用户: Estwald/走向Weil猜想/第一夜

1概形的 $\zeta$ 函数

故事开始于解方程. 考虑若干整系数多项式 $f_1,\cdots ,f_k\in \mathbb{Z}[X_1,\cdots ,X_n]$. 固定素数 $p$, 我们要考虑方程组$$[\begin{array}{r}{f}_1(x_1,\cdots ,x_n)=0\\ \cdots \\ f_k(x_1,\cdots ,x_n)=0\end{array}$$在有限域 ${\mathbb{F}}_{p^m}$ 上的解数, 记为 $N_m$.

人们很早就意识到这些解数的信息可以封装在一个 “生成函数”$$\sum _{m=1}^{\infty }{N}_m{t}^m$$中. 等价地, 我们考虑如下函数$$Z(t)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }\frac{N_m}{m}{t}^m\right).$$

例 1.1 (Gauß). 设 $p>3$. 考虑一个方程 $y^2=x^3-1$, 那么$$Z(t)=\frac{1-a_{p}t+p{t}^2}{1-pt},$$其中$$a_p=[\begin{array}{r}0,p\equiv 2(\mathrm{mod}3)\\ \pi +\bar{\pi },p\equiv 1(\mathrm{mod}3)\end{array}$$在后一种情况, $\pi$ 是 $\mathbb{Z}\left[e^{2\pi i/3}\right]$ 中的元素, 满足 $\pi \bar{\pi }=p$.

按照现代的观点, 数方程解的个数等价于计算相应概形的有理点的个数. 一般地, 设 $X$ 是 $\mathbb{Z}$ 上的有限型概形, $|X|$ 是其闭点的集合. 对 $x\in |X|$, 记 $k(x)$ 为其剩余域, $N(x)=|k(x)|$.

定义 1.2. 概形 $X$ 的 $\zeta$ 函数为$$\zeta (s,X)=\prod _{x\in |X|}\frac{1}{1-N(x{)}^{-s}},s\in \mathbb{C}.$$

命题 1.3. 上述乘积在 $\{s:\mathrm{Re}s>\dim X\}$ 上绝对收敛且紧一致收敛.

证明. 我们给出 $X$ 定义在 ${\mathbb{F}}_q$ 上时的证明. 首先不妨假设 $X$ 整且仿射, 那么根据 Noether 正规化, $X$ 和 ${\mathbb{A}}_{{\mathbb{F}}_q}^{\dim X}$ “差不多”. 对后者, 我们可以直接验证.

$\square$

例 1.4 (Riemann $\zeta$ 函数). 考虑 $X=\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$, 则$$\zeta (s,\mathrm{Spec}\mathbb{Z})=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}=\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^s}$$为 Riemann $\zeta$ 函数.

例 1.5 ($Z$ 函数). 假设 $X$ 定义在某个有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上. 对 $x\in |X|$, $k(x)$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 的有限扩张. 设其扩张次数为 $n$, 记作 $\mathrm{deg}x=n$. 此时令 $t=q^{-s}$, 有$$\zeta (s,X)=\prod _{x\in |X|}\frac{1}{1-q^{-s\mathrm{deg}x}}=\prod _{x\in |X|}\frac{1}{1-t^{\mathrm{deg}x}}=:Z(X,t).$$

命题 1.6. 我们有$$Z(X,t)=\exp \left(\sum _{m\ge 1}\frac{N_m}{m}{t}^m\right),N_m=|X({\mathbb{F}}_{q^m})|.$$这与之前的记号相符.

证明. 关键在于$$|\{\alpha :\mathrm{Spec}{\mathbb{F}}_{q^m}\to X:\mathrm{Im}(\alpha )=x\}|=[\begin{array}{r}0,\mathrm{deg}x\nmid m;\\ \mathrm{deg}x,\mathrm{deg}x\mid m.\end{array}$$

$\square$

2Weil 猜想

假设 $X$ 是定义在 ${\mathbb{F}}_q$ 上的有限型概形. 所谓的 Weil 猜想包含如下几个陈述:

猜想 2.1 (Weil 猜想). 假设 $X$ 光滑, 射影, 几何不可约. 记 $d=\dim X$.

有理性	$Z(X,t)\in \mathbb{Q}(t)$;
函数方程	$Z\left(X,\frac{1}{q^{d}t}\right)=\pm q^{\frac{dE}{2}}{t}^{E}Z(X,t)$, 其中 $E=\chi (X)=({\Delta }_X,{\Delta }_X)\in \mathbb{Z}$;
Riemann 假设	$Z(X,t)=\frac{P_1(t)\cdots P_{2d-1}(t)}{P_0(t)\cdots P_{2d}(t)}$, 其中 $P_i(t)\in \mathbb{Z}[t]$ 是整系数多项式, 且 $P_i(t)={\prod }_j(1-{\alpha }_{ij}t),|{\alpha }_{ij}|=q^{i/2}$.

这其中, 有理性猜想被 Dwork 单独证明 (并且不需要对 $X$ 加除了有限型以外任何条件). 一般的 Weil 猜想由 Grothendieck 和 Deligne 证明. 其 “核心思想” 建立恰当的上同调理论并推广 Lefschetz 公式和 Poincaré 对偶已是老生常谈, 俺不想在此赘述.