用户: Fyx1123581347/偏微分方程/变分方法/Lions 三分定理

1二维的情形

我们考察 $n=2$,$$J(u)=\frac{{\Vert u\Vert }_{L^2}^2{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2}{{\Vert u\Vert }_{L^4}^4},J_2=\min J(u).$$

命题 1.1.

•	存在 $u\in H^1({\mathbb{R}}^2)$ 使得 $J(u)=J_2$.
•	存在唯一的 $Q>0$ 适合 $-△Q+Q=Q^3$.
•	取到 $J_2$ 的 $u$ 形如 $aQ(\lambda (x-x_0))$, 其中 $a\in \mathbb{C},\lambda \in {\mathbb{R}}_{>},x_0\in {\mathbb{R}}^2$.

证明梗概.

1.

取极小化子序列, 根据凝聚紧性原理有在 $H^1({\mathbb{R}}^2)$ 中收敛的子列.

2.

将 $u$ 替换为 $|u|$ 可以假设 $u\ge 0$, 变分可得其适合方程$$-△u+2J_{2}u=2J_2{u}^3.$$用 $\tilde{u}(x)=\sqrt{2}u\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$ 代替 $u$, 得到 $-△u+u=u^3$. ∘ $u$ 是光滑的, 这是根据椭圆的理论. ∘ $u>0$, 这是根据极大值原理. ∘ $u$ 在无穷远处指数衰减, 这是将来的作业. 可能 $\nabla u$ 也适合这个性质. ∘ 将 $u$ 平移, 可以假设 $u(0)$ 取到最大值. ∘ $u$ 是旋转对称的, 这是 Alexandrov 对称原理, 或者 moving plan method, 可以在 Gidos–Ni–Nirenberg 或 Evans 的书中找到. ∘ Kuang (1989) 证明了如上的 $u$ 是唯一的, 记作 $Q$.

$\square$

注 1.2. $J_2=\frac{1}{2}{\Vert Q\Vert }_{L^2}^2$. 这固然可以从取极小化子序列的过程中看出, 但我们也可以从 $Q$ 适合的方程直接看出.

•

能量方法: $$\int -△Q\cdot Q+\int Q^2=\int Q^4,$$也就是说 ${\Vert \nabla Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert Q\Vert }_{L^2}^2={\Vert Q\Vert }_{L^4}^4$.

•

Pahozaev 技巧: 乘以 $(x\cdot \nabla )Q$ 分部积分, 这跟空间的几何相关. 此处$$(x\cdot \nabla )Q=x\cdot \nabla Q=\sum x^i{\nabla }_{i}Q.$$在 $-△Q+Q=Q^3$ 中, 我们考察 $$\begin{array}{r}\int x^j{\nabla }_{j}Q\cdot Q=\frac{1}{2}{x}^j\cdot {\nabla }_j{\left|Q\right|}^2.=-\int Q^{2}dx.\end{array}$$ $$\int x^j{\nabla }_{j}Q\cdot Q^3=\frac{1}{4}\int x^j{\nabla }_j{\left|Q\right|}^4=-\frac{1}{2}\int Q^{4}dx.$$Laplace 算子一项$$\begin{array}{rl}\int x^j{\nabla }_{j}Q\cdot \left(-△Q\right)& =-\int x^j{\nabla }_{j}Q\cdot {\nabla }_k{\nabla }_{k}Q\\ & =\int {\delta }_k^j{\nabla }_{j}Q{\nabla }_{k}Q+\int x_j{\nabla }_k{\nabla }_{j}Q{\nabla }_{k}Q\\ & =\int {\left|\nabla Q\right|}^2+\frac{1}{2}\int x_j{\nabla }_j({\nabla }_{k}Q{)}^2\\ & =0.\end{array}$$因此 $\int Q^2=\frac{1}{2}\int Q^4$.

2凝聚紧性原理: 三分版本 (Pierre - Lious Lions)

再次回忆 Gagliardo–Nirenberg 不等式$${\Vert u\Vert }_{L^{2+\frac{4}{n}}}^{2+\frac{4}{n}}\le C{\Vert u\Vert }_{L^2}^{\frac{4}{n}}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2.$$写成这个形式是因为其有局部的版本:

命题 2.1. 令 $Q=[0,1)\times \cdot \times [0,1)\subset {\mathbb{R}}^n$, $Q_j,j\in {\mathbb{Z}}^n$ 是 $Q$ 的平移. 则存在 $C_1$, 使得 $\forall u\in H^1({\mathbb{R}}^n)$, 都有$${\Vert u\Vert }_{L^{2+\frac{4}{n}}}^{2+\frac{4}{n}}\le C_1{\left(\underset{j}{\sup }{\Vert u\Vert }_{L^2(Q_j)}^2\right)}^{\frac{2}{n}}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2({\mathbb{R}}^n)}^2.$$

证明. 期望有$${\Vert u\Vert }_{L^{2+\frac{4}{n}}}^{2+\frac{4}{n}}\le C_0{\Vert u\Vert }_{L^2(Q)}^{\frac{4}{n}}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2(Q)}^2$$然后使用单位分解, 具体的细节留作作业.

$\square$

定理 2.2. 设 $\underline{u}=\{u_k\}\subset H^1({\mathbb{R}}^n)$ 有界, 且 ${\Vert u\Vert }_{L^2}^2=M$, 则存在 $\underline{u}$ 的子列 $u_k$ 满足如下三种情况至少一种:

1.	紧性: 存在 ${\mathbb{R}}^n$ 中点列 $\{x_k\}$, 使得 $u_k(x-x_k)$ 在 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 中收敛. 从而根据 Gagliardo–Nirenberg 不等式, $u_k(x-x_k)$ 也在 $L^p({\mathbb{R}}^n)$ 中收敛, 其中 $2\le p<2^{\ast }$.
2.	消逝: 对 $p\in (2,2^{\ast })$, ${\lim }_{k\to \infty }{\Vert u\Vert }_{L^p}=0$.
3.	二分: 存在 $\theta \in (0,1)$ 和 $\{U_k^{(1)}\},U_k^{(2)}\subset H^1({\mathbb{R}}^n)$ 满足 ∘ $\mathrm{supp}{U}_k^{(1)}\cap \mathrm{supp}{U}_k^{(2)}=\varnothing$. ∘ ${\lim }_{k\to \infty }d\left(\mathrm{supp}{U}_k^{(1)},\mathrm{supp}{U}_k^{(2)}\right)=+\infty$. 以及 ∘ ${\Vert U_k^{(1)}\Vert }_{L^2}^2\to \theta M$, ${\Vert U_k^{(2)}\Vert }_{L^2}^2\to (1-\theta )M$. 这是在 $L^2$ 层面二分. ∘ 对 $p\in (2,2^{\ast })$ 有$$\int {\left|u_k\right|}^p-\int {\left|U_k^{(1)}\right|}^p-\int {\left|U_k^{(2)}\right|}^p\to 0$$这是在 $L^p$ 层次上二分. ∘ $$\underset{k\to \infty }{\mathrm{liminf}}\int {\left|\nabla u_k\right|}^2-\int {\left|\nabla U_k^{(1)}\right|}^2-\int {\left|\nabla U_k^{(2)}\right|}^2\ge 0.$$这是说不会将能量分完. 如果再取子列, 也可以将 $\mathrm{liminf}$ 改成 $\lim$.

例 2.3. 再次考虑 $J_1$. 取极小化子序列 $u_k$ 使得 ${\Vert u_k\Vert }_{L^2}={\Vert u\Vert }_{L^6}=1$. 则容易发现它不消逝、不二分, 因而平移后在 $L^2$ 中收敛.

证明. 对 $u\in H^1({\mathbb{R}}^n)$, $R>0$ 考察凝聚函数$${\rho }_u(R)=\underset{y\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }{\int }_{B(y,R)}{\left|u(x)\right|}^{2}dx.$$它有如下一些显然的性质:

•	${\rho }_u(R)$ 单调增加, 且 ${\lim }_{R\to \infty }{\rho }_u(R)={\Vert u\Vert }_{L^2}^2$.
•	固定 $R$, 则 $y\mapsto {\int }_{B(y,R)}{\left|u(x)\right|}^{2}dx$ 对 $y$ 连续, 且 $y\to \infty$ 时其趋于 $0$. 因此存在 $y(R)$, 使得 ${\rho }_u(R)={\int }_{B(y(R),R)}{\left|u(x)\right|}^{2}dx$.

命题. ${\rho }_u(R)$ 对 $R$ 为 Hölder 连续.

这是因为对 $R_2>R_1$, $$\begin{array}{rl}\rho (R_2)-\rho (R_1)& ={\int }_{B(y(R_2),R_2)}{\left|u(x)\right|}^2-{\int }_{B(y(R_1),R_1)}{\left|u(x)\right|}^2\\ & \le {\int }_{B(y(R_2),R_2)}{\left|u(x)\right|}^2-{\int }_{B(y(R_2),R_1)}{\left|u(x)\right|}^2\\ & ={\int }_{B(y(R_2),R_2)-B(y(R_2),R_1)}{\left|u(x)\right|}^2\\ & \le {\Vert 1\Vert }_{L^{\frac{n}{2}}}{\Vert u\Vert }_{L^{2^{\ast }}}\\ & =C(R_2^n-R_1^n{)}^{\frac{2}{n}}.\end{array}$$虽然我看不出这为什么就 Hölder 连续, 但对接下来实际要用到的等度连续已然绰绰有余.

对 $\underline{u}=\{u_k\}$, 记 ${\rho }_k(R)={\rho }_{u_k}(R)$. 则 ${\rho }_k$ 一致有界且等度连续, 故存在子列在所有紧集上一致收敛. 从而对任何 $R$, ${\rho }_k(R)\to \rho (R)$ 存在.

•	$\rho (R)\le M$.
•	$\rho$ 是单调增加的, 令 $\mu ={\lim }_{R\to +\infty }\rho (R)$.

共有三种情形:

1.	$\mu =0$, 消逝.
2.	$\mu =M$, 紧性.
3.	$0<\mu <M$, 两分.

1. $\mu =0$. 从而 $\rho (n)=0)$, ${\lim }_{k\to \infty }{\rho }_k(n)=0$. 因$${\Vert u_k\Vert }_{L^{2+\frac{4}{n}}}^{2+\frac{4}{n}}\le C_1{\left(\underset{j}{\sup }{\Vert u_k\Vert }_{L^2(Q_j)}^2\right)}^{\frac{2}{n}}{\Vert \nabla u_k\Vert }_{L^2({\mathbb{R}}^n)}^2\le C_1{\rho }_k(n){\Vert \nabla u_k\Vert }_{L^2({\mathbb{R}}^n)}^2,$$我们得到 ${\Vert u_k\Vert }_{L^{2+\frac{4}{n}}}\to 0$. 根据插值得到对 $2<p<2^{\ast }$ 有 ${\Vert u_k\Vert }_{L^p}\to 0$.

2. $\mu =M$. 此时可以找回紧性. 对 $R>0$, 我们取定 $y_k(R)$ 使得$${\rho }_k(R)={\int }_{B(y_k(R),R)}{\left|u_k(x)\right|}^{2}dx.$$存在 $R_0$, 使得 $\rho (R_0)>\frac{M}{2}$. 因此存在 $K_0$, 使得对 $k>K_0$ 有 ${\rho }_k(R_0)>\frac{M}{2}$.

对任意的 $\epsilon >0$, 都存在 $R_0(\epsilon )$ (我们也取定这样的 $R_0(\epsilon )$), 使得$$\rho (R_0(\epsilon ))>M-\frac{1}{2}\epsilon ,$$因此存在 $K_1(\epsilon )$, 使得 $k>K_1(\epsilon )$ 时都有$${\rho }_k(R_0(\epsilon ))>M-\frac{1}{2}\epsilon .$$令 $K_2(\epsilon )=K_1(\epsilon )+K_0$. 则 (对 $\epsilon <M$) $${\rho }_k(R_0(\epsilon ))+{\rho }_k(R_0)>M.$$这说明球 $B(y_k(R_0),R_0)$ 与 $B(y_k(R_0(\epsilon )),R_0(\epsilon )$ 相交. 令 $R_2(\epsilon )=R_0+2R_0(\epsilon )$, 则以 $y_k(R_0)$ 为球心, $R_2(\epsilon )$ 为半径的球盖住此前的两个球, 因此对 $k>K_2(\epsilon )$, $${\int }_{B(y_k(R_0),R(\epsilon ))}{\left|u_k\right|}^2>M-\epsilon .$$对前面有限个再做调整, 我们得到: 对任何 $\epsilon >0$, 存在 $R(\epsilon )$, 使得对任何 $k\ge 1$, 都有$${\int }_{B(y_k(R_0),R(\epsilon ))}{\left|u_k\right|}^2>M-\epsilon .$$用 $u_k(x-y_k(R_0))$ 代替 $u_k$, 我们得到: 对任何 $\epsilon >0$, 存在 $R(\epsilon )$, 使得对任何 $k\ge 1$, 都有$${\int }_{B(0,R(\epsilon ))}{\left|u_k\right|}^2>M-\epsilon ,$$或者等价的$${\int }_{|x|\ge R(\epsilon )}{\left|u_k\right|}^2\le \epsilon .$$由于乘一个紧支光滑函数是 $H^1({\mathbb{R}}^n)到L^2({\mathbb{R}}^n)$ 的紧算子, 这就表明 $u_k$ 有在 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 中收敛的子列.

3. 参看补充材料.

$\square$