用户: Hbghlyj/交比

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定义 0.1. 复平面上四点的交比是$$(z_1,z_2;z_3,z_4)=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}$$这个定义可以连续延拓至整个黎曼球面, 即复平面加上无穷远点.

一般来说, 交比可以定义在射影直线 (黎曼球面就是复射影直线) 上. 在任何仿射坐标卡中, 交比由上式给出.

命题 0.2. 如果四条直线穿过一点 $P$, 第五条直线 $L$ 不穿过 $P$, 分别与四条直线交于四点, 那么在 $L$ 上按序取四点的有向长度, 所算出的交比是独立于 $L$. 它是这四直线系的不变量.

推论 0.3. 交比是射影几何的不变量, 就是说射影变换保持交比不变.

命题 0.4. 四个复数的交比为实数, 当且唯当四点共线或共圆.

证明. $ABCD$ 共线或共圆 $⟺\measuredangle ABC=\measuredangle ADC$

$⟺\arg (B-A)-\arg (B-C)\equiv \arg (D-A)-\arg (D-C)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pi$

$⟺\arg \frac{B-A}{B-C}\equiv \arg \frac{D-A}{D-C}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pi$

$⟺\arg \frac{B-A}{B-C}\frac{D-C}{D-A}\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pi$

$⟺\frac{B-A}{B-C}\frac{D-C}{D-A}\in \mathbb{R}$

$⟺(A,B;C,D)\in \mathbb{R}$

$\square$