用户: Estwald/路径积分

考虑 Schrödinger 绘景.

我们考虑含时 Schrödinger 方程$$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=H\psi$$其中 Hamilton 量 $H$ 为$$H=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\Delta +V(x).$$

1自由粒子

我们考虑自由粒子, 即假定 $V(x)\equiv 0$.

首先考虑维度 $n=1$ 的情形. 此时的含时 Schrödinger 方程即

$$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}.$$

定理 1.1. 假设 ${\psi }_0\in L^2(\mathbb{R})\cap L^1(\mathbb{R})$, 则对 $t\ne 0$, $$\psi (x,t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi \hslash t}}{e}^{-i\frac{\pi }{4}}{\int }_{\mathbb{R}}{e}^{i\frac{m}{2t\hslash }(x-y{)}^2}{\psi }_0(y)dy.$$

证明. 直接求导计算可以验证, 如此定义的 $\psi (x,t)$ 确实是含时 Schrödinger 方程的解. 因此只要验证当 $t\to 0$ 时, $\psi (x,t)\to {\psi }_0(x)$. 这是如下引理的推论:

引理 1.2. 设 $f(x)$ 是一个足够好的函数, 并且在 $x=x_0$ 处有唯一的极值点, 且 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$, 则当 $s\to \infty$ 时, $${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{isf(x)}g(x)dx=e^{isf(x_0)}g(x_0)\sqrt{\frac{2\pi }{s{f}^{\prime \prime }(x_0)}}{e}^{i\frac{\pi }{4}}\left(1+O\left(\frac{1}{s}\right)\right).$$

$\square$

定义 1.3 (传播子). 我们定义传播子为$$K_t(x,y)=\sqrt{\frac{m}{2\pi \hslash t}}{e}^{-i\frac{\pi }{4}}{e}^{i\frac{m}{2t\hslash }(x-y{)}^2}.$$

上述结论表明, 当初值 ${\psi }_0$ 足够好时, 含时 Schrödinger 方程的解为$$\psi (x,t)={\int }_{\mathbb{R}}{K}_t(x,y){\psi }_0(y)dy.$$这也解释了为什么 $K_t(x,y)$ 被称为传播子.

对 $n$ 维的自由粒子, 有传播子

$$K_t(x,y)={\left(\frac{m}{2\pi \hslash t}\right)}^{\frac{n}{2}}{e}^{-i\frac{\pi n}{4}}{e}^{i\frac{m}{2t\hslash }(x-y{)}^2}.$$

2有势能的情形

我们来计算有势能情形的传播子. 为方便, 首先考虑维数 $n=1$ 的情形. 我们需要如下的 Lie–Trotter 公式:

定理 2.1 (Lie–Trotter 公式). 给定 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$, $A,B$ 是 $\mathcal{H}$ 上不一定有界的自伴算子, 其定义域分别为 $D(A),D(B)$. 假设 $D(A)\cap D(B)$ 在 $\mathcal{H}$ 中稠密, 并且 $A+B:D(A)\cap D(B)\to \mathcal{H}$ 本性自伴, 则对任意 $\psi \in \mathcal{H}$, $${\left(e^{iA/N}{e}^{iB/N}\right)}^N\psi \to e^{i(A+B)}\psi ,N\to \infty .$$

在有限维, 甚至有界算子的情况, 上述结论是熟知的. 一般的情形也不难证明.

记 $A=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\Delta ,B=V(x)$, 则对于初值 ${\psi }_0$, 我们知道含时 Schrödinger 方程的解 $\psi (x,t)$ 可以用时间演化算符 $U(t)=e^{-\frac{i}{\hslash }Ht}=e^{-\frac{i}{\hslash }(A+B)t}$ 来表示:

$$\psi (x,t)=U(t){\psi }_0=e^{-\frac{i}{\hslash }(A+B)t}{\psi }_0.$$

根据 Lie–Trotter 公式, 我们知道

$$\psi (x,t)=\underset{N\to \infty }{\lim }{\left(e^{-\frac{i}{\hslash }A\frac{t}{N}}{e}^{-\frac{i}{\hslash }B\frac{t}{N}}\right)}^N{\psi }_0.$$

注意到 $e^{-\frac{i}{\hslash }A\frac{t}{N}}$ (差一个系数 $N$) 即为 $1$ 维自由粒子对应的时间演化算符, 因此根据上一节对 $1$ 维自由粒子的传播子的计算, 我们有

$$\left(e^{-\frac{i}{\hslash }A\frac{t}{N}}{e}^{-\frac{i}{\hslash }B\frac{t}{N}}{\psi }_0\right)(x)={\int }_{\mathbb{R}}\sqrt{\frac{m}{2\pi \hslash \frac{t}{N}}}{e}^{-i\frac{\pi }{4}}{e}^{i\frac{m}{2\frac{t}{N}\hslash }(x-y{)}^2}{e}^{-\frac{i}{\hslash }V(y)\frac{t}{N}}{\psi }_0(y)dy.$$

故此

$$\left({\left(e^{-\frac{i}{\hslash }A\frac{t}{N}}{e}^{-\frac{i}{\hslash }B\frac{t}{N}}\right)}^N{\psi }_0\right)(x_0)={\left(\frac{m}{2\pi \hslash \frac{t}{N}}\right)}^{\frac{N}{2}}{e}^{-i\frac{\pi }{4}N}{\int }_{{\mathbb{R}}^N}d{x}_1\cdots d{x}_N{e}^{\frac{i}{\hslash }{\mathcal{A}}_N(x_0,x_1,\cdots ,x_N)}{\psi }_0(x_N),$$

其中

$${\mathcal{A}}_N(x_0,x_1,\cdots ,x_N)=\sum _{j=1}^N\left[\frac{m}{2}{\left(\frac{x_j-x_{j-1}}{t/N}\right)}^2-V(x_j)\right]\frac{t}{N}.$$

如果记

$$C_N(t)={\left(\frac{m}{2\pi \hslash \frac{t}{N}}\right)}^{\frac{N}{2}}{e}^{-i\frac{\pi }{4}N},$$

则我们得到了含时 Schrödinger 方程的解

$$\psi (x,t)=\underset{N\to \infty }{\lim }{C}_N(t){\int }_{{\mathbb{R}}^N}d{x}_1\cdots d{x}_N{e}^{\frac{i}{\hslash }{\mathcal{A}}_N(x,x_1,\cdots ,x_N)}{\psi }_0(x_N).$$

Richard Feynman 发现,

$${\mathcal{A}}_N(x_0,x_1,\cdots ,x_N)=\sum _{j=1}^N\left[\frac{m}{2}{\left(\frac{x_j-x_{j-1}}{t/N}\right)}^2-V(x_j)\right]\frac{t}{N}$$

形似一个 Riemann 和: 考虑路径 $x(s),0\le s\le t$, 则上式即为 Riemann 积分 (这就是经典的作用量泛函 $S(x)$)

$${\int }_0^t\left[\frac{m}{2}\dot{x}(s{)}^2-V(x(s))\right]ds$$

所对应的 Riemann 和.

于是, 他设想传播子形如

定义 2.2 (Feynman 路径积分). $$K_t(x,y)=C\int \mathcal{D}x(s)\exp \left(\frac{i}{\hslash }{\int }_0^t\left(\frac{m}{2}\dot{x}(s{)}^2-V(x(s))\right)ds\right)$$

其中 $\int \mathcal{D}x(s)$ 表示在 $x(0)=y,x(t)=x$ 的路径空间上 “做积分”.

对于数学家来说, Feynman 路径积分暂时是不可理喻的, “测度” $\mathcal{D}x(s)$ 完全无法构造. 然而, 物理学家经常使用之, 并得到了大量成果.

3Gauß–Feynman 路径积分

回顾复分析中计算过的 Gauß 积分: 设 $V={\mathbb{R}}^n$, $A:V\to V$ 是一个正定的自伴算子, 则

$${\int }_V{d}^{n}x{e}^{-\frac{1}{2}(x,Ax)+(x,y)}=\frac{(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}}{(\det A{)}^{\frac{1}{2}}}{e}^{\frac{1}{2}(y,A^{-1}y)}.$$

我们猜想在路径积分的意义下, 有类似的等式:

$$\int \mathcal{D}x{e}^{-\frac{1}{2}(x,Ax)+(x,y)}=C\frac{1}{(\det A{)}^{\frac{1}{2}}}{e}^{\frac{1}{2}(y,A^{-1}y)}.$$

为此, 我们要搞明白如何定义 “行列式” $\det A$. 本节里, 我们介绍 Fredholm 行列式与 $\zeta$-正规化 (都是复分析).

首先固定我们的假设: $A$ 是 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的线性算子, 满足 $A{e}_k={\lambda }_k{e}_k$, 其中 $\{e_k{\}}_{k=1}^{\infty }$ 是 $\mathcal{H}$ 的一组 Hilbert 基. 假设特征值 ${\lambda }_k$ 增长地足够快:

$${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n<0<{\lambda }_{n+1}\le \cdots$$

且

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{|{\lambda }_k|}<\infty .$$

我们定义 $I-A^{-1}$ 的 Fredholm 行列式为

$$\underset{F}{\det }(I-A^{-1})=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\lambda }_k^{-1}\right).$$

由于 ${\sum }_{k=1}^{\infty }{\lambda }_k^{-1}$ 绝对收敛, 上式是良好定义的. 由复分析中的 Weierstraß 理论, 我们还知道

$$\underset{F}{\det }(I-\lambda A^{-1})=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_k}\right)$$定义了一个关于 $\lambda$ 的全纯函数, 其零点为 ${\lambda }_k$.

下面考虑关于 $A$ 的 $\zeta$ 函数

$${\zeta }_A(s)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{{\lambda }_k^s}.$$

我们知道其在半平面 $\mathrm{Re}(s)>1$ 上定义了一个全纯函数. 假设 ${\zeta }_A(s)$ 可以解析延拓到 $0$ 的一个开邻域上.

称

$${\delta }_A={\zeta }_A(0)$$

为 $\mathcal{H}$ 关于 $A$ 的维数,

$$\underset{\zeta }{\det }(A)=\exp \left(-{\zeta }_A^{\prime }(0)\right)$$

为 $A$ 的 $\zeta$-正规化行列式.

在 $\dim \mathcal{H}<\infty$ 的情形, 上述定义和经典的维数, 行列式相吻合. 此外, 也成立公式

命题 3.1. 对 $c>0$, 有$$\underset{\zeta }{\det }(cA)=c^{{\delta }_A}\underset{\zeta }{\det }(A).$$

公式

命题 3.2. $$\underset{\zeta }{\det }(A-\lambda )=\underset{\zeta }{\det }(A)\underset{F}{\det }(I-\lambda A^{-1})$$

关联了 $\zeta$-正规化与 Fredholm 行列式.

在路径积分中, Gauß 积分的类比为

$$\int \mathcal{D}x{e}^{-\frac{1}{2}(x,Ax)+(x,y)}=C\frac{1}{{\left({\det }_{\zeta }A\right)}^{\frac{1}{2}}}{e}^{\frac{1}{2}(y,A^{-1}y)}.$$

4传播子的渐近行为

本节里, 我们描述 $\hslash \to 0$ 时传播子的渐近行为. 为方便, 仍然考虑 $1$ 维的情形. 此外, 我们假定势能 $V(x)$ 足够好.

回顾传播子由如下路径积分定义:

$$K_t(x,y)=C{\int }_{\{x(0)=y,x(t)=x\}}\mathcal{D}x(s)e^{\frac{i}{\hslash }S(x)},$$

其中

$$S(x)={\int }_0^t\left[\frac{m}{2}\dot{x}(s{)}^2-V(x(s))\right]ds$$

为作用量泛函.

我们考虑半经典近似. 设 $x_0(s)$ 是经典轨 (假定势能 $V(x)$ 足够好, 使得有且仅有一条经典轨), $x_0(0)=y,x_0(t)=x$, 则一般的路径 $x(s)$ 可以表示成 $x(s)=x_0(s)+u(s),u(0)=u(t)=0$.

对作用量做微扰展开, 并分部积分得:

$$S(x_0+u)={\int }_0^t\left[\frac{m}{2}\dot{x_0}(s{)}^2-V(x_0(s))\right]ds-{\int }_0^{t}u(s)\left[m{\ddot{x}}_0(s)+V^{\prime }(x_0(s))\right]ds-\frac{1}{2}{\int }_0^{t}u(s)\left[m\ddot{u}(s)+V^{\prime \prime }(x_0(s))u(s)\right]ds+O(u^3).$$

按照经典力学,

$$m{\ddot{x}}_0+V^{\prime }(x_0)=-\frac{\delta S}{\delta \epsilon }(x_0+\epsilon )=0,$$

因此

$$S(x_0+u)=S^{(0)}(x_0)+S^{(2)}(x_0,u)+O(u^3),$$

其中

$$S^{(0)}(x_0)={\int }_0^t\left[\frac{m}{2}\dot{x_0}(s{)}^2-V(x_0(s))\right]ds,$$

$$S^{(2)}=-\frac{1}{2}{\int }_0^{t}u(s)\left[m\ddot{u}(s)+V^{\prime \prime }(x_0(s))u(s)\right]ds.$$

定义 4.1. 定义拟传播子为

$$K_t^{\text{quasi}}(x,y)=C{\int }_{\{u(0)=u(t)=0\}}\mathcal{D}u{e}^{\frac{i}{\hslash }\left(S^{(0)}(x_0)+S^{(2)}(x_0,u)\right)}.$$

利用 Gauß–Feynman 路径积分, 我们有

$$K_t^{\text{quasi}}(x,y)=C^{\prime }{e}^{\frac{i}{\hslash }{S}^{(0)}(x_0)}{\left(\underset{\zeta }{\det }A\right)}^{-\frac{1}{2}},$$

其中

$$Au=i\left(-\frac{m}{\hslash }\ddot{u}-\frac{1}{\hslash }{V}^{\prime \prime }(x_0)u\right).$$

事实上, 能够算出

定理 4.2. $$K_t^{\text{quasi}}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi i\hslash }}{\left|\frac{{\partial }^2{S}^{(0)}}{\partial x\partial y}\right|}^{\frac{1}{2}}{e}^{\frac{i}{\hslash }{S}^{(0)}}.$$

除此之外, 有估计

定理 4.3. $$K_t(x,y)=K_t^{\text{quasi}}(x,y)(1+O(\hslash )).$$

这给出传播子在 $\hslash \to 0$ 时的渐近行为的半经典估计.