用户: Estwald/走向Weil猜想/第三夜

今夜, 我们建立曲线时的函数方程.

1曲线时的函数方程

所有记号与昨夜一致.

定理 1.1. $Z (X_{0}, \frac{1}{qt}) = q^{1 - g} t^{2 - 2 g} Z (X_{0}, t) .$

证明. 考虑变换

L \leftrightarrow L^{*} \otimes Ω_{X_{0}}^{1}

. 回忆有 Riemann–Roch 公式

h^{0} (L) - h^{0} (L^{*} \otimes Ω_{X_{0}}^{1}) = 1 - g + de g L .

我们有

Z (X_{0}, t) = d e g L \geq 0 \sum \frac{q ^{h^{0} (L)} - 1}{q - 1} t^{d e g L} = d e g L \leq 2 g - 2 \sum \frac{q ^{h^{0} (L^{*} \otimes Ω_{X_{0}}^{1})} - 1}{q - 1} t^{d e g (L^{*} \otimes Ω_{X_{0}}^{1})} = d e g L \leq 2 g - 2 \sum \frac{q ^{h^{0} (L) - 1 + g - d e g L} - 1}{q - 1} t^{- d e g L + 2 g - 2},

故

q^{1 - g} t^{2 - 2 g} Z (X_{0}, t) = d e g L \leq 2 g - 2 \sum \frac{q ^{h^{0} (L) - d e g L} - q ^{1 - g}}{q - 1} t^{- d e g L} .

而

Z (X_{0}, \frac{1}{qt}) = d e g L \leq 2 g - 2 \sum \frac{q ^{h^{0} (L) - d e g L} - q ^{- d e g L}}{q - 1} t^{- d e g L} + g_{2} (\frac{1}{qt}) .

比较两边, 我们需要证明

d e g L \leq 2 g - 2 \sum \frac{q ^{- d e g L} - q ^{1 - g}}{q - 1} t^{- d e g L} = g_{2} (\frac{1}{qt}) .

但我们上次计算了

g_{2} (t) = \frac{∣ Pic ^{0} ( X _{0} ) ∣}{q - 1} [q^{1 - g} \frac{( qt ) ^{2 g - 1}}{1 - qt} - \frac{t ^{2 g - 1}}{1 - t}],

故

g_{2} (\frac{1}{qt}) = \frac{∣ Pic ^{0} ( X _{0} ) ∣}{q - 1} [q^{1 - g} \frac{t ^{2 - 2 g}}{t - 1} - \frac{( qt ) ^{2 - 2 g}}{qt - 1}] .

同样可以计算左边为

d e g L \leq 2 g - 2 \sum \frac{q ^{- d e g L} - q ^{1 - g}}{q - 1} t^{- d e g L} = \frac{∣ Pic ^{0} ( X _{0} ) ∣}{q - 1} d \geq 2 - 2 g \sum (q^{d} - q^{1 - g}) t^{d} = \frac{∣ Pic ^{0} ( X _{0} ) ∣}{q - 1} [\frac{( qt ) ^{2 - 2 g}}{1 - qt} - q^{1 - g} \frac{t ^{2 - 2 g}}{1 - t}] .

$□$

推论 1.2. 在式子 $Z (X_{0}, t) = \frac{f ( t )}{( 1 - t ) ( 1 - qt )}$ 中, $de g f = 2 g$ .

证明. 由上述函数方程得到

t^{2 g} f (\frac{1}{qt}) = q^{- g} f (t),

故

de g f = 2 g

.

$□$