用户: Master/量子场论/经典场论

经典场论有两个重要的结论, 其一为给定作用量, 通过最小作用量原理得到运动方程, 其二为 Noether 定理, 由作用量的对称性给出相应的守恒流, 即通俗意义下的 “对称性蕴含守恒律”.

1运动方程

定义 1.1. 设全空间 (即物理学意义下的时空) 为实 $n$ 维空间 ${\mathbb{R}}^n$, $\phi$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上在某个 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 值的函数, $\mathcal{L}$ 为 $n+1$ 元函数, 称$$\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}(\phi )=\mathcal{L}(\phi (x),{\partial }_{\mu }\phi (x))$$为 $\phi$ 对应的作用量密度函数 (这里我们混用了记号), 它的积分$$L=L(\phi )=\int \mathcal{L}(x)d^{n}x$$称为作用量. 在物理学中, 这里面的 $\phi$ 称为场.

注 1.2. 对多个函数也有类似定义, 相应的推广是平凡的, 因此为简便之故我们只考虑一个场的情况.

当我们把全空间的一维视为时间时, 函数 $\phi$ 描述了场 (此时为 $\phi$ 在余一维空间上的限制) 的演化. 物理世界中要求场的演化满足作用量变分为 $0$ 的条件, 即所谓最小作用量原理.

定义 1.3. 给定函数 $\mathcal{L}$, 函数 $\phi$ 称为满足运动方程, 如果它的变分是 $0$: 对任意 “比较好的函数” (如光滑紧支函数) $\psi$ $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{L(\phi +h\psi )-L(\phi )}{h}=0$$

下面的定理说明了可以通过作用量给出运动方程的具体形式.

定理 1.4 (运动方程). $\phi$ 满足运动方程当且仅当$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi }-{\partial }_{\mu }\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\phi )}=0$$

2Noether 定理

Noether 定理为一族连续的对称性构建了守恒流.

定义 2.1. 给定作用量密度函数 $\mathcal{L}$, 它的一族连续对称性为如下数据:

•	光滑群同态 $f:\mathbb{R}\to \mathrm{Aut}({\mathbb{R}}^n)$,
•	光滑群同态 $\mathcal{G}:\mathbb{R}\to \mathrm{Aut}(C^{\infty }({\mathbb{R}}^n))$

(注: 这里 $\mathrm{Aut}$ 表示它是线性且保持一切微分结构, 记 $f(t)=f_t$, $\mathcal{G}(t)={\mathcal{G}}_t$)

满足此变换逐点保持作用量密度: 对任意点 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 等式$$\mathcal{L}(\phi )(x)d^{n}x=\mathcal{L}({\mathcal{G}}_t(\phi ))(f_t(x))d^{n}f(x)$$即$$\mathcal{L}(\phi )(x)=\mathcal{L}({\mathcal{G}}_t(\phi ))(f_t(x))|\mathrm{Jac}(f_t)|,$$成立.

定义 2.2. 在上述记号下, 记$${\mathcal{F}}_t(\phi )={\mathcal{G}}_t(\phi )\circ f_t,$$$f_t$, ${\mathcal{F}}_t$ 相应的微分为$$f=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}(f_t-f)\in \mathrm{End}({\mathbb{R}}^n),$$$$\mathcal{F}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}({\mathcal{F}}_t-\mathcal{F})\in \mathrm{End}(C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)).$$

定理 2.3. 对给定的函数 $\phi$, 存在 (本质上) 唯一的 ${\mathbb{R}}^n$ 值函数 $j^{\mu }=j^{\mu }(\phi )$ 满足对任意 “比较好的函数” $\omega$ $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}(L({\phi }_t^{\prime })-L(\phi ))=-\int j^{\mu }(x){\partial }_{\mu }\omega d^{n}x$$其中我们采用 Einstein 求和约定, 而 ${\phi }_t^{\prime }$ 满足 (即偏离此对称性的一个小扰动) $${\phi }_t^{\prime }(x+t\omega (x)f(x))=\phi (x)+t\omega (x)\mathcal{F}(\phi )$$$j^{\mu }$ 的具体形式可以求出: $$j^{\mu }=\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\phi )}{\partial }_{\nu }\phi -{\delta }_{\nu }^{\mu }\mathcal{L}\right)f^{\nu }-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\phi )}\mathcal{F}$$且当 $\phi$ 满足运动方程时, ${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$

注 2.4. 同样地我们可以谈论许多族对称性, 这仍然只是个平凡的推广: 相应的守恒流就是把每一族对应的流加起来.

注 2.5. 由于对满足运动方程的 $\phi$, ${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$, 有$$Q=\int j^0(x)d^{n-1}x$$对 $0$ 对应的那个分量 (在物理上即是时间) 是常量, 或者说守恒量. $Q$ 即称为相应的守恒荷. 这也说明了 “守恒流” 之名是合理的.

下面是一些基本的对称性的例子:

例 2.6 (平移对称性). 如 $\phi$ 满足平移对称性: $$\begin{array}{rl}{\mathcal{G}}_t(\phi )(x)& =\phi (x-tv),\\ f_t(x)& =x+tv,\end{array}$$

则微分 $f(x)=-v$, $\mathcal{F}(\phi )=\phi$, 由此相应的守恒流为$$j^{\mu }=\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\phi )}{\partial }_{\nu }\phi -{\delta }_{\nu }^{\mu }\mathcal{L}\right)v^{\nu }=:T_{\nu }^{\mu }{v}^{\nu }$$其中 $T_{\nu }^{\mu }$ 即典范的能动张量.

我们接下来会看到的 Klein–Gordon 场、Dirac 场等即满足平移对称性.

例 2.7 (Lorentz 对称性). 给定全空间的一个标准伪度量 (正、负惯性指数为 $p$, $q$) 以及 Lorentz 群 $\mathrm{O}(p,q)$ 的 Lie 代数的表示 $D:\mathfrak{o}(p,q)\to {\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_m(K)$ ($K$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$, 取决于场取值在哪个域上) 设作用量涉及到 $m$ 个场 $\phi =({\phi }_i)$, 且有对称性 (对某个 $\Lambda \in \mathfrak{o}(p,q)$): $$\begin{array}{rl}{\mathcal{G}}_t(\phi )(x)& =e^{tD(\Lambda )}\phi (e^{-t\Lambda }x)\\ f_t(x)& =e^{t\Lambda }x\end{array}$$则 $f(x)=\Lambda x$, $\mathcal{F}(\phi )=D(\Lambda )\phi$, 即有相应的守恒流为$$j^{\mu }=T_{\nu }^{\mu }{\Lambda }_{\alpha }^{\nu }{x}^{\alpha }-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\phi )}D(\Lambda )\phi$$上述等式的意义为先对每个分量做, 之后加起来.

我们接下来会看到的 Klein–Gordon 场即满足 $D$ 为平凡表示时的 Lorentz 对称性, Dirac 场满足 $D$ 为旋量表示时的 Lorentz 对称性.

注 2.8. 这里之所以说相应的 Lie 代数的表示而非群表示, 是因为 $\mathrm{O}(p,q)$ 基本群非平凡. 不过有时为了说起来简便也会说 Lorentz 群的表示, 说的实际上是它的万有覆叠的表示.

例 2.9 (伸缩对称性). 设作用量有对称性 ($\Delta$ 为常数): $$\begin{array}{rl}{\mathcal{G}}_t(\phi )(x)& =e^{-\Delta t}\phi (e^{-t}x)\\ f_t(x)& =e^{t}x,\end{array}$$则 $f(x)=x$, $\mathcal{F}(\phi )=-\Delta \phi$, 即有相应的守恒流为$$j^{\mu }=T_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }+\Delta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\phi )}\phi .$$

例如, $n$ 维无质量 Klein–Gordon 场$$\mathcal{L}={\partial }_{\mu }\phi {\partial }^{\mu }\phi$$满足 $\Delta =\frac{1}{2}n-1$ 的伸缩对称性.