平展景

在代数几何中, 平展景, 即概形范畴配备平展拓扑, 是 Zariski 拓扑的一种加细. 大致来说, Zariski 拓扑要求使用仿射开集作为概形的局部坐标, 而平展拓扑允许所有平展态射作为局部坐标. 这使得某些几何对象能够定义. 例如, 很多主丛无法在 Zariski 拓扑下局部平凡化, 但在平展拓扑下可以, 因此平展拓扑使得主丛的概念得以正确定义.

平展景上的层上同调称为平展上同调, 是代数几何中的重要工具.

概形范畴上的一些常用拓扑列举如下, 按由粗到细排列:

Zariski $<$ Nisnevich $<$ 平展 $<$ 光滑 $<$ 合割 $<$ fppf $<$ fpqc

1定义

记 $\mathsf{Sch}$ 为概形的范畴.

定义 1.1. 设 $X$ 为概形.

•	$X$ 上的大平展景 ${\mathsf{Sch}}_{/X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 定义为俯范畴 ${\mathsf{Sch}}_{/X}$, 其中开覆盖为 $(f_i:U_i\to U{)}_{i\in I}$, 其中诸 $f_i$ 为平展态射, 且 ${\coprod }_{i\in I}{U}_i\to U$ 为满射.

•	$X$ 上的小平展景 $X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 为大平展景 ${\mathsf{Sch}}_{/X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 中由平展态射 $U\to X$ 构成的满子范畴, 开覆盖的定义同上.

2相关概念

•	平展上同调
•	投射平展景

术语翻译

平展景 • 英文 étale site • 法文 site étale (m)

平展拓扑 • 英文 étale topology • 法文 topologie étale (f)