用户: Estwald/走向Weil猜想/幻梦境一

Freedom, resistance, and struggle are Beethoven’s motives.

1母题 $\zeta$ 函数

假设 $X_0$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上拟射影代数簇. 可以看到,$$Z(X_0,t)=\prod _{x\in |X_0|}\frac{1}{1-t^{\mathrm{deg}x}}=\sum _{d\ge 0}{c}_d{t}^d,$$其中 $c_d$ 是 $X_0$ 上次数 $d$ 的有效 $0$-圈的个数.

考虑 $X_0$ 的 $d$ 次对称积$$S^d{X}_0=\stackrel{d}{\overbrace{X_0\times \cdots \times X_0}}/{\mathfrak{S}}_d.$$这是一个有限型概形, 表示了函子 $\mathrm{Mor}(X_0^d,-{)}^{{\mathfrak{S}}_d}$, 并且在代数闭域上, $(S^d{X}_0)(\overline{{\mathbb{F}}_q})=S^d(X_0(\overline{{\mathbb{F}}_q}))$.

考虑到 $|X_0|=X_0(\overline{{\mathbb{F}}_q})/\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_q}|{\mathbb{F}}_q)$, 我们有$$c_d=(S^d(X_0(\overline{{\mathbb{F}}_q})){)}^{\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_q}|{\mathbb{F}}_q)}=((S^d{X}_0)(\overline{{\mathbb{F}}_q}){)}^{\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_q}|{\mathbb{F}}_q)}=(S^d{X}_0)({\mathbb{F}}_q).$$进而$$Z(X_0,t)=\sum _{d\ge 0}|(S^d{X}_0)({\mathbb{F}}_q)|t^d$$实际在计算 $S^d{X}_0$ 的有理点的个数. 这启发 Kapranov 定义所谓母题 $\zeta$ 函数.

定义 1.1. 设 $k$ 是任何域, $X_0$ 是 $k$ 上拟射影代数簇, 其母题 $\zeta$ 函数是如下系数为简单母题环 $K_0({\mathsf{Var}}_k)$ 的幂级数$$Z_M(X_0,t)=\sum _{d\ge 0}[S^d{X}_0]t^d.$$其中 $[S^d{X}_0]$ 表示 $S^d{X}_0$ 在 $K_0({\mathsf{Var}}_k)$ 中的类.

我们能否给出母题 $\zeta$ 函数的 Weil 猜想?