分类空间

拓扑群 $G$ 的分类空间 $\mathrm{B}G$ 是一个拓扑空间, 它能够分类所有 $G$-主丛. 也就是说, 对任何空间 $X$ 而言, 给出 $X$ 上的 $G$-主丛就相当于给出 $X$ 到 $\mathrm{B}G$ 的一个映射, 称为该主丛的分类映射. 并且, $X$ 上 $G$-主丛的同构类一一对应于 $X$ 到 $\mathrm{B}G$ 映射的同伦类.

在分类空间 $\mathrm{B}G$ 上, 有一个万有 $\mathbf{G}$-主丛 $\mathrm{E}G\to \mathrm{B}G$. 任何其它空间 $X$ 上的 $G$-主丛都是该万有主丛的拉回, 这正是通过该 $X$ 上主丛对应的 $X$ 到 $\mathrm{B}G$ 的映射来拉回. 另外, 也可以通过 $X$ 到 $\mathrm{B}G$ 的分类映射, 拉回 $\mathrm{B}G$ 的某个上同调类, 这一构造称为主丛的示性类.

对自然数 $n$, 由于秩 $n$ 的实或复向量丛能够分别等同于 $\mathrm{GL}(n;\mathbb{R})$-主丛或 $\mathrm{GL}(n;\mathbb{C})$-主丛, 故也将相应的分类空间 $\mathrm{BGL}(n;\mathbb{R})$ 和 $\mathrm{BGL}(n;\mathbb{C})$ 称为向量丛的分类空间 (命题 4.3).

$\mathrm{B}G$ 可以视为 $G$ 的解环, 也就是有同伦等价 $\Omega \mathrm{B}G\simeq G$, 其中 $\Omega$ 是环路函子.

1定义

定义 1.1 (分类空间). 设 $G$ 为拓扑群. 假设存在 $G$-主丛$$\pi :\mathrm{E}G⟶\mathrm{B}G,$$使得对任意仿紧空间 $X$, 映射$$\begin{array}{rl}[X,\mathrm{B}G]& ⟶\{\text{X 上 G-主丛的同构类}\},\\ f& ⟼f^{\ast }(\mathrm{E}G)\end{array}$$是集合同构, 其中 $[X,\mathrm{B}G]$ 是 $X$ 到 $\mathrm{B}G$ 的映射同伦类的集合, 就称 $\mathrm{B}G$ 为 $G$-主丛的分类空间, 称 $\pi :\mathrm{E}G\to \mathrm{B}G$ 为万有 $\mathbf{G}$-主丛.

注 1.2. 由米田引理, 拓扑群 $G$ 的所有分类空间均同伦等价.

2例子

•	全空间可缩的 $G$-主丛一定是万有的 (定理 4.1). 因此, 有以下几个例子: ∘ 若 $G$ 可缩, 则 $\mathrm{B}G$ 也可缩. ∘ 万有覆叠 $\mathbb{R}\to S^1$ 说明 $\mathrm{B}\mathbb{Z}\simeq S^1$. ∘ 因为 $S^{\infty }$ 可缩, 所以万有覆叠 $S^{\infty }\to \mathbb{R}{\mathrm{P}}^{\infty }$ 说明 $\mathrm{B}{\mathbb{Z}}_2\simeq \mathbb{R}{\mathrm{P}}^{\infty }$.
•	正交群 $\mathrm{O}(n)$ 的分类空间是无穷维 Grassmann 流形 $G_n({\mathbb{R}}^{\infty })$. 酉群 $\mathrm{U}(n)$ 的分类空间是无穷维 Grassmann 流形 $G_n({\mathbb{C}}^{\infty })$.
•	有分类空间的同伦等价$$\begin{array}{rl}\mathrm{BGL}(n,\mathbb{R})& \cong \mathrm{BO}(n),\\ \mathrm{BGL}(n,\mathbb{C})& \cong \mathrm{BU}(n).\end{array}$$因此这两个分类空间同时也分别分类了实或复的 $n$ 维向量丛.

3构造

定理 3.1. 任意拓扑群 $G$ 都具有分类空间 $\mathrm{B}G$, 其可构造如下.

对任意两个拓扑空间 $X,Y$, 定义其连接 $X\star Y$ 为 $(X\times Y\times I)/\sim$, 其中 $(x,y,0)\sim (x,y^{\prime },0),(x,y,1)\sim (x^{\prime },y,1)$. 即 $X\star Y$ 是 $X$ 中每个点向 $Y$ 中每个点连一条线段得到的拓扑空间.

定义$$\begin{array}{rl}\mathrm{E}G& =G\star G\star \cdots =\underset{n\to \infty }{\mathrm{colim}}\underset{\text{n 个}}{\underbrace{G\star G\star \cdots \star G}},\\ \mathrm{B}G& =EG/G.\end{array}$$其中 $G$ 在 $\mathrm{E}G$ 上作用为在每个分量上左乘. 则 $\mathrm{E}G\to \mathrm{B}G$ 是万有 $G$-主丛因此 $\mathrm{B}G$ 即为 $G$ 的分类空间.

注 3.2. 这个构造也可以这样理解: 设 $\mathbf{B}G$ 为 $G$ 的解环拓扑群胚, 即 $\mathrm{Obj}\mathbf{B}G=\{\ast \},{\mathrm{Mor}}_{\mathbf{B}G}(\ast ,\ast )=G$, $\mathrm{N}\mathbf{B}G$ 是它的脉.

因此 $\mathrm{N}\mathbf{B}G$ 是单纯拓扑空间, $\mathrm{N}\mathbf{B}{G}_n=G^n$. 则上述构造就是在说 $\mathrm{B}G=|\mathrm{N}\mathbf{B}G|$, 也就是取 $\mathrm{N}\mathbf{B}G$ 的几何实现.

4性质

命题 4.1. $G$-主丛万有当且仅当其全空间可缩.

命题 4.2. 分类空间具有函子性. 这从上面的构造就能看出.

命题 4.3. 设 $X,F$ 是拓扑空间, $G$ 是 $F$ 的自同胚群 $\mathrm{Aut}(F)$ 的子拓扑群. 则 $X$ 上所有纤维为 $F$ 且转移映射在 $G$ 中的纤维丛的等价类构成的集合与 $X$ 上所有 $G$ 主丛的等价类构成的集合间具有自然的双射.

因此前者也被 $\mathrm{B}G$ 分类.

例 4.4. 对于 $F={\mathbb{K}}^n,G=\mathrm{GL}(n,\mathbb{K})$ 的情形, 上述命题说明 $n$ 维 $\mathbb{K}$-向量丛被 $\mathrm{BGL}(n,\mathbb{K})$ 分类.

特别地, $n$ 维实向量丛被 $\mathrm{BGL}(n,\mathbb{R})\cong \mathrm{BO}(n)$ 分类, $n$ 维复向量丛被 $\mathrm{BGL}(n,\mathbb{C})\cong \mathrm{BU}(n)$ 分类.

5相关概念

•

分类叠

术语翻译

分类空间 • 英文 classifying space • 德文 klassifizierender Raum (m) • 法文 espace classifiant (m) • 拉丁文 spatium classificans (n) • 古希腊文 ταξινόμων χῶρος (m)