用户: Solution/ 习题: 代数几何初步(2024秋)/Problem Set 3

练习 1 (可逆层的显式构造). 记 ${\mathbb{P}}^1=\mathrm{Proj}k[x_0,x_1]$, 它有一个仿射覆盖 $U_0=D(x_0)=$ $\mathrm{Spec}k[x_1/x_0]$ 和 $U_1=D(x_1)=\mathrm{Spec}k[x_0/x_1]$. 证明我们可按如下方式定义可逆层 $\mathcal{O}(n)$: 它在开集 $U_0$ 和 $U_1$ 上都是平凡的, 转移函数为通过该描述计算 $\mathcal{O}(n)$ 的整体截面, 并说明当 $n\ne 0$ 时其不同构于 ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}$.

见 [Va24] p.426.

练习 2 (分离概形). 设 $X$ 是一个 $Z$-诺特概形, $Y$ 是一个分离的 $Z$-诺特概形. 取 $X$ 上的 Cartier 除子 $D$, 证明任意 $Z$-态射 $X\setminus D\to Y$ 至多可以以一种方式延拓为态射 $X\to Y$.

练习 3 (颇合性). 以下假设各个概型都是 Noether 的. 设 $f:X\to Y$ 是 $S$-概形间的态射. 如果 $X\to S$ 是颇合的且 $Y\to S$ 是分离的, 证明 $f$ 颇合.

见 [Har77] 命题 2.4.8(e).

练习 4 (颇合性).

1.	证明 ${\mathbb{A}}^n$ 不是颇合概形.
2.	用赋值判别法证明带二重原点的仿射直线不是分离的.

见 [Har77] 命题 2.4.7.

练习 5 (凝聚层). 设 $f:X\to Y$ 是一个拟紧的分离态射. 证明如果 $\mathcal{F}$ 是 $X$ 上的拟凝聚层, 那么 $f_{\ast }\mathcal{F}$ 是 $Y$ 上的拟凝聚层.

见 [Har77] 命题 2.5.8(c).

练习 6 (秩函数). 设 $\mathcal{F}$ 是诺特概形 $X$ 上的凝聚层. 设 $k(x)={\mathcal{O}}_x/m_x$ 是 $x$ 点处的留数域. 考虑函数$$\varphi (x)={\dim }_{k(x)}{\mathcal{F}}_x\otimes k(x).$$证明

1.	$\varphi (x)$ 是上半连续的.
2.	如果 $\mathcal{F}$ 局部自由且 $X$ 连通, 则 $\varphi$ 是常值函数.
3.	反之, 如果 $X$ 是约化的且 $\varphi$ 是常值函数, 那么 $\mathcal{F}$ 局部自由.

练习 7 (向量丛). 设 $\mathcal{E}$ 是概形 $Y$ 上的秩 $n$ 局部自由层. 记 $S(\mathcal{E})=⨁{\mathrm{Sym}}^{\bullet }\mathcal{E}$ 为 $\mathcal{E}$ 的对称代数层.

1.	证明对任意 $Y$ 中的仿射开集 $V$, 截面 $S(\mathcal{E})(V)$ 是一个 ${\mathcal{O}}_Y(V)$ 代数.
2.	证明存在唯一的概形 $X$ 和态射 $f:X\to Y$, 使得对任意 $Y$ 中的仿射开集 $V$, $$f^{-1}(V)\cong \mathrm{Spec}S(\mathcal{E})(V)$$且对 $V$ 的任意仿射开集 $U$, 有由 $S(\mathcal{E})(V)\to S(\mathcal{E})(U)$ 诱导的嵌入 $f^{-1}(U)\hookrightarrow f^{-1}(V)$. 我们记 $X={\mathrm{Spec}}_{{\mathcal{O}}_Y}S(\mathcal{E})$, 并称其为 $\mathcal{E}$ 的几何向量丛.
3.	设 $Y={\mathbb{P}}^n$, 考虑 $\mathcal{O}(-1{)}^{\vee }$ 对应的几何向量丛, 证明其恰好是 ${\mathbb{P}}^n$ 上的重言丛.

练习 8 (曲线的 Picard 群). 设 $X$ 是一个曲线, $f:\tilde{X}\to X$ 是正规化. 对 $X$ 中的点 $p$, 记 ${\tilde{\mathcal{O}}}_p$ 为局部环 ${\mathcal{O}}_p$ 的整闭包. 我们用角标 $\ast$ 表示取单位元的群.

1.	若 $X=\mathrm{Spec}k[x,y]/(x^n-y^m)$, $p=(\bar{x},\bar{y})$ 对应原点, 计算环 ${\tilde{\mathcal{O}}}_p$.
2.	证明有如下短正合列$$0\to \underset{p\in X}{⨁}{\tilde{\mathcal{O}}}_p^{\ast }/{\mathcal{O}}_p^{\ast }\to \mathrm{Pic}(X)\stackrel{f^{\ast }}{⟶}\mathrm{Pic}\tilde{X}\to 0.$$
3.	计算曲线 $y^2=x^{2n+1}$ 的 Picard 群.

练习 9 (Picard 群). 证明概形 $X$ 的 Picard 群 $\mathrm{Pic}(X)$ 同构于 $H^1(X,{\mathcal{O}}_X^{\ast })$.

练习 10 (除子). 设 $X=\mathrm{Spec}k[x,y,z]/\left(xy-z^2\right)$.

1.	证明 $\mathrm{Cl}X\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, 且生成元是 $Y:y=z=0$.
2.	证明 Weil 除子 $Y$ 并不是 Cartier 除子, 但 $2Y$ 是 Cartier 除子.

见 [Har77] 例 2.6.5.2.

练习 11 (除子). 设 $X=\mathrm{Spec}k[w,x,y,z]/(wz-xy)$ 且 $Z$ 是由 $w=x=0$ 截出的 Weil 除子.

1.	证明仿射概形挖掉一个有效 Cartier 除子仍然是仿射概形.
2.	证明对任意的 $n\ne 0$, $nZ$ 都不是 Cartier 除子.

练习 12 (Picard 群). 设 $Y$ 是 ${\mathbb{P}}^n$ 中的 $d$ 次不可约超曲面. 证明 $\mathrm{Pic}(Y)\cong \mathbb{Z}/(d)$.

练习 13 (射影空间的自同构). 记 ${\mathrm{PGL}}_{n+1}$ 是射影一般线性群, 按如下方式证明 ${\mathbb{P}}^n$ 的自同构群是 ${\mathrm{PGL}}_{n+1}$.

1.	如果 $f:{\mathbb{P}}^n\to {\mathbb{P}}^n$ 是自同构, 那么 $f^{\ast }\mathcal{O}(1)\cong \mathcal{O}(1)$.
2.	证明 $f^{\ast }:\Gamma ({\mathbb{P}}^n,\mathcal{O}(1))\to \Gamma ({\mathbb{P}}^n,\mathcal{O}(1))$ 是一个同构.
3.	证明 ${\mathbb{P}}^n$ 的自同构群是 ${\mathrm{PGL}}_{n+1}$.

见 [Har77] 例 2.7.1.1.

练习 14 (Segre 嵌入). 设 $X={\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$, $p_1,p_2$ 为投影态射. 定义 $\mathcal{O}(a,b)$ 为 $p_1^{\ast }\mathcal{O}(a)\otimes p_2^{\ast }\mathcal{O}(b)$.

1.	证明 $\mathcal{O}(1,1)$ 决定了闭嵌入 ${\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n\to {\mathbb{P}}^{mn+n+m}$, 被称为 $\text{Segre}$ 嵌入.
2.	请在恰当的坐标下写出 Segre 嵌入 ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^3$ 像的定义方程.

见 [GöWe20] 4.14 节.

练习 15 (爆破). 计算 ${\mathbb{P}}^2$ 爆破一个点 $P=\left[p_1,p_2,p_3\right]$. 将其嵌入 ${\mathbb{P}}^2\times {\mathbb{P}}^2$ 并写出具体的定义方程.

参考文献

[GöWe20]	Ulrich Görtz, Torsten Wedhorn. Algebraic Geometry I: Schemes. Springer Studium Mathematik. Springer, 2020.
[Har77]	Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. Graduate Text in Mathematics, 52. Springer, 1977.
[Va24]	Ravi Vakil. The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry. Preprint, 2024.07.