用户: Jin1/万有主丛与分类空间

1定义及例

定义 1.1 (主丛). 设 $G$ 是拓扑群. $G$-主丛 $P\to X$ 可以看作

•	空间 $P$ 上一个自由 $G$-作用的商;
•	$X$ 上 “仿射 $G$ 空间” 的丛; 即于局部 $U\subset X$ 上同构于 $U\times G$ (保持 $G$ 作用) 的丛.

$G$-主丛之间的态射是 $G$-等变的映射.

例 1.2.

•	流形上的 $n$ 阶标架丛 (每一点上的纤维为这一点切空间的所有基) 是 $G{L}_n(\mathbb{R})$-主丛, $n$ 阶单位正交标架丛是 $O_n(\mathbb{R})$-主丛, $n$ 阶带定向单位正交标架丛是 $S{O}_n(\mathbb{R})$-主丛. 这些结构在 $\mathbb{C},\mathbb{H}$ 上各有对应.
•	流形上的定向覆叠是 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-主丛.

命题 1.3. $X$ 上 $G$-主丛的等价类一一对应于 $H^1(X,G)$.

定义 1.4 (万有主丛, 分类空间). $G$ 的万有主丛 $EG\to BG$ 是由如下条件之一刻画的 $G$-主丛:

•	$EG$ 可缩. 因此, 有时我们称 $BG$ 为 “同伦商”$\ast /G$.
•	对任何空间 $X$, 映射$$[X,BG]\to \left\{X\text{ 上的 }G\text{-主丛}\right\},[f]\to [f^{\ast }EG]$$是双射. 其中 $[X,BG]$ 表示映射的同伦类, $f^{\ast }EG$ 是如下的拉回: 粗略地说, 任何一个 $G$-主丛都来自于 $EG\to BG$ 这个丛.

我们称 $BG$ 为 $G$-主丛的分类空间.

($BG$ 也可视为第一个 Eilenberg–Maclane 空间 $K(G,1)$. 一般地, 我们有 $[X,K(G,n)]\simeq H^n(X,G).$)

例 1.5.

•	$G=\mathbb{Z}$ 的万有主丛为 $\mathbb{R}\to S^1,$ 因为 $\mathbb{R}$ 上有自由的 $\mathbb{Z}$ 作用, 且 $\mathbb{R}$ 是可缩的.
•	$G=G{L}_n(\mathbb{R})$ 的万有主丛为重言丛$$E_n\to \mathrm{Gr}(n,\infty ),$$其中$$E_n=\{(\ell ,v)\in \mathrm{Gr}(n,\infty )\times {\mathbb{R}}^{\infty }:v\in \ell \}.$$(称其为重言丛是因为, Grassmann 流形每个点上的纤维是它本身代表的那个 $n$ 维空间.) 空间 $X$ 上的 $n$ 阶向量丛等同于 $X$ 到 Grassmann 流形 $\mathrm{Gr}(n,\infty )$ 的映射的同伦类.
•	$G=O_n(\mathbb{R})$ 的万有主丛为$$V_n\to \mathrm{Gr}(n,\infty ),$$其中 $V_n$ 的元素是 ${\mathbb{R}}^{\infty }$ 中单位正交的 $n$ 个向量. $V_n$ 可缩的事实可直接构造同伦证明. 注意到 $B{O}_n=BG{L}_n$, 这是由于 $O_n$ 到 $G{L}_n$ 的嵌入是同伦等价 (岩沢分解).
•	$G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的万有主丛为 $S^{\infty }\to \mathbb{R}{P}^{\infty }$. 因为 $S^{\infty }$ 是可缩的. 另一方面, $G\simeq O(1)$, 即 $1$ 维正交群. 所以本例是前一例的特例.
•	$G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的万有主丛为 $S^{\infty }\to L_n$. 其中 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 通过乘以 $n$ 次单位根作用在 $S^{\infty }$(视为 ${\mathbb{C}}^{\infty }$ 的单位球) 上, 商空间 $L_n$ 称为棱镜空间.
•	$G=S^1$ 的万有主丛为 $S^{\infty }\to \mathbb{C}{P}^{\infty }$, 同样地, $S^{\infty }$ 视为 ${\mathbb{C}}^{\infty }$ 的单位球.

2构造

$EG$ 和 $BG$ 可以来自于范畴的几何实现. 简单地说, 一个范畴的几何实现就是把范畴中每个形如$$x_0\stackrel{f_{01}}{\to }{x}_1\stackrel{f_{12}}{\to }{x}_2\to \cdots \stackrel{f_{n-1,n}}{\to }{x}_n$$的一串映射变成一个 $n$ 维单形 $[x_0,x_1,\cdots ,x_n]$, 并以恰当的方式粘合.

对于一个群 $G$, 将 $G$ 看成一个以 $G$ 的元素为对象的离散范畴 (其中仅有的态射是每个对象的恒等). $\mathbf{E}G$ 是在 $G$ 的每两个对象之间加上唯一的同构. 而 $\mathbf{B}G$ 是由一个对象构成的范畴, 这个对象的自同构群是 $G$. 一般地, 群 $G$ 在空间 $X$ 上的一个作用自然给出一个群胚, 称作同伦商 $X/G$, 其中的对象为 $X$ 的点, 而态射对应 $G$ 在点上的作用. 于是, 上面定义的 $\mathbf{E}G=G/G$, $\mathbf{B}G=\ast /G$. $G$ 的万有主丛即为常值映射 $G\to \ast$ 诱导的同伦商的映射 $G/G\to \ast /G$.

那么, 我们有两个函子 $G\to \mathbf{E}G\to \mathbf{B}G$, 其中第二个是将态射 $g\to h$ 对应到态射 $\ast \stackrel{g{h}^{-1}}{\to }\ast$.

$EG$ 的一种具体构造如下:$$EG=\bigcup _n\underset{n\text{ 个}}{\underbrace{G\ast \cdots \ast G}},$$其中 $X\ast Y$ 表示两个空间的连接, 粗略地说就是 $X$ 与 $Y$ 之间所有线段的并. $X\ast Y$ 也等于 $\Sigma (X\wedge Y)$, 即 smash 积的纬悬. 例如 $S^n\ast S^m=S^{n+m+1}$, 特别地, $S^0\ast \cdots \ast S^0=S^{n-1}$. 故 $E{S}^0=S^{\infty }$.

也有作者将其写成$$EG=\bigcup _{n}G\times {\Delta }^n\times G^n/\sim ,$$${\Delta }^n$ 为标准 $n$ 维单形, 等价关系 $\sim$ 粗略地说是把 $n$ 维单形粘到它的边界上的 $n-1$ 维单形.

上面的构造给出了 $EG$ 的一个 $\Delta$-复形结构, 其中每个 $n+1$ 元组 $[g_0,\cdots ,g_n]$ 都对应一个 $n$ 维单形.

3分类空间与群同调

$G$ 左乘作用在 $EG$ 上, 轨道空间 $BG=EG/G$ 继承自然的 $\Delta$-复形结构, 其中只有一个 $0$ 维单形. 此时记$$[g_0,g_0{g}_1,\cdots ,g_0{g}_1\cdots g_n]=[g_1|g_2|\cdots |g_n],$$那么单形 $[g_1|g_2|\cdots |g_n]$ 的边界应为 $[g_1|\cdots |g_i{g}_{i+1}|\cdots |g_n]$.

因此, $BG$ 的胞腔同调正是 bar 消解得到的群同调.