用户: Cybcat/Banach 代数/间奏三

1间奏三

Golden–Thompson 不等式

定理 1.1. 设 $A,B$ 是 $n\times n$ 的自伴 (Hermite) 复矩阵, 那么我们有$$\mathrm{tr}(e^{A+B})\le \mathrm{tr}(e^A{e}^B).$$

让我们介绍一个极其神秘的初等证明.

引理 1.2 (Lie 乘积公式). 对任意方阵 $A,B$, 我们有$$e^{A+B}=\underset{N\to +\infty }{\lim }{\left(e^{A/N}{e}^{B/N}\right)}^N.$$

证明略, 只需注意到 $e^{(A+B)/N},e^{A/N}{e}^{B/N}$ 展开到 $1/N$ 项都是 $1+(A+B)/N$.

定理 1.3 (Weyl 优超定理). 设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵, 特征值为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$, 奇异值为 $s_1,\cdots ,s_n$. 排布而设它们的绝对值随着下标增加不增, 那么对 $f:{\mathbb{R}}_{+}\to {\mathbb{R}}_{+}$ 满足 $f(e^t)$ 下凸且单增者, $$\sum _{i=1}^{n}f(|{\lambda }_i|)\le \sum _{i=1}^{n}f(s_i).$$特别地, $f(x)=x^m$ 符合条件.

证明略.

GT 不等式的证明. 首先矩阵 $X$ 的奇异值分解对应了 $|X|:=\sqrt{X^{\ast }X}$ 的特征值. 对 $f(x)=x^m$ 使用 Weyl 优超定理得到$$|\mathrm{tr}(X^m)|=\left|\sum {\lambda }_i^m\right|\le \sum |{\lambda }_i{|}^m\le \sum s_i^m=\mathrm{tr}(|X{|}^m).$$现在固定正整数 $N$ 并设$$X:=\exp \left(A/2^N\right),Y:=\exp \left(B/2^N\right).$$由于 Lie 乘积公式我们只需证明$$\mathrm{tr}\left((XY{)}^{2^N}\right)\le \mathrm{tr}\left(X^{2^N}{Y}^{2^N}\right).$$然后两边对 $N$ 取极限即得.

$A,B$ 的 Hermite 条件给出 $X,Y$ 是 Hermite 矩阵, 于是 $|XY{|}^2=(XY{)}^{\ast }(XY)=YXXY$, 于是$$\mathrm{tr}\left((XY{)}^{2^N}\right)\le \mathrm{tr}\left((Y{X}^{2}Y{)}^{2^{N-1}}\right)=\mathrm{tr}\left((X^2{Y}^2{)}^{2^{N-1}}\right).$$这样做 $N$ 步即可得到欲证的不等式.

$\square$