用户: OperatorP/劳心基数与一个否认终极L的条件

https://arxiv.org/abs/2411.11568v1

卷哥真是卷哥啊, 我愿尊你为维也纳全能王! (我知道那是胡安但 Juan 是否有其天意)

翻译成劳心而非正合是因为这个结论太让人塞心了, 我只恨 exacting 没有这么一层意思...

定义 0.1. 劳心 (exacting) 基数 $\lambda$ 为符合下述条件的序数: 任给其上下两序数 $\alpha <\lambda <\xi$, 皆有包含 $V_{\lambda }\cup \{\lambda \}$ 的 $V_{\xi }$ 的初等子结构 $X$ 和一个非平凡初等嵌入 $j:X\to V_{\xi }$, 其关键点 $\kappa$ 不小于 $\alpha$ 且 $\lambda =j^{\omega }(\kappa )$ 让 $j(\lambda )=\lambda$.

原定义说 $j\upharpoonright \alpha =id$、$j\upharpoonright \lambda \ne id$ 和 $j(\lambda )=\lambda$ 和这个是一样的, 因为如果 $\lambda$ 不是 $j^{\omega }(\kappa )$ 的话把秩到秩版本的 Kunen 不一致性的证明应用到后者上就好了. 反正这说明 $\lambda$ 是可数共尾的奇异基数. 另一方面, $\lambda$ 一定是 $1$ 正确的, 因为每句话的验证都落回某个 $j^n(\kappa )$, 但 $\kappa$ 肯定是 $1$ 正确的.

定理 0.2. 若有劳心基数 $\lambda$, $HO{D}_{V_{\lambda }}$ 总将其指认为正则基数, 因此与 $V$ 不等. 特别的, $V\ne HOD$.

证明. 若不然, 取 $\theta =\mathrm{cf}\lambda <\lambda$ 到 $\lambda$ 的共尾映射 $c^{\prime }\in HO{D}_{V_{\lambda }}$, 一定有 $x\in V_{\lambda }$ 使得 $\{c^{\prime }\}$ 的传递闭包仅用参数 $x$ 便序数可定义, 换言之 $HO{D}_{\{x\}}$ 也认为 $\theta$ 是 $\lambda$ 的共尾数. 由于 $\{x\}$ 是单点集, $HO{D}_{\{x\}}$ 上有一个仅用参数 $x$ 的 ${\Sigma }_2$ 全局良序, 假设 $c$ 是此良序下极小的 $\theta \to \lambda$ 的共尾映射. 取一个 $\alpha <\lambda$ 使得 $\theta$ 和 $\mathrm{rank}x$ 都小于 $\alpha$, 然后取 $\xi >\lambda$ 为一个 $3$ 正确基数. 由定义, 有非平凡初等嵌入 $j:X\to V_{\xi }$ 使得 $V_{\lambda }\cup \{\lambda \}\subseteq X$, $\kappa =\mathrm{crit}j$ 让 $\mathrm{rank}x<\kappa$, $\theta <\kappa$, $\lambda =j^{\omega }(\kappa )$.

由于 $c$ 由参数 $x,\theta ,\lambda$ 和某个 ${\Pi }_3$ 句子定义 (注意良序是 ${\Sigma }_2$ 的), $\xi$ 的 $3$ 正确性说明 $V_{\xi }$ 也这样想 $c$, $j$ 的初等性说明 $c\in X$ 而且 $X$ 也这么想 $c$, $c$ 可定义说明 $j(c)=c$, $\theta <\alpha$ 说明对每个 $\zeta <\theta$ 都有 $j(c(\zeta ))=c(\zeta )$ 因为此物被 $x,\theta ,\lambda ,\zeta$ 共同定义, 但按道理小于 $\lambda$ 且不被 $j$ 移动的只有 $\kappa$ 里的元素, 矛盾.

$\square$

定义 0.3. 不可数正则基数 $\gamma$ 在 $HOD$ 中是 $\omega -$ 强可测基数, 若有 $\kappa <\gamma$ 使 $HOD$ 认为 $2^{\kappa }<\gamma$, 且不可在 $HOD$ 中将 $S_{\omega }^{\gamma }=\{\beta \in \gamma |\mathrm{cf}\beta =\omega \}$ 拆为 $\kappa$ 份. 这将推出 $HOD$ 认为 $\gamma$ 是可测基数.

定义 0.4. $HOD$ 猜想是说: 有真类多的不可数正则基数在 $HOD$ 中并非 $\omega -$ 强可测. 弱 HOD 猜想是说: 理论 “有一个巨大基数居于延展基数 $\kappa$ 之上” 证明 HOD 猜想. 终极 L 猜想是说: 如果有巨大基数居于延展基数 $\kappa$ 之上, 则有见证 $\kappa$ 超紧性的弱延展子模型 $N\subseteq HOD$ 使得 $N$ 是 ${\Sigma }_2$ 可定义的 $V=UltimateL$ 的模型.

终极 L 猜想推出弱 HOD 猜想.

定理 0.5. 若可以有劳心基数大于某延展基数, 终极 L 猜想将是错的.

证明. Woodin 的 $HOD$ 二歧定理说, 或者延展基数之上的奇异基数均被 $HOD$ 正确识别且正确计算后继, 或者延展基数之上的正则基数在 $HOD$ 中均为 $\omega -$ 强可测基数. 劳心基数见证我们不在前一个状态中, 但 $\lambda$ 是劳心基数显然说明 $\lambda$ 是 $I_3$ 基数的极限, 所以 $\lambda$ 是巨大基数的极限, 所以已有巨大基数居于延展基数之上, 所以弱 HOD 猜想是错的, 所以终极 L 猜想是错的.

$\square$

注意劳心基数是 ${\Pi }_2$ 性质, 最小的劳心基数之下不会有 $3$ 正确基数; 特别的, 它下面不会有延展基数.

1劳心基数的大基数强度

此前已知, 存在劳心基数是一个比 $I_3$(有一个 $V_{\lambda }\to V_{\lambda }$ 的非平凡初等嵌入, 其关键点亦称 $I_3$ 基数) 更强的假设 (其下 $I_3$ 基数无界多, 因为 $\alpha$ 可任选), 接下来自然的要求是确定它的大基数强度.

定义 1.1. 对极限基数 $\lambda$ 和非零自然数 $n$, 一个 $\lambda$ 处的 $n-$ 劳心嵌入 $j:X\to V_{\zeta }$ 要求左边的 $X\supseteq V_{\lambda }\cup \{\lambda \}$ 是某个 $n$ 正确基数 $\eta >\lambda$ 给出的 $V_{\eta }$ 的初等子模型, 右边的 $\zeta$ 是个 $n+1$ 正确基数, $j(\lambda )=\lambda$ 且 $\mathrm{crit}j=\kappa <\lambda$.

定理 1.2. $\lambda$ 劳心, 当且仅当 $\lambda$ 处有一 $1-$ 劳心嵌入, 当且仅当对每个 $n$ 在 $\lambda$ 处都有一 $n-$ 劳心嵌入.

证明. 我们甚至可以证明一个加强的版本. 事实上, 对每个 $n,\lambda$ 和 $x$, TFAE:

1.	一个 $\lambda$ 处 $n-$ 劳心嵌入 $j:X\to V_{\zeta }$ 有 $x\in X$ 且 $j(x)=x$; (这一条是要 $n-$ 劳心嵌入存在的时候多加一个 $x$)
2.	任给 $\lambda$ 上下两序数 $\alpha <\lambda <\zeta$, 皆有包含 $V_{\lambda }\cup \{\lambda ,x\}$ 的 $V_{\zeta }$ 的初等子结构 $X$ 和一个非平凡初等嵌入 $j:X\to V_{\zeta }$, $j\upharpoonright \alpha =id$、$j\upharpoonright \lambda \ne id$、$j(\lambda )=\lambda$ 且 $j(x)=x$. (这一条就是劳心基数定义多加一个 $x$)

第二条推第一条很简单, 直接让 $\zeta$ 是个大于 $\lambda$ 的 $n+1$ 正确基数并无视 $\alpha$ 就好, 所以我们用第一条推第二条. 反设不然, 不妨设 $\xi$ 是最小的让 $x\in V_{\xi }$ 且让第二条办不到的那个 $\zeta$, 这说明 $\xi$ 由 $\lambda ,x$ 和某 ${\Pi }_2$ 公式定义 (论文写的是 ${\Sigma }_2$ 不知道为啥, 但反正是 $2$ 没错), 接着不妨设 $\beta$ 也是在对 $\xi$ 的意义下最小的那个 $\alpha$, 因为 $\xi$ 是 ${\Pi }_2$ 可定义的, $\beta$ 也会是从 $\lambda$ 和 $x$ 上 ${\Pi }_2$ 可定义的. 现在假设第一条给我们 $j$, 因为 $n+1\ge 2$ 我们一定有 $\xi$ 和 $\beta$ 属于 $X$ 且 $j$ 不移动它们 (这应该是从 $V$ 向下绝对过去). 现在研究 $Y=X\cap V_{\xi }$ 和 $i=j\upharpoonright Y:Y\to V_{\zeta }$, 注意 $V_{\xi }$ 自己从 $\xi$ 上 ${\Pi }_1$ 可定义, 我们有 $V_{\xi }\in X$ 且 $j(V_{\xi })=V_{\xi }$, 于是实际上我们有 $i$ 是到 $V_{\xi }$ 的初等嵌入且 $V_{\lambda }\cup \{\lambda ,x\}\subseteq Y$. 因为 $i$ 满足太多条件, 让 $\xi$ 保持为第二条反例的唯一希望是 $i\upharpoonright \beta \ne id$. 注意 $i(\beta )=\beta$ 且 $\beta +2<\lambda$, 我们一定有 $i\upharpoonright V_{\beta +2}$ 是 $V_{\beta +2}$ 到自己的初等嵌入 (从 $j$ 限制回来), 与 Kunen 不一致性矛盾.

$\square$

定义 1.3. 给定严格单增收敛到 $\lambda$ 的 $\omega$ 长基数列 $\vec{\lambda }=⟨{\lambda }_m|m\in \omega ⟩$ 和一个基数 $\kappa <{\lambda }_0$. 如果任给 $A\subseteq V_{\lambda }$ 都有 $\lambda$ 处 $n-$ 劳心嵌入 $j:X\to V_{\zeta }$ 使得 $A\in \mathrm{ran}j$, $j(\kappa )={\lambda }_0$ 且 $j({\lambda }_m)={\lambda }_{m+1}$, 我们就说 $\kappa$ 对 $\vec{\lambda }$ 是 $n-$ 劳心的. 如果进一步总能假定 $j(\mathrm{crit}j)=\kappa$, 我们就说 $\kappa$ 对 $\vec{\lambda }$ 参数劳心.

现在来确定劳心基数强度的上界. 我不知道为什么可以假设 $I_0$ 的 $\lambda$ 是关键点 ${\lambda }_0$ 的 ${\lambda }_{\omega }$, Kanamori 没教我, 论文引了 Woodin 的我看不懂的著作.

定理 1.4. 若有 $I_0$ 嵌入 $j:L(V_{\lambda +1})\to L(V_{\lambda +1})$, 取前 $\omega$ 个关键点的序列 $\vec{\lambda }=⟨{\lambda }_m{⟩}_{m\in \omega }$, 存在一个 $ZFC$ 的集合模型 $M\ni \vec{\lambda }$ 使得 ${\lambda }_0$ 在其中对 $\vec{\lambda }$ 参数劳心. 特别的, “$ZFC+$ 存在劳心基数” 是一致的.

证明. 显然 $V_{\lambda }$ 有一个序型为 $\lambda$ 的良序 $⊲$ 使得 $j(⊲)=⊲$: 取 ${⊲}_0$ 为 $V_{{\lambda }_0}$ 上序型 ${\lambda }_0$ 的良序, 然后反复 $j$ 然后并起来就好了.

$\square$

不过, 这是最好的结果, 因为宇宙中可以不存在劳心基数.

定理 1.5. $ZFC+I_0$ 嵌入不能证明存在劳心基数.

证明. 我觉得论文中给出的解释必须把 $\mu$ 取成 $3$ 正确基数, 但我不懂真类力迫, 不敢妄言.

$\square$

2超正合基数