用户: Infinitecat/一些笔记3/DM

定义 0.1. 称赋环意象 $(\mathcal{X},{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}})$ 为 Deligne-Mumford 叠, 若存在一族 $U_{\alpha }\in \mathcal{X}$, 满足下面的条件:

•	$\left\{U_{\alpha }\right\}$ 覆盖 $\mathcal{X}$, 即有一个满态射 $⨆U_{\alpha }\twoheadrightarrow 1$, 其中 $1\in \mathcal{X}$ 为终对象.
•	对每个 $\alpha$, $({\mathcal{X}}_{/U_{\alpha }},{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}}{|}_{U_{\alpha }})$ 是一个平展谱, 即存在交换环 $R_{\alpha }$, 使得 $({\mathcal{X}}_{/U_{\alpha }},{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}}{|}_{U_{\alpha }})\cong \text{Speˊt }{R}_{\alpha }.$

我们将所有的 Deligne-Mumford 叠构成的范畴记作 DM. DM 是一个(2,1)-范畴, 即每个 2-态射都是可逆的.

定义 0.2 (平展谱). $R$ 是一个交换环. 记 ${\text{CAlg}}_R^{\text{eˊt}}$ 为平展交换 $R$-代数范畴. ${\text{Shv}}_{\text{Set}}({\text{CAlg}}_R^{\text{eˊt}})$ 称作环 $R$ 的平展意象. $\mathcal{O}:{\text{CAlg}}_R^{\text{eˊt}}\to \text{Set}$ 表示忘却函子, 该忘却函子关于平展拓扑是一个层, 从而是意象 ${\text{Shv}}_{\text{Set}}({\text{CAlg}}_R^{\text{eˊt}})$ 中的交换环对象, 由此得到一个赋环意象 $({\text{Shv}}_{\text{Set}}({\text{CAlg}}_R^{\text{eˊt}}),\mathcal{O})$, 将之记作 $\text{Speˊt }R$, 称为 $R$ 的平展谱.