ax)|=\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert ax{\Vert }^2=\Vert a{\Vert }^2.$$另一边 $\Vert a\Vert =\Vert a^{\ast }\Vert$ 于是 $\Vert a{\Vert }^2=\Vert a^{\ast }\Vert \cdot \Vert a\Vert \ge \Vert a^{\ast }a\Vert$, 从而 $\Vert a^{\ast }a\Vert =\Vert a{\Vert }^2$, 验证了 $\mathcal{L}(H)$ 是 $C^{\ast }$ 代数的事实.

$\square$

定理 1.12. Hermite 算子 $S\in \mathcal{L}(H)$ 总满足$$\Vert S{\Vert }_{\mathcal{L}(H)}=\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }|(Sx,x)|.$$注意到 $S$ 是 Hermite 当且仅当 $(Sx,x)\in \mathbb{R}$ 总成立.

证明.

证明. 把右边记作 $c$, 显然 Cauchy 不等式给出 $c\le \Vert S\Vert$, 为证另一侧, 注意到对任意 $\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1$, $$\mathrm{Re}(Sx,y)=\frac{1}{4}((S(x+y),x+y)-S((x-y),x-y))\le \frac{c}{4}((x+y,x+y)+(x-y,x-y))=c,$$取 $\alpha \in \mathbb{C}$ 单位模长使$$\alpha \cdot (Sx,y)=|(Sx,y)|,$$这将导致 $|(Sx,y)|=\mathrm{Re}(Sx,\overline{\alpha }y)\le c$, 从而算子范数 $\Vert S\Vert \le c$.

$\square$

定理 1.13. 对 $T\in \mathcal{L}(H)$, 我们有: $$\ker (T^{\ast })=\mathrm{Im}(T{)}^{\perp },\ker (T)=\mathrm{Im}(T^{\ast }{)}^{\perp }.$$

证明.

证明. 只需证第一条, 第二条是用 $T^{\ast }$ 代替 $T$ 得到的. 注意到 $T^{\ast }y=0$ 等价于 $(x,T^{\ast }y)=0$ 对一切 $x\in H$, 等价于 $(Tx,y)=0$ 对一切 $x\in H$, 等价于 $y\in \mathrm{Im}(T{)}^{\perp }$.

$\square$

正规, 酉, 投影

接下来我们对每种算子, 用一个命题记录其重要性质. 它们的证明并不复杂, 留给读者作为练习.

命题 1.14 (正规算子的性质). 一个算子 $T\in \mathcal{L}(H)$ 正规当且仅当 $\Vert Tx\Vert =\Vert T^{\ast }x\Vert$ 对一切 $x\in H$. 对正规算子来说, 下面的性质都是熟知的:

(a) $\ker T=\ker T^{\ast }$.

(b) $\mathrm{Im}(T)$ 在 $H$ 稠密当且仅当 $T:H\to H$ 是双射.

(c) $T$ 可逆当且仅当存在 $\delta >0$ 使 $\Vert Tx\Vert \ge \delta \Vert x\Vert$ 对一切 $x\in H$.

(d) $Tx=\alpha x$ 则 $T^{\ast }x=\overline{\alpha }x$.

(e) $T$ 的不同特征值对应的特征空间正交.

证明.

证明.

$\square$

命题 1.15 (酉算子的等价刻画). 对 $U\in \mathcal{L}(H)$, 下面三者等价:

(1) $U$ 是酉算子.

(2) $\mathrm{Im}U=H$ 且 $(Ux,Uy)=(x,y)$ 对一切 $x,y$.

(3) $\mathrm{Im}U=H$ 且 $\Vert Ux\Vert =\Vert x\Vert$ 对一切 $x\in H$.

证明.

证明.

$\square$

命题 1.16 (投影算子正规的等价刻画). 对于 $P\in \mathcal{L}(H)$ 满足 $P^2=P$, 下面四者等价:

(1) (自伴投影) $P$ 是自伴的, 或者说 Hermite 的.

(2) (正规投影) $P$ 是正规的.

(3) (正交投影) $\mathrm{Im}(P)=(\ker P{)}^{\perp }$.

(4) (内积性质) $(Px,x)=\Vert Px{\Vert }^2$ 对一切 $x\in H$.

证明.

证明.

$\square$

命题 1.17 (酉算子, 投影算子和自伴算子的谱). 对于酉算子, 投影算子和自伴算子:

(1) 酉算子的谱含于 $S^1$.

(2) 投影算子的谱含于 $\{0,1\}$.

(3) Hermite 算子的谱含于 $\mathbb{R}$.

证明.

证明.

$\square$

FPR 交换性定理

最后我们补充一个著名的定理:

定理 1.18 (Fuglede–Putnam–Rosenblum 交换性定理). 假设 $M,N,T\in \mathcal{L}(H)$ 且 $M,N$ 正规, 若 $MT=TN$, 则 $M^{\ast }T=T{N}^{\ast }$.

对于有限维矩阵来说, 这个结果有一个标准的处理办法, 先看如果有 $MT=TM$, 那么酉对角化 $M$ 可设 $T$ 和对角矩阵 $M$ 可交换, 由于该对角矩阵的伴随就是取共轭, 而对角矩阵的共轭可以表示为它的多项式, 因此 $T$ 和 $M^{\ast }$ 也可交换. 然后一般的 $MT=TN$ 只需对分块对角的 $\mathrm{diag}\{M,N\}$ 以及分块严格上三角的 $T$ 使用 $MT=TM$ 的版本.

然而这一简单技巧在无限维就会碰到很多问题, 所以让我们给出另一个证明:

证明. 对 $S\in \mathcal{L}(H)$ 记 $V=S-S^{\ast }$ 那么显然 $V^{\ast }=-V$, 于是 $\exp (V)$ 是酉算子从而 $\Vert \exp (V)\Vert =\Vert \exp (S-S^{\ast })\Vert =1$, 这就是我们所需要的. 现在我们有 $M^{k}T=T{N}^k$, 于是 $\exp (M)T=T\exp (N)$, 或者说我们有 $T=\exp (-M)T\exp (N)$. 现在定义$$U_M:=\exp (M^{\ast }-M),U_N:=\exp (N-N^{\ast }).$$由于 $M,N$ 正规于是我们得到$$\exp (M^{\ast })T\exp (-N^{\ast })=U_{M}T{U}_N.$$于是结合 $\Vert U_M\Vert =\Vert U_N\Vert =1$, 我们得到$$\Vert \exp (M^{\ast })T\exp (-N^{\ast })\Vert \le \Vert T\Vert .$$现在我们定义$$f(\lambda )=\exp (\lambda M^{\ast })T\exp (-\lambda N^{\ast }).$$类似地, 不难得知 $\Vert f(\lambda )\Vert \le \Vert T\Vert$, 而且对任意 $x,y\in H$ 有 $f_{xy}(\lambda )=(x,f(\lambda )y)$ 有界并在整个复平面 $\mathbb{C}$ 上全纯. 故 $f_{xy}(\lambda )$ 对任意 $x,y$ 是常数, 这表明 $f(\lambda )=f(0)=T$. 由此得到$$\exp (\lambda M^{\ast })T=T\exp (\lambda N^{\ast }).$$考虑 $\lambda$ 的系数即得到 $M^{\ast }T=T{N}^{\ast }$.

$\square$