用户: Fyx1123581347/偏微分方程/变分方法/散焦和聚焦的 Dirichlet 方程

1一些不等式与嵌入

回忆 Sobolev 不等式$${\Vert u\Vert }_{p^{\ast }}{\lesssim }_{s,n}{\Vert u\Vert }_{{\dot{H}}^s}$$其中 $p^{\ast }=\frac{2n}{n-2s}$.

根据 $L^p$ 插值

引理 1.1. 对 $0<p\le q\le r<\infty$, 设$$\frac{1}{q}=\frac{\theta }{p}+\frac{1-\theta }{r},$$则$${\Vert f\Vert }_q\le {\Vert f\Vert }_p^{\theta }{\Vert f\Vert }_r^{1-\theta }.$$

我们得到

推论 1.2. 对 $2\le p\le p^{\ast }$, 有$${\Vert u\Vert }_{L^p}\le C{\Vert u\Vert }_{H^s}.$$

证明. 根据插值, $${\Vert u\Vert }_{L^p}\le {\Vert u\Vert }_{L^2}^{\theta }{\Vert u\Vert }_{L^{p^{\ast }}}^{1-\theta },$$其中 $\frac{\theta }{2}+\frac{1-\theta }{p^{\ast }}=\frac{1}{p}$.

$\square$

定理 1.3 (Gagliardo–Nirenberg). $$2^{\ast }:=\{\begin{array}{l}\infty ,n\le 2\\ \frac{2n}{n-2},n\ge 3\end{array},$$则对 $2\le p<2^{\ast }$, 有$${\Vert u\Vert }_{L^p}\lesssim {\Vert u\Vert }_{L^2}^{1-\theta }{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{\theta },$$其中 $\theta =\frac{n(p-2)}{2p}$.

证明. Sobolev 齐次 + Holder.

$\square$

以下考虑 $H_0^1(\Omega )$, 其中 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 为有界开集, 有零延拓 $H_0^1(\Omega )\hookrightarrow H^1({\mathbb{R}}^n)$. 因此 Gagliardo–Nirenberg 不等式对 $u\in H_0^1(\Omega )$ 也成立.

定理 1.4 (Kato–Rellich).

1.	$n=1$, $H_0^1(\Omega )\hookrightarrow \left(C(\Omega ),{\Vert \cdot \Vert }_{L^{\infty }}\right)$ 为紧嵌入.
2.	$n=2$, 对 $p\in [1,\infty )$, $H_0^1(\Omega )\hookrightarrow L^p(\Omega )$ 是紧嵌入.
3.	$n\ge 3$, $p\in [1,2^{\ast }]$, 有连续嵌入 $H_0^1(\Omega )\hookrightarrow L^p(\Omega )$, 当 $p<2^{\ast }$ 时是紧嵌入.

证明.

1.	等度连续.
2.	因 $\Omega$ 有界, 只要证 $p\ge 2$. $p=2$, 见预习. $p>2$, 由 Gagliardo–Nirenberg 知 $L^2,H_0^1$ 控制 $L^p$.

$\square$

例 1.5. 对 $n=3,2^{\ast }=6$. ${\dot{H}}^1({\mathbb{R}}^3)\hookrightarrow L^6({\mathbb{R}}^3)$, 对一个函数做平移或尺度变换知不紧. 事实上, 商掉群作用就紧了.

2散焦的、非临界的、非线性 Dirichlet 问题

$$\{\begin{array}{l}-△u+g(u)=f\\ u{|}_{\partial \Omega }=0.\end{array}$$其中 $f\in L^2(\Omega )$. 不妨设 $f,u$ 实值. $g\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$, 且 $\forall \rho \in$.

参看第二次课的补充.