用户: Estwald/Galois理论

本文章内有一些术语或许不标准. 还有一些黑话我没有解释 (例如平凡化). 另外, 这只是一些抽象废话.

约定. 在本文中,

• 固定 $k$ 是一个域, $\bar{k}$ 为其代数闭包.
• 我们所讨论的环和代数都是交换的. 我们所说的有限 $k$-代数, 意同其作为 $k$-向量空间是有限维的.

1Galois 扩张

定义 1.1. 设 $A$ 是有限 $k$-代数. 称 $A$ 为平展 $k$-代数, 如果 $A{\otimes }_k\bar{k}$ 为平凡 $\bar{k}$-代数.

或者我们说, $\bar{k}$ 平凡化了 $A.$

在经典的域论里, 我们有所谓可分扩张的概念. 可以证明, 可分基本上就是说平展 (用本原元素定理). 更多讨论见条目平展代数.

定义 1.2. 设 $L$ 是一个有限 $k$-代数, 称 $L$ 为 $k$ 的 (有限)Galois 扩张, 如果

1.	$L$ 是一个域;
2.	$L{\otimes }_{k}L$ 是平凡的 $L$-代数.

例 1.3. 设 $f$ 是 $k[X]$ 中一个不可约多项式, $L=k[X]/(f),$ 则$$L{\otimes }_{k}L=L{\otimes }_k\frac{k\left[X\right]}{(f)}\simeq \frac{L\left[X\right]}{(f)}.$$根据中国剩余定理, 在这种情况下 $L$ 是 $k$ 的 Galois 扩张当且仅当 $f$ 在 $L[X]$ 中完全分裂且没有重根.

例 1.4. 一个经典的不是 Galois 扩张的例子是 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})|\mathbb{Q}.$

2有限 Galois 扩张主定理

固定 $L|k$ 是一个有限 Galois 扩张, $G=\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L|k)={\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_k(L)$ 为 Galois 群.

范畴 $\mathcal{C}$ 的对象是那些被 $L$ 平凡化了的有限 $k$-代数, 态射为 $k$-代数同态. $\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}\mathsf{G}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$ 为有限左 $G$-集合构成的范畴.

考虑函子 $F:\mathcal{C}\to \mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}\mathsf{G}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t},A\mapsto {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_k(A,L).$ (在态射上的作用是自然的, 不赘述.)

定理 2.1. 上述函子 $F$ 是范畴等价 (对偶).

证明. 根据范畴论事实, 只要证明 $F$ 全忠实、本性满.

•	全忠实: 给定 $(\phi :A\to B)\in \mathcal{C},$ 由 $L$ 平凡化 $A,B,L$ 得交换图按图索骥得全忠实性 (或者用等化子).
•	本性满: 取 $E\in \mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}\mathsf{G}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$, 那么考虑 $L^E\in \mathcal{C}$ 就可以了, 具体细节留作思考.

$\square$

我写这篇文章, 主要是因为我当时不能掌握域论的技术细节 (例如可分、正规、纯不可分、完全域等等令人困扰的概念). 这样做有得有失: 好处在于, 它看起来和其他很多理论是一样的 (或者差一个范畴对偶), 例如覆叠空间的拓扑 Galois 理论. 继续走下去, 这套抽象废话发展为 Galois 下降与 Grothendieck 下降. 坏处在于我们实际上什么也没有做, 也什么也没得出. 这套理论并不能直接推出经典的 Galois 理论. 为走向那里, 我们取 Galois 群 $G$ 的子群 $H$, 那么陪集空间 $G/H\in \mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}\mathsf{G}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t},$ 范畴 $\mathcal{C}$ 里相应的对象为 $\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(H)$. 但亲自验证之后就会意识到, 说明这个并不容易: 我们似乎很难绕开 Artin 引理.