流形

流形是局部上看起来像 Euclid 空间的拓扑空间. 流形描述的是 Euclid 空间中的曲线和曲面, 以及它们的高维类比, 但流形的概念将它们视为独立的对象, 将同胚 (或微分同胚) 的流形视为相同的流形, 而不在乎它们如何嵌入到 Euclid 空间.

“流形” 一词有时也指光滑流形, 但我们不采用这种术语. 为强调所指的不是光滑流形, 也将流形称为拓扑流形.

1定义

定义 1.1 (局部 Euclid 空间). 拓扑空间 $X$ 称为局部 Euclid 空间, 如果满足下列等价条件之一:

•	每个点 $x\in X$ 都有开邻域 $U\subset X$, 使得 $U$ 同胚于某个 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中的某个开集 $V\subset {\mathbb{R}}^n$.

•	每个点 $x\in X$ 都有开邻域 $U\subset X$, 使得 $U$ 同胚于某个 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$.

定义 1.2 (流形). 流形是指拓扑空间 $X$, 满足

•	$X$ 是局部 Euclid 空间 (定义 1.1).

•	$X$ 是 Hausdorff 空间.

•	$X$ 是第二可数空间.

如果 $X\ne \varnothing$, 且存在自然数 $n$, 使得空间 $X$ 局部同胚于 ${\mathbb{R}}^n$, 就说 $X$ 是 $\mathbf{n}$ 维流形, 或者说 $X$ 的维数为 $n$, 并记$$\dim X=n.$$

注 1.3. 按照我们的定义, 不同维数流形的无交并仍然是流形, 例如 $\mathbb{R}\bigsqcup {\mathbb{R}}^2$. 在文献中, 有时会要求流形都具有固定的维数, 而并不将这种空间看作流形.

2例子

•	Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 是最简单的 $n$ 维流形. ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集也都是 $n$ 维流形.

•	球面 $S^n$ 是一类最基本的流形, 也是最常见的紧流形之一.

•	对任意自然数 $n$, 实射影空间 ${\mathbb{RP}}^n$ 是流形. 当 $n>0$ 且为偶数时, ${\mathbb{RP}}^n$ 是紧、不可定向流形的例子.

以下是一些反例:

•	双原点直线是第二可数的局部 Euclid 空间, 但不是 Hausdorff 空间, 因而不是流形.

•	长直线是 Hausdorff 的局部 Euclid 空间, 但不是第二可数空间, 因而不是流形.

3相关概念

•	微分流形、光滑流形、解析流形
•	定向
•	带边流形

4参考文献

介绍光滑流形的教材:

•	J. Lee (2012). Introduction to Smooth Manifolds, 2ed. Graduate Texts in Mathematics 218. Springer.

术语翻译

流形 • 英文 manifold • 德文 Mannigfaltigkeit (f) • 法文 variété (f) • 拉丁文 multiplex (n) • 古希腊文 πολλαπλούτης (f) • 日文 多様体

拓扑流形 • 英文 topological manifold • 德文 topologische Mannigfaltigkeit • 法文 variété topologique • 拉丁文 multiplex topologicum • 古希腊文 τοπολογικὴ πολλαπλούτης • 日文 位相多様体