用户: Kokic/宇宙際 Teichmuller 理論入門/分圆物

分圆物

首先, 在 §1 到 §3 中, 我将解释在跨宇宙 Teichmüller 理论中, 远阿贝尔几何学是如何被使用的. 简单地说, 结论是, 在跨宇宙 Teichmüller 理论中, 远阿贝尔几何学被用来实现 “通过永恒对象的结合, 将相应对象之间的关联” 或更粗略地说, “通过永恒对象的结合来实现对象的运输”. 在本节中, 我将解释在执行对象运输时起重要作用的分圆物 (cyclotome) 这一概念.

分圆物是什么呢? 它指的是 Tate torsion “$\hat{\mathbb{Z}}(1)$”. 广义地说, $\hat{\mathbb{Z}}(1)$ 的商或者可除的变种 “$(\mathbb{Q}/\hat{\mathbb{Z}})(1)$” 也被称为分圆物. 在远阿贝尔几何学中, 对这个分圆物的 “管理” 非常重要. 让我们进一步解释这一点.

即使简单地说 “$\hat{\mathbb{Z}}(1)$”, 算术几何学中也会出现各种各样的 “$\hat{\mathbb{Z}}(1)$”. 例如, 以下是 “$\hat{\mathbb{Z}}(1)$” 的示例:

(a)	对于 (特征为 $0$ 的) 代数闭域 $\Omega$, $\Lambda (\Omega )\stackrel{\text{def}}{=}\underleftarrow{\lim }{}_n{\mathbf{\mu }}_n(\Omega )$ — 其中, 对于 $n\ge 1$, ${\mathbf{\mu }}_n(\Omega )\subseteq \Omega$ 表示 $\Omega$ 中 $1$ 的 $n$ 次根所组成的群.
(b)	对于 (特征为 $0$ 的) 代数闭域 $\Omega$ 上的投影且光滑的代数曲线 $C$, $\Lambda (C)\stackrel{\text{def}}{=}{\mathrm{Hom}}_{\hat{\mathbb{Z}}}(H_{\text{eˊt}}^2(C,\hat{\mathbb{Z}}),\hat{\mathbb{Z}})$ — 其中, 对于 $i\ge 0$, $H_{\text{eˊt}}^i$ 表示 $i$ 阶平展上同调群.
(c)	对于 (特征为 $0$ 的) 代数闭域 $\Omega$ 上的光滑代数曲线 $C$ 及其闭点 $c\in C$ 可以引入定义 $I_c\stackrel{\text{def}}{=}{\pi }_1^{\text{eˊt}}(\text{Spec}(({\mathcal{O}}_{C,c}{)}^{\wedge })\backslash \{c\})$ — 其中, ${\pi }_1^{\text{eˊt}}$ 表示平展基本群. (也就是说, 除去同构, 它是 $\Omega$ 系数一元幂级数环的分式域 “$\Omega ((t))$” 的绝对 Galois 群. )

这些 (由完全不同的定义得出的) 加群实际上经常用相同的符号 “$\hat{\mathbb{Z}}(1)$” 表示. 在传统的算术几何学中, 为什么这种记法被允许, 或者为什么采用这种记法不会产生本质上的矛盾呢? 当然, 这是因为上述加群之间存在自然的同一性 / 典范同构. 例如, 让我们回顾一下对于 (a) 和 (b) 中分圆物的传统自然同一性 / 典范同构的构造. 通过考虑线丛的一次 Chern 类, 态射 $\mathrm{Pic}C\to H_{\text{eˊt}}^2(C,\Lambda (\Omega ))$ 定义了自然同构 $(\mathrm{Pic}C/{\mathrm{Pic}}^{0}C){\otimes }_{\mathbb{Z}}\hat{\mathbb{Z}}\stackrel{\sim }{\to }{\text{Hom}}_{\hat{\mathbb{Z}}}(\Lambda (C),\Lambda (\Omega ))$. 因此, 从阶数为 $1$ 的自由 $\mathbb{Z}$ 加群 $\mathrm{Pic}C/{\mathrm{Pic}}^{0}C$ 的 “由次数为 $1$ 的线丛确定的元素” 这一典范自明化出发, 确定了自然同视 / 典范同构 $\Lambda (C)\stackrel{\sim }{\to }\Lambda (\Omega )$.

关于 “分圆物的自然同视”, 在我们的讨论中具有重要意义的一个事实是, 分圆物之间的这种自然同视 / 典范同构源自考察下设置的 “环结构”. 也就是说,

传统上被认为理所当然的分圆物之间的同视是在代表 “环论框架” 的概形论下进行的行为

这样的意思.