自然同构

在范畴论中, 自然同构 (或称自然等价) 是表达 “两个函子相等” 这一想法的正确概念. 例如, 对向量空间 $V,W$ 而言, 有同构$$V\oplus W\simeq W\oplus V,$$我们常说这是一个 “自然的同构”. 这里, 等式两边可以看成两个 $\mathsf{Vect}\times \mathsf{Vect}\to \mathsf{Vect}$ 的函子, 其中 $\mathsf{Vect}$ 是向量空间的范畴, 它们分别把对象 $(V,W)$ 映到 $V\oplus W$ 与 $W\oplus V$. 这两个函子并不严格地相等, 因为 $V\oplus W$ 与 $W\oplus V$ 并不是同一个向量空间, 只是同构的向量空间. 但在范畴论的意义下, 这两个函子本质上是相同的. 此时, 我们说它们是自然同构的.

自然同构是函子范畴中的同构, 也是范畴的范畴中的 $2$-同构.

1定义

定义 1.1 (自然同构). 设 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$ 为范畴, $F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为函子. 则从 $F$ 到 $G$ 的自然同构是指一个自然变换 $\alpha :F\Rightarrow G$, 使得

•	对任意 $x\in \mathcal{C}$, 态射 ${\alpha }_x:F(x)\to G(x)$ 是 $\mathcal{D}$ 中的同构.

此时, 也称函子 $F$、$G$ 自然同构.

2例子

•	任何函子都自然同构于自身.

3相关概念

术语翻译

自然同构 (名词) • 英文 natural isomorphism • 德文 natürlicher Isomorphismus (m) • 法文 isomorphisme naturel (m)

自然同构 (形容词) • 英文 naturally isomorphic • 德文 natürlich isomorph • 法文 naturellement isomorphe

自然等价 (名词) • 英文 natural equivalence • 德文 natürliche Äquivalenz (f) • 法文 équivalence naturelle (f)

自然等价 (形容词) • 英文 naturally equivalent • 德文 natürlich äquivalent • 法文 naturellement équivalent