用户: Cybcat/Banach 代数/间奏二

1间奏二

子代数的谱理论

假设 $A$ 是含幺 Banach 代数, $B\subset A$ 是其含幺 Banach 子代数, 那么对 $x\in B$, 当然有$${\sigma }_A(x)\subset {\sigma }_B(x).$$因为在 $B$ 可逆推出在 $A$ 可逆, 故在 $A$ 不可逆推出在 $B$ 不可逆. 但是这些谱集之间还会满足什么性质呢? 有一些立刻但是奇怪的性质, ${\rho }_A(x)={\rho }_B(x)$. 谱半径总是一样的, 这是因为谱半径只和模长有关. 实际上如我们在第四章对合与 $C^{\ast }$ 代数中见到的那样, 这些谱集间其实有较强的限制关系.

引理 1.1. 设 $U,V$ 是拓扑空间 $X$ 中的两个开集, 若 $V\subset U$, 且 $U\cap \partial V=\varnothing$, 那么 $V$ 是 $U$ 的若干连通分支的并.

证明. 设 $\Omega$ 为 $U$ 的一个与 $V$ 相交的连通分支, 设 $V_0=(\overline{V}{)}^c$, 由于 $U$ 与 $V$ 的边界不交, 故 $\Omega$ 是 $\Omega \cap V,\Omega \cap V_0$ 的无交并. 由于 $\Omega \cap V\ne \varnothing$ 故由连通性 $\Omega \cap U=\varnothing$, 这即 $\Omega \subset V$.

$\square$

引理 1.2. 设 $A$ 是含幺 Banach 代数, 若 $x_n\in A^{\times }$ 是 $A$ 中一系列可逆元, 满足 $x_n\to x$ 且 $x\in \partial (A^{\times })$, 则 $\Vert x_n^{-1}\Vert \to +\infty$.

证明. 若不然, 存在正实数 $M$ 使 $\Vert x_n^{-1}\Vert <M$ 对无穷多 $x_n$ 成立. 这样取一个 $\Vert x_n-x\Vert <1/M$, 可得$$\Vert e-x_n^{-1}x\Vert =\Vert x_n^{-1}(x_n-x)\Vert <1.$$于是 $x_n^{-1}x$ 可逆从而 $x$ 可逆, 但是 $A^{\times }$ 是开集, 矛盾.

$\square$

定理 1.3 (Shilov). 设 $A$ 是含幺 Banach 代数, $B\subset A$ 是其含幺 Banach 子代数, 那么 $B^{\times }$ 是 $B\cap (A^{\times })$ 的一系列连通分支的并. 且对 $x\in B$, ${\sigma }_B(x)$ 是 ${\sigma }_A(x)$ 及 ${\sigma }_A(x{)}^c$ 的若干连通分支的并, 特别的 $\partial {\sigma }_B(x)\subset \partial {\sigma }_A(x)$.

证明. 由引理 1.2 以及取逆的连续性可知 $A^{\times }$ 不包含 $B^{\times }$ 的边界点, 由引理 1.1 可知 $B^{\times }$ 是 $B\cap (A^{\times })$ 的一系列连通分支的并. 这表明 ${\sigma }_B(x{)}^c$ 是 ${\sigma }_A(x{)}^c$ 的若干连通分支的并, 故 ${\sigma }_B(x)$ 是 ${\sigma }_A(x)$ 并上其补的若干连通分支. 最后若某点在 ${\sigma }_B(x)$ 边界上, 它不可在 ${\sigma }_A(x)$ 的补集中, 也不可在 ${\sigma }_A(x)$ 的内部, 结论得证.

$\square$

于是我们将这些结论总结一下

推论 1.4. 设 $A$ 是含幺 Banach 代数, $B\subset A$ 是其含幺 Banach 子代数以及 $x\in B$, 那么

(0) ${\sigma }_B(x)$ 是 ${\sigma }_A(x)$ 填上若干的 " 洞 " 得到的.

(1) 若 ${\sigma }_A(x)$ 的补集连通, 则 ${\sigma }_A(x)={\sigma }_B(x)$. 特别地, ${\sigma }_A(x)\subset \mathbb{R}$ 符合条件.

(2) 若 ${\sigma }_B(x)$ 的内部为空集, 则 ${\sigma }_A(x)={\sigma }_B(x)$. 特别地, ${\sigma }_B(x)\subset S^1$ 或者 ${\sigma }_B(x)\subset \mathbb{R}$ 符合条件.

例 1.5. 一个简单的非平凡例子: 考虑 $A_0(\mathbb{D})\subset C(\overline{\mathbb{D}})$, 元素 $f(z)=z$ 满足: $${\sigma }_{A_0(\mathbb{D})}(f)=\partial \mathbb{D},{\sigma }_{C(\overline{\mathbb{D}})}(f)=\overline{\mathbb{D}}.$$表明了 ${\sigma }_A(x)$ 可以真的比 ${\sigma }_B(x)$ 严格小, 而且直观看到了洞是怎么被填上的.

多项式逼近与谱理论

一些有趣的结论

定理 1.6. 若 $A$ 是含幺 Banach 代数, 满足存在正实数 $M$, 对任意 $x,y\in A$ 都有$$\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert \le M\Vert xy\Vert .$$则 $A$ 等距同构于 $\mathbb{C}$.

证明.

$\square$

全纯函数的谱映射定理