用户: Solution/ 习题: 代数几何初步(2024秋)/Problem Set 1

习题 1 (指标范畴与极限). 设 $\mathcal{J}$ 是一个小范畴, $\mathcal{C}$ 是任意范畴. 则一个函子 $F:\mathcal{J}\to \mathcal{C}$ (即, 对任意的 $i\in \mathcal{J}$ 指定对象 $A_i\in \mathcal{C}$, 且有自然的态射交换图) 被称为被 $\mathcal{J}$ 指标化的图表. 我们称 $\mathcal{J}$ 是指标范畴. 指标范畴通常是一个偏序集, 其任意两个对象间最多有一个态射.

我们可以定义图表 $F$ 的极限为 $\mathcal{C}$ 的一个对象 $\underleftarrow{\lim }{A}_i$ 加上对任意 $j\in \mathcal{J}$ 的态射 $f_j:\underleftarrow{\lim }{A}_i\to$ $A_j$, 且满足如下关系: 如果 $m:j\to k$ 是 $\mathcal{J}$ 中的态射, 则下图交换 [记为 (1.1)] $$\underleftarrow{\lim }{A}_i{A}_j{A}_k{f}_j{f}_{k}F(m)$$且 $\underleftarrow{\lim }{A}_i$ 与 $f_j$ 在这个性质下是万有的. 根据万有性质的一般结果, 如果极限存在, 那么它在如下意义下是唯一的: 如果 $\mathrm{A}$ 和 ${\mathrm{A}}^{\prime }$ 都是极限, 那么它们之间有一个唯一的同构.

1.	如果 $\mathcal{C}$ 是集合范畴, $\mathcal{J}$ 是如下的偏序集$$\bullet \bullet \bullet$$证明极限等于纤维积.
2.	如果 $\mathcal{C}$ 是集合范畴, $\mathcal{J}$ 是如下集合$$\bullet \bullet$$证明极限等于积.
3.	假设 $\mathcal{J}$ 是一个有始对象 $e$ 的偏序集, 证明任意由 $\mathcal{J}$ 指标化的图表的极限都存在.
4.	如果 $\mathcal{C}$ 是集合范畴, $$\left\{(a_i{)}_{i\in \mathcal{J}}\in \prod _i{A}_i:\text{ 对任意的 }m\in {\mathrm{Mor}}_{\mathcal{J}}(j,k)\text{ 有 }F(m)(a_j)=a_k\right\}$$加上它到 $A_i$ 的自然的投影是 $\underleftarrow{\lim }{A}_i$ 的极限.

习题 2 (极限和余极限). 我们还可以定义极限的对偶概念余极限, 只需把极限定义的公式 (1.1) 中所有 $f_i$ 的箭头取反方向即可, 记作 $\underrightarrow{\lim }$. (试写出对应的图表)

1.

把集合的并翻译成某个余极限. (对偶地, 集合的交是一个极限)

2.

设 $(S,\ge )$ 一个非空偏序集. 如果对任意 $x,y\in S$, 都有一个 $z\in S$ 使得 $x\ge z$ 且 $y\ge z$, 则称 $(S,\ge )$ 为过滤的. 现假设 $\mathcal{J}$ 是一个过滤的偏序集. 证明此时存在一个等价关系 $\sim :(a_i,i)\sim (a_j,j)$ 当且仅当存在 $f:A_i\to A_j$ 和 $g:A_j\to A_k$, 其中在 $A_k$ 有 $f(a_i)=g(a_j)$. 证明对任何集合范畴中由 $\mathcal{J}$ 指标化的图表, 下面的对象加上 $A_i$ 到它自然的映射是余极限 $\underrightarrow{\lim }{A}_i$: $$\left\{\left(a_i,i\right)\in {\bigsqcup }_{i\in \mathcal{J}}{A}_i\right\}/\sim$$

习题 3 (极限的存在性). 假设 $\mathcal{C}$ 是一个范畴, 其中终对象和拉回都存在. 证明 $\mathcal{C}$ 中任意有限 (指标范畴有限) 极限都存在.

证明. 记终对象为 $1$. 对任意 $A,B\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 考虑拉回图$$A\times BBA1{\pi }_B{\pi }_A┌t_B{t}_A$$对任意的 $X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 及 $f:X\to A$, $g:X\to B$, $t_A\circ f=t_B\circ g(=t_X)$. 由拉回的泛性质知 $\exists !h:X\to A\times B$ 使得 ${\pi }_A\circ h=f,{\pi }_B\circ h=g$, 所以这个拉回确实是 $A$ 和 $B$ 的乘积. 进一步, 在范畴 $C$ 中存在有限乘积.

再对 $A,B$ 考虑拉回图$$EABB\times Bel┌(f,g)(1_B,1_B)$$因为 $\mathrm{Hom}$ 函子保持极限, 有拉回图$$\mathrm{Hom}(X,E)\mathrm{Hom}(X,A)\mathrm{Hom}(X,B)\mathrm{Hom}(X,B)\times \mathrm{Hom}(X,B)e_{\ast }{l}_{\ast }┌(f_{\ast },g_{\ast })1_{\ast },1_{\ast }$$由习题 1.1 知在 $\mathrm{Set}$ 中拉回就是纤维积, 所以与 $e$ 的复合给出 $\mathrm{Hom}(X,E)$ 与 $\mathrm{Hom}(X,A)$ 中满足 $fa=ga$ 的子集 $\{a\}$ 的同构. 即等化子图有极限而 $\mathrm{Hom}$ 函子反映极限, 所以在 $\mathcal{C}$ 中等化子图总有极限

综上已证明了存在终对象和拉回的范畴存在二元 (进而有限) 乘积和等化子. 熟知存在 (有限) 乘积和等化子的范畴总存在 (有限) 极限; 这是由于对于极限总有等化子图其中 $c$ 是直接投影到 $\mathrm{cod}f$, 而 $d$ 是先投影到 $\mathrm{dom}f$, 再通过 $f$ 映到 $\mathrm{cod}f$, 所以我们可以考虑反过来利用等化子图存在证明极限存在. 详细的证明见 [Rie16] 定理 3.4.12.

$\square$

习题 4 (单同态). 一个态射 $\pi :X\to Y$ 被称为单同态, 如果两个态射 $f_1:Z\to X$ 和 $f_2:Z\to X$ 满足 $\pi \circ f_1=\pi \circ f_2$, 则有 $f_1=f_2$.

1.	证明集合范畴中的单射是单同态.
2.	证明任意两个单同态的复合是单同态.
3.	证明在可除群范畴中 $\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 是单同态但不是单射.
4.	证明 $\pi :X\to Y$ 是单同态, 当且仅当纤维积 $X{\times }_{Y}X$ 存在, 且诱导的对角态射 $\delta :X\to X{\times }_{Y}X$ 是一个同构.

习题 5 (满同态). 一个态射 $\pi :X\to Y$ 被称为满同态, 如果两个态射 $f_1:Y\to Z$ 和 $f_2:Y\to Z$ 满足 $f_1\circ \pi =f_2\circ \pi$, 则有 $f_1=f_2$.

1.	证明集合范畴中的满射是满同态.
2.	证明在环范畴中, $\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$ 是满同态但不是满射.
3.	证明偏序集中, 任意的态射都是满同态.

习题 6 (Yoneda 引理). 假设 $A$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 中的一个对象. 定义如下的反变函子 $h^A:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Sets}:$ 在 $\mathcal{C}$ 的对象 $X$ 上$$h^A(X)={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,A),$$在 $\mathcal{C}$ 的态射 $f:Y\to X$ 上由复合给出态射的对应.

设 $F:{\mathcal{C}}^{op}\to \mathrm{Sets}$ 是任意的反变函子. 证明 $h^A$ 到 $F$ 的自然同构全体与 $F(A)$ 之间有一个自然的一一对应.

参考文献

[Rie16]

Emily Riehl. Category Theory in Context. Dover Modern Math Originals. Dover Publications, 2016.