Schrödinger 方程

Schrödinger 方程是量子力学的公理之一, 它描述了量子力学框架下物理系统随时间的演化.

1陈述

方程 1.1 (Schrödinger 方程). 给定一个量子力学系统, 它满足如下 Schrödinger 方程: $$\mathrm{i}\hslash \frac{d\psi }{dt}=\hat{H}\psi .$$其中 $\psi (t)$ 表示系统在 $t$ 时的态; $H$ 为经典 Hamilton 量, $\hat{H}$ 为它在量子力学中对应的算符.

我们接下来假设 $H$ 不随时间而变.

注意到如果 $\psi (0)$ 为 $\hat{H}$ 的特征值为 $E$ 的特征向量时, 方程化为常微分方程, 其解为$$\psi (t)=\exp (-\frac{\mathrm{i}Et}{\hslash })\psi (0).$$则对一般的 $\psi$, 由无界算子的谱理论可以将其写成若干 $\hat{H}$ 的特征向量之和 (这里的特征向量可能是广义的, 求和也可能是积分)$$\psi (0)=\sum c_n{\psi }_n,\hat{H}{\psi }_n=E_n{\psi }_n,$$则有$$\psi (t)=\sum c_n\exp (-\frac{\mathrm{i}{E}_{n}t}{\hslash }){\psi }_n.$$因此只要求出 $\hat{H}$ 的特征向量, 就可以解出 Schrödinger 方程. $\hat{H}$ 的特征方程即是所谓定态 Schrödinger 方程.

方程 1.2 (定态 Schrödinger 方程). 对给定的量子力学系统, 设 $H$ 不随时间而变, 则能量 $E\in \mathbb{R}$ 的定态 Schrödinger 方程为$$\hat{H}\psi =E\psi .$$

2动机

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3例子

下面列出了一些系统的 Hamilton 量的例子, 这些量给出了相应的 Schrödinger 方程.

•	对 (非相对论的) 单粒子系统, 其 Hilbert 空间为 $L^2({\mathbb{R}}^n)$, Hamilton 量为$$\hat{H}\psi =(\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V)\psi =-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi +V\psi$$其中 $V$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上函数, 即势能, $m$ 为粒子的质量.

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4求解

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5相关概念

•	Dirac 方程
•	Schrödinger 绘景
•	Heisenberg 绘景

术语翻译

Schrödinger 方程 • 英文 Schrödinger equation • 德文 Schrödingergleichung • 法文 équation de Schrödinger