可分扩张

可分扩张是一类重要的域扩张, 其中扩域的元素都能写成可分多项式的根.

1定义

定义 1.1. $k$ 是域, $\bar{k}$ 是 $k$ 的代数闭包, $f(x)\in k[x]$ 称为可分多项式若它的每个不可约因子在 $\bar{k}$ 中没有重根.

判别式或者形式导数能不借助代数闭包来判断一个多项式是否可分 (命题 2.1).

定义 1.2 (可分元). $K/k$ 是域扩张, $a\in K$ 在 $k$ 上代数, 如果 $a$ 在 $k$ 上的极小多项式是可分多项式, 则称 $a$ 是 $k$ 上的可分元.

定义 1.3 (可分扩张). $K/k$ 是代数扩张, 若任意 $a\in K$ 都是可分元, 则称 $K/k$ 为可分扩张.

根据命题 2.1, 特征零的域上的不可约多项式一定是可分的, 从而特征零的域的代数扩张一定是可分扩张. 因此可分扩张只对特征 $p$ 的域有意义.

定义 1.4. 如果对 $k$ 的任意代数扩张都是可分扩张, 则 $k$ 称为完全域.

2性质

命题 2.1 (可分多项式等价定义). 假设 $f\in k[x]$ 是不可约多项式, 则下述条件等价:

•	$f$ 是可分多项式.
•	$f$ 的判别式 $\Delta (f)$ 不为零.
•	$f$ 与它的形式导数 $f$ 互素.

术语翻译

可分扩张 • 英文 separable extension