用户: Hbghlyj/Möbius 带

本文应偏重于拓扑结构, 而不是它在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的嵌入

Möbius 带是一种只有一个面 (表面) 和一条边界的曲面, 也是一种重要的拓扑学结构. 它是由德国数学家 August Ferdinand Möbius 和 Johann Benedict Listing 在 1858 年独立发现的. 这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来.

事实上有两种不同的莫比乌斯带镜像, 他们相互对称. 如果把纸带顺时针旋转再粘贴, 就会形成一个右手性的莫比乌斯带, 反之亦类似.

1几何学与拓扑学结构

参数方程式$$\begin{array}{rl}& x(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos \frac{u}{2}\right)\cos (u)\\ & y(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos \frac{u}{2}\right)\sin (u)\\ & z(u,v)=\frac{v}{2}\sin \frac{u}{2}\\ & (0\le u<2\pi ,-1\le v\le 1)\end{array}$$描述了一个边长为 1 半径为 1 的莫比乌斯带, 带子的中心位置是 $x-y$ 平面上的单位圆. 参数 $u$ 变动时, 动点环绕整个带子;$v$ 变动时, 动点从一个边移动到另一边.

如果用圆柱坐标系 $(r,\theta ,z)$ 表示的话, 一个无边界的莫比乌斯带可以表示为:

$$\log (r)\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)=z\cos \left(\frac{\theta }{2}\right).$$

从拓扑学上来讲, 莫比乌斯带可以定义为矩阵 $[0,1]\times [0,1]$, 边由在 $0\le x\le 1$ 的时候 $(x,0)\sim (1-x,1)$ 决定, 如右图所示.

莫比乌斯带是一个二维的紧致流形 (即一个有边界的面) , 可以嵌入到三维或更高维的流形中. 它是一个不可定向流形, 可以看作 ${\mathbf{R}\mathbf{P}}^2\#{\mathbf{R}\mathbf{P}}^2$. 同时也是数学上描绘纤维丛的例子之一. 特别地, 它是一个有一纤维单位区间, $I=[0,1]$ 的圆 $S^1$ 上的非平凡丛. 仅从莫比乌斯带的边缘看去给出 $S^1$ 上一个非平凡的两个点 (或 ${\mathbb{Z}}_2$) 的丛.