用户: Estwald/走向Weil猜想/第四夜

今夜, 我们证明曲线时的 Riemann 假设.

1曲线时的 Riemann 假设

所有的假设同前. 我们已经看到, $Z(X_0,t)$ 可以分解成$$Z(X_0,t)=\frac{{\prod }_{i=1}^{2g}(1-{\varpi }_{i}t)}{(1-t)(1-qt)},{\varpi }_i\in \overline{\mathbb{Q}}.$$

定理 1.1. $|{\varpi }_i|=q^{\frac{1}{2}}$.

根据函数方程, 如果 $\varpi$ 是 $f(t)$ 的一个根, 那么 $\frac{q}{\varpi }$ 也是一个根. 因此我们只需要证明对任意 $i$, $|{\varpi }_i|\le q^{\frac{1}{2}}$.

注意到$$t\frac{\partial }{\partial t}\log Z(X_0,t)=\sum _{n\ge 0}\left[1+q^n-\sum _{i=1}^{2g}{\varpi }_i^n\right]t^n.$$另一方面, 我们知道$$t\frac{\partial }{\partial t}\log Z(X_0,t)=\sum _{n\ge 0}|X_0({\mathbb{F}}_{q^n})|t^n,$$故此$$|X_0({\mathbb{F}}_{q^n})|=1+q^n-\sum _{i=1}^{2g}{\varpi }_i^n.$$

命题 1.2. 记 $N_n=|X_0({\mathbb{F}}_{q^n})|$. 我们有$$\left|\sum _{i=1}^{2g}{\varpi }_i^n\right|=|N_n-1-q^n|\le 2g\sqrt{q^n}.$$

上述命题可以推出 $|{\varpi }_i|\le q^{\frac{1}{2}}$. 这基于如下初等的观察.

引理 1.3. 如果复数 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_k$ 满足当 $n\to \infty$ 时, ${\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i^n$ 有界, 那么对每个 $i$, $|{\lambda }_i|\le 1$.

在余下的时间里, 我们证明命题 1.2. 这用到一些曲面上的相交理论.

记 $X=X_0{\otimes }_{{\mathbb{F}}_q}\overline{{\mathbb{F}}_q},Y=X{\times }_{\overline{{\mathbb{F}}_q}}X$.

定理 1.4 (相交配对). 在 $\mathrm{Div}(Y)$ 上存在唯一的对称双线性配对$$(\cdot ,\cdot ):\mathrm{Div}(Y)\otimes \mathrm{Div}(Y)\to \mathbb{Z},$$穿过 $\mathrm{Pic}(Y)$, 并且若 $C$ 是光滑曲线, $(C,D)=\mathrm{deg}\mathcal{O}(D){|}_C$.

例 1.5. 考虑对角线除子 ${\Delta }_X\subset X\times X$, 则$$({\Delta }_X,{\Delta }_X)=\mathrm{deg}\mathcal{O}({\Delta }_X){|}_{{\Delta }_X}=\mathrm{deg}{T}_X=2-2g.$$

记曲面 $Y$ 的 Néron–Severi 群为$$\mathrm{NS}(Y)=\mathrm{Div}(Y)/\{D\in \mathrm{Div}(Y):\forall C\in \mathrm{Div}(Y),(C,D)=0\}.$$那么 $(\cdot ,\cdot )$ 下降为配对$$(\cdot ,\cdot ):\mathrm{NS}(Y)\otimes \mathrm{NS}(Y)\to \mathbb{Z}.$$

定理 1.6 (Hodge 指数). 设 $H\in \mathrm{Div}(Y)$ 丰沛, 那么 $(\cdot ,\cdot )$ 限制为 $H^{\perp }\subset \mathrm{NS}(Y)\otimes \mathbb{Q}$ 上的负定双线性型.

推论 1.7 (Cauchy 不等式). 设 $H\in \mathrm{Div}(Y)$ 丰沛, 那么对 $C,D\in H^{\perp }$, 有$$(C,D{)}^2\le (C,C)(D,D).$$

现在我们证明命题 1.2. 我们证明$$||X_0({\mathbb{F}}_q)|-1-q|\le 2g\sqrt{q}.$$用 $q^n$ 代替 $q$ 即得到一般情形的证明.

记 $F=\mathrm{Fr}\otimes \mathrm{id}$ 为 $X=X_0{\otimes }_{{\mathbb{F}}_q}\overline{{\mathbb{F}}_q}$ 上的几何 Frobenius, 我们知道 $\mathrm{deg}F=q,dF=0$. 记 ${\Gamma }_F\subset Y$ 为 $F$ 的图像, 那么 $({\Gamma }_F,{\Delta }_X)=|X_0({\mathbb{F}}_q)|$.

任取闭点 $x_0\in |X|$, 考虑丰沛除子$$H=\underset{V_1}{\underbrace{[x_0\times X]}}+\underset{V_2}{\underbrace{[X\times x_0]}}.$$

我们有$$(V_1,V_1)=(V_2,V_2)=0,(V_1,V_2)=1,$$$$(V_1,{\Delta }_X)=(V_2,{\Delta }_X)=1,({\Delta }_X,{\Delta }_X)=\mathrm{deg}{T}_X=2-2g,$$$$(V_1,{\Gamma }_F)=1,(V_2,{\Gamma }_F)=\mathrm{deg}F=q,({\Gamma }_F,{\Gamma }_F)=\mathrm{deg}(F^{\ast }{T}_X)=q(2-2g).$$

记$$C={\Gamma }_F-q{V}_1-V_2,D={\Delta }_X-V_1-V_2,$$我们有 $C,D\in H^{\perp }$, 故$$({\Gamma }_F-q{V}_1-V_2,{\Delta }_X-V_1-V_2{)}^2\le ({\Gamma }_F-q{V}_1-V_2,{\Gamma }_F-q{V}_1-V_2)({\Delta }_X-V_1-V_2,{\Delta }_X-V_1-V_2).$$展开就得到$${\left[|X_0({\mathbb{F}}_q)|-q-1\right]}^2\le 4g^{2}q.$$