用户: Master/量子场论/Fock 空间

我们在接下来的两节中描述自由场论.

一个场大致对应着一种粒子, 一个场论描述了它对应的粒子的相互作用方式, 如果某个场论只涉及一种粒子 (以及它的反粒子), 且这种粒子之间没有任何相互作用, 就称其为自由场论. 由此, 多个粒子构成的态完全由其含有的每个粒子的状态所描述, 由此我们只需研究清楚单粒子态, 便给出了对自由场论的描述.

从数学的观点来说, 我们将态视为 Hilbert 空间中的向量, 单粒子态作为基生成一个 Hilbert 空间, 而所有可能的态即是这个 Hilbert 空间的对称代数或外代数 (取决于它是 Bose 子还是 Fermi 子), 这即是 Fock 空间.

量子场论中重要的约束条件是 Lorentz 协变性, 这是说 Fock 空间可以以某种 “自然” 的方式视为时空对称群, 即 Poincaré 群的表示.

在这一节中我们仍然对一般的空间维数讨论: 全空间为 ${\mathbb{R}}^{n+1}$, 第零个分量表示时间, 剩下的分量表示空间, 并带有标准度量 $(+,-,\cdots ,-)$. 即 ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)$ 为 Lorentz 群中原点所在的连通分支.

1单粒子态

我们首先描述单粒子态, 相应的 Hilbert 空间定义如下:

对有质量粒子, 设其质量为 $m>0$ (所谓质量其实就是个参数)

定义 1.1 (单粒子态空间, 有质量版本). 对 $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ 的有限维表示 $V$ (更准确地说是它的万有覆叠的表示), 单粒子态空间为$$\mathcal{H}={\mathrm{Ind}}_{\mathrm{S}\mathrm{O}(n)}^{{\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)}V.$$($\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1)$ 作用于 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的空间分量上, 而给出相应的嵌入) 取 $V$ 的一组基, 记为 $\{e_{\sigma }\}$, 则有$$\mathcal{H}=\underset{g\in {\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)/\mathrm{S}\mathrm{O}(n),\sigma }{⨁}\mathbb{C}g{e}_{\sigma }=\underset{\mathbf{p}\in {\mathbb{R}}^n,\sigma }{⨁}\mathbb{C}|\mathbf{p},\sigma ⟩.$$其中 $|\mathbf{p},\sigma ⟩=g{e}_{\sigma }$, 如果 $p=(p^0,\mathbf{p})=g(m,0,\cdots ,0)$. 它带有

•	Hilbert 空间结构: $⟨\mathbf{p},\sigma |{\mathbf{p}}^{\prime },{\sigma }^{\prime }⟩=(2\pi {)}^{3}2p^0\delta (\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime }){\delta }_{\sigma {\sigma }^{\prime }}$.
•	Poincaré 群 $\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{O}(n,1)\simeq {\mathbb{R}}^{n+1}⋊{\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)$ 的作用: ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)$ 部分为给出的诱导表示, 时空平移 $x\in {\mathbb{R}}^{n+1}$ 在空间 $|\mathbf{p},\sigma ⟩$ 的作用为乘 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}p\cdot x}$.

则 Poincaré 群的作用是等距同构.

定义 1.2. $n=3$ 时, $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$ 的有限维不可约表示由唯一的参数 $S\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}$ 决定, 称为自旋, 相应的粒子则称为自旋 $S$ 的粒子.

注 1.3. 严格的数学表述大概应该把上述 $\mathcal{H}$ 的定义写成直积分的形式. 不过让我们不必为严格的数学表述而自寻烦恼. 接下来我也将自由地操作 $|\mathbf{p},\sigma ⟩$.

注 1.4. 在上述讨论中我们忽略了时空的离散对称性: 空间和时间的反演在态空间上的作用. 这个问题我们之后再讨论.

定义 1.5 (单粒子态空间, 无质量版本). 对 $\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1)$ 的表示 $V$, 单粒子态空间为$$\mathcal{H}={\mathrm{Ind}}_{\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1)}^{{\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)}V.$$其中 $\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1)$ 为在 ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)$ 作用下 $(1,0,\cdots ,0,1)$ 的稳定子群, 它同构于 $n-1$ 维 Euclid 空间的等距同构群, 且它在 $V$ 上的作用穿过 $\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1)$. 类似地, 取 $V$ 的一组基, 记为 $\{e_{\sigma }\}$, 则有$$\mathcal{H}=\underset{g\in {\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)/\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1),\sigma }{⨁}\mathbb{C}g{e}_{\sigma }=\underset{\mathbf{p}\in {\mathbb{R}}^n\backslash \{0\},\sigma }{⨁}\mathbb{C}|\mathbf{p},\sigma ⟩.$$其中 $|\mathbf{p},\sigma ⟩=g{e}_{\sigma }$, 如果 $p=(p^0,\mathbf{p})=g(1,0,\cdots ,0,1)$. 它带有

•	Hilbert 空间结构: $⟨\mathbf{p},\sigma |{\mathbf{p}}^{\prime },{\sigma }^{\prime }⟩=(2\pi {)}^{3}2p^0\delta (\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime }){\delta }_{\sigma {\sigma }^{\prime }}$.
•	Poincaré 群 $\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{O}(n,1)\simeq {\mathbb{R}}^{n+1}⋊{\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)$ 的作用: ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)$ 部分为给出的诱导表示, 时空平移 $x\in {\mathbb{R}}^{n+1}$ 在空间 $|\mathbf{p},\sigma ⟩$ 的作用为乘 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}p\cdot x}$.

则 Poincaré 群的作用是等距同构.

定义 1.6. $n=2$ 时, $\mathrm{S}\mathrm{O}(2)$ 的有限维不可约表示由唯一的参数 $s\in \mathbb{R}$ 决定, 称为螺旋度 (很多不重视数学结构的物理书也把它叫自旋, 但事实上完全不是一回事), 相应的粒子称为螺旋度为 $s$ 的粒子.

接下来我们来解释上述定义的物理含义. 我们假设一个粒子的态由两个量描述: 它的动量 (描述它在朝什么方向运动) 以及某个内部态 (没有经典对应, 可以想象它上面带了个 “指针”) 描述, 即上述的 $|\mathbf{p},\sigma ⟩$.

我们接下来分析时空对称群的作用. 时空的对称群大致描述了参考系的变换, 直观地, 它会改变动量和自旋态, 并给出态空间上的等距同构.

对时空平移 $x$, 直观上来说由于没有 “转” 或 “加速”, 动量和自旋态不会变成其它值, 而只会乘一个系数. 在量子力学中我们知道它在动量 $p$ 的态上乘的系数是 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}p\cdot x}$, 那么现在我们也预设这个条件.

对于 Lorentz 变换, 直观上来说变换 $\Lambda$ 会把动量 $p$ 的态变成动量 $\Lambda p$ 的态. 首先考虑有质量粒子, 动量 $p$ 落在双曲面 $p^0=+\sqrt{m^2+|\mathbf{p}{|}^2}$ 上, 且 ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)$ 在此双曲面上的作用传递, 因此任意动量的态均由动量为 $(m,0)$ 的态旋转而得. 又注意到 $(m,0)$ 的稳定化子是 $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)\in {\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)$, 这实际上便给出了上述诱导表示的结构: 所有动量 $(m,0)$ 的态构成 $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ 的表示, 所有可能的单粒子态则是它的诱导表示.

对无质量粒子也有类似推理, 只是此时动量落在去顶的锥面 $\{p^0=|\mathbf{p}|\}\backslash \{0\}$ 上, 此时 ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)$ 的作用仍然传递, 只是其中一点 $(1,0,\cdots ,0,1)$ 的稳定化子是 $\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1)$, 因此给出的诱导表示是从 $\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1)$ 到 ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(n,1)$. 此外可以证明 $\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1)$ 的有限维酉表示必然穿过 $\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1)$, 由此我们可以只考虑 $\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1)$ 的表示.

例 1.7. 接下来我们将看到, 电子被描述为自旋 $\frac{1}{2}$ 的有质量粒子, 光子被描述为螺旋度为 $1$ 的无质量粒子.

2Fock 空间

一个态可能对应很多个粒子, 因此整个态空间是要包含任意多粒子的态. 我们做如下定义.

定义 2.1 (Fock 空间). 一种粒子的 Fock 空间是单粒子态空间的如下两种代数的二择一: 对称代数$$\mathcal{H}={\mathrm{Sym}}^{\bullet }(\mathcal{H})$$外代数$$\mathcal{H}={\wedge }^{\bullet }(\mathcal{H})$$并带有自然的 Hilbert 空间结构. 当粒子是 Bose 子 (比如光子) 时我们选取前者描述之, 当粒子是 Fermi 子 (比如电子) 时我们选取后者描述之.

在 Fock 空间上我们定义如下两个自同态.

定义 2.2 (产生与湮灭). 对态 $|p,\sigma ⟩$, 定义产生算符 $a_{\mathbf{p},\sigma }^{†}$ 的作用为$$a_{\mathbf{p},\sigma }^{†}|p_1,{\sigma }_1,\cdots ,p_n,{\sigma }_n⟩=\frac{1}{\sqrt{2p^0}}|p,\sigma ,p_1,{\sigma }_1,\cdots ,p_n,{\sigma }_n⟩$$湮灭算符 $a_{\mathbf{p},\sigma }$ 是它的伴随. 直观地说, 产生算符产生了一个相应态的粒子, 湮灭算符消灭了一个相应态的粒子.

定义 2.3 (多种粒子). 多种不同粒子的 Fock 空间是相应每一种粒子的 Fock 空间的张量积, 类似地也可以定义产生和湮灭算符. 我们要求粒子和反粒子的 Fock 空间同构, 这样一对粒子和反粒子的 Fock 空间就是两个相同的 Fock 空间的张量积.

注 2.4. 物理书以及我会使用 “一种粒子和它的反粒子相同或不同” 的说法, 这事实上是说相应的态空间在这里是用一种粒子的 Fock 空间本身来描述, 还是用这个空间和它自己的张量积来描述. 例如光子的反粒子是它本身, 而电子则不是.

3离散对称性

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