用户: Estwald/走向Weil猜想/第二夜

今夜, 我们使用 Riemann–Roch 公式证明曲线时的有理性猜想.

1曲线时的有理性

设 $X_0$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上光滑紧合且几何连通的曲线. 记 $g$ 为 $X_0$ 之亏格.

定理 1.1 (Riemann–Roch). 对 $\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(X_0)$, $$h^0(\mathcal{L})-h^0({\mathcal{L}}^{\ast }\otimes {\Omega }_{X_0}^1)=1-g+\mathrm{deg}\mathcal{L}.$$这里如惯例, $h^i$ 表示相应上同调 $H^i$ 的维数.

推论 1.2. 我们知道 $\mathrm{deg}{\Omega }_{X_0}^1=2g-2$, 故当 $\mathrm{deg}\mathcal{L}>2g-2$ 时, $\mathrm{deg}({\mathcal{L}}^{\ast }\otimes {\Omega }_{X_0}^1)<0$, 因此没有整体截面. 此时有$$h^0(\mathcal{L})=1-g+\mathrm{deg}\mathcal{L}.$$

现在我们来计算 $Z(X_0,t)$. 我们有$$Z(X_0,t)=\prod _{x\in |X_0|}\frac{1}{1-t^{\mathrm{deg}x}}=\sum _{D\in \mathrm{Div}(X_0),D\ge 0}{t}^{\mathrm{deg}D}.$$对固定的 $\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(X_0)$, 我们知道$$\{D\ge 0:\mathcal{O}(D)\simeq \mathcal{L}\}=\mathbb{P}(H^0(X_0,\mathcal{L})).$$

因此$$\begin{gathered} Z(X_0,t)=\sum _{D\in \mathrm{Div}(X_0),D\ge 0}{t}^{\mathrm{deg}D} \\ =\sum _{\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(X_0)}|\{D\ge 0:\mathcal{O}(D)\simeq \mathcal{L}\}|t^{\mathrm{deg}\mathcal{L}} \\ =\sum _{\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(X_0)}|\mathbb{P}(H^0(X_0,\mathcal{L}))|t^{\mathrm{deg}\mathcal{L}} \\ =\sum _{\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(X_0)}\frac{q^{h^0(\mathcal{L})}-1}{q-1}{t}^{\mathrm{deg}\mathcal{L}} \\ =\underset{g_1(t)}{\underbrace{\sum _{0\le \mathrm{deg}\mathcal{L}\le 2g-2}\frac{q^{h^0(\mathcal{L})}-1}{q-1}{t}^{\mathrm{deg}\mathcal{L}}}}+\underset{g_2(t)}{\underbrace{\sum _{\mathrm{deg}\mathcal{L}>2g-2}\frac{q^{h^0(\mathcal{L})}-1}{q-1}{t}^{\mathrm{deg}\mathcal{L}}}}. \end{gathered}$$

其中 $g_1(t)\in \mathbb{Z}[t]$. 我们只需要估计$$g_2(t)=\sum _{\mathrm{deg}\mathcal{L}>2g-2}\frac{q^{h^0(\mathcal{L})}-1}{q-1}{t}^{\mathrm{deg}\mathcal{L}}=\sum _{\mathrm{deg}\mathcal{L}>2g-2}\frac{q^{1-g+\mathrm{deg}\mathcal{L}}-1}{q-1}{t}^{\mathrm{deg}\mathcal{L}}.$$

引理 1.3. $|{\mathrm{Pic}}^0(X_0)|<\infty$.

证明. 取一个 $d>2g$ 使得 ${\mathrm{Pic}}^d(X_0)\ne \varnothing$. 对任何 $\mathcal{L}\in {\mathrm{Pic}}^d(X_0)$, $h^0(\mathcal{L})=1-g+d>0$. 回忆 $\{D\ge 0:\mathcal{L}\simeq \mathcal{O}(D)\}=\mathbb{P}(H^0(X_0,\mathcal{L}))$, 故存在次数 $d$ 的有效除子 $D$, 使得 $\mathcal{L}\simeq \mathcal{O}(D)$. 这样我们有单射$${\mathrm{Pic}}^d(X_0)\to \{D\ge 0:\mathrm{deg}D=d\}.$$但 $|\{x\in |X_0|:\mathrm{deg}x\le d\}|<\infty$, 故$$|{\mathrm{Pic}}^d(X_0)|\le |\{D\ge 0:\mathrm{deg}D=d\}|\le |\{x\in |X_0|:\mathrm{deg}x\le d\}{|}^d<\infty .$$任取 $\mathcal{L}\in {\mathrm{Pic}}^d(X_0)$, 有双射$$-\otimes \mathcal{L}:{\mathrm{Pic}}^0(X_0)\simeq {\mathrm{Pic}}^d(X_0),$$故 $|{\mathrm{Pic}}^0(X_0)|=|{\mathrm{Pic}}^d(X_0)|<\infty$.

$\square$

记次数映射 $\mathrm{deg}:\mathrm{Pic}(X_0)\to \mathbb{Z}$ 的像为 $e\mathbb{Z},e\in {\mathbb{Z}}_{>0}$, 那么我们有正合列$$0\to {\mathrm{Pic}}^0(X_0)\to \mathrm{Pic}(X_0)\to e\mathbb{Z}\to 0$$因此$$\begin{gathered} g_2(t)=\sum _{\mathrm{deg}\mathcal{L}>2g-2}\frac{q^{1-g+\mathrm{deg}\mathcal{L}}-1}{q-1}{t}^{\mathrm{deg}\mathcal{L}}=|{\mathrm{Pic}}^0(X_0)|\sum _{de>2g-2}\frac{q^{1-g+de}-1}{q-1}{t}^{de} \\ =\frac{|{\mathrm{Pic}}^0(X_0)|}{q-1}\left[q^{1-g}\frac{(qt{)}^{d_{0}e}}{1-(qt{)}^e}-\frac{t^{d_{0}e}}{1-t^e}\right], \end{gathered}$$其中 $d_0$ 是最小的使得 $de>2g-2$ 的非负整数.

根据上述计算, 我们得到

推论 1.4. 函数 $Z(X_0,t)$ 在 $t=1$ 处有一阶极点, 且$$\underset{t\to 1}{\lim }(t-1)Z(X_0,t)=\frac{|{\mathrm{Pic}}^0(X_0)|}{e(q-1)}.$$

我们希望证明 $e=1$. 这里我们使用一个技巧: 考虑域扩张 ${\mathbb{F}}_{q^e}|{\mathbb{F}}_q$, $X_0^{\prime }:=X_0{\otimes }_{{\mathbb{F}}_q}{\mathbb{F}}_{q^e}$. 注意我们可以用 ${\mathbb{F}}_{q^e}$ 代替 ${\mathbb{F}}_q$ 进行上述所有论证. 特别地, $Z(X_0^{\prime },t)$ 在 $t=1$ 处有一阶极点, 因此函数 $Z(X_0^{\prime },t^e)$ 在 $t=1$ 处也只有一阶极点.

另一方面, 考虑投射 $X_0^{\prime }\to X_0$. 对每个闭点 $x\in |X_0|$, 恰好有 $e$ 个闭点 $x^{\prime }\in |X_0^{\prime }|$ 局于其上, 并且 $\mathrm{deg}x=e\mathrm{deg}{x}^{\prime }$. 因此$$Z(X_0^{\prime },t^e)=\prod _{x^{\prime }\in |X_0^{\prime }|}\frac{1}{1-t^{e\mathrm{deg}{x}^{\prime }}}={\left[\prod _{x\in |X|}\frac{1}{1-t^{\mathrm{deg}x}}\right]}^e=Z(X_0,t{)}^e.$$这说明 $Z(X_0^{\prime },t^e)$ 在 $t=1$ 处有 $e$ 阶极点. 因此 $e=1$.

推论 1.5. 我们有正合列$$0\to {\mathrm{Pic}}^0(X_0)\to \mathrm{Pic}(X_0)\to \mathbb{Z}\to 0.$$

综合上述, 我们有

定理 1.6. 存在多项式 $f(t)\in \mathbb{Z}[t]$ 使得$$Z(X_0,t)=\frac{f(t)}{(1-t)(1-qt)}.$$我们有 $\mathrm{deg}f\le 2g,f(0)=1,f(1)=|{\mathrm{Pic}}^0(X_0)|$.