用户: Solution/ 习题: 嵇庆春 微分几何简明教程

1曲线论的基本概念

2曲线论基本定理

3平面曲线的相对曲率

3.1	参考 2.2 节, 叙述并证明平面曲线的基本定理 (用相对曲率代替曲率).
3.2	如果存在常数 $0\ne a\in \mathbb{R}$, 使得 ${\kappa }_r\equiv a$, 则 $\gamma (I)$ 包含在以 $\frac{1}{|a|}$ 为半径的圆周内.
3.3	设 $f(z)$ 是复平面中圆心在原点的单位闭圆盘的某个开领域上的全纯函数, $\frac{df}{dz}$ 在圆盘上处处非零. 证明: (i) 如下映射$$\begin{array}{rl}\gamma :& [0,2\pi ]\to {\mathbb{R}}^2\\ & \theta \mapsto (\mathrm{Re}f,\mathrm{Im}f{)}^{\mathrm{T}}(e^{\sqrt{-1}\theta })\end{array}$$是一个正则参数化的曲线. (ii) $\gamma$ 的相对曲率$${\kappa }_r(\theta )=\frac{\mathrm{Re}\left(e^{\sqrt{-1}\theta }\frac{d^{2}f}{d{z}^2}+\frac{df}{dz}\right)\overline{\frac{df}{dz}}}{{\left|\frac{df}{dz}\right|}^3}(e^{\sqrt{-1}\theta }).$$ (iii) $$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\kappa }_r(\theta )\left|\frac{d\gamma }{d\theta }\right|d\theta =1+\frac{df}{dz}\text{ 在单位圆盘内的零点数 (按重数计).}$$

4平面简单闭曲线

5曲面论的基本概念

5.1	$\varphi (D)$ 在局部上总可表示为 ${\mathbb{R}}^3$ 中某个坐标平面 (中开区域) 上的函数的图.
5.2	若 $g_{ij},h_{ij}$ 均为常数 $(1\le i,j\le 2)$, 则 $\varphi (D)\subseteq {\mathbb{R}}^3$ 是平面或正圆柱面的开子集.
5.3	不妨设 $0\in D,\varphi (0)=0$. 证明: (i) $$\begin{array}{rl}\varphi (u)=& \sum _{k=1}^2(u^k+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^2{\Gamma }_{ij}^k(0)u^i{u}^j){\partial }_{u^k}\varphi (0)\\ & +(\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^2{h}_{ij}(0)u^i{u}^j){\nu }_{\varphi }(0)+o(|u{|}^2).\end{array}$$ (ii) 存在参数变化 $\varphi \circ \sigma :\bar{D}\to {\mathbb{R}}^3,F\in C^{\infty }(\bar{D})$ 使得$$\varphi \circ \sigma (\bar{u})=\sum _{i=1}^2{\bar{u}}^i{\partial }_{u^i}\varphi (0)+F(\bar{u}){\nu }_{\varphi }(0),$$$${\partial }_{{\bar{u}}^i}F(0)=0(i=1,2),[{\partial }_{{\bar{u}}^i}{\partial }_{{\bar{u}}^j}F(0)]=\frac{1}{2}[h_{ij}(0)],\sigma (0)=0.$$
5.4	证明:$K=\frac{h_{11}{h}_{22}-h_{12}^2}{g_{11}{g}_{22}-g_{12}^2},H=\frac{g_{11}{h}_{22}+g_{22}{h}_{11}-2g_{12}{h}_{12}}{2(g_{11}{g}_{22}-g_{12}^2)}$.
5.8	定义 $D$ 上的 $1$-形式$$\beta :=\sum _{i=1}^2\left(\varphi ,\nu ,{\varphi }_i\right)d{u}^i\text{ 和 }\gamma :=\sum _{i=1}^2\left(\varphi ,\nu ,{\nu }_i\right)d{u}^i,$$证明: $$d\beta =-2(1+H\varphi \cdot \nu )dA,d\gamma =2(H+K\varphi \cdot \nu )dA.$$

6几类特殊曲面

7曲面上的曲线

7.6	证明: 沿 6.2 节中旋转曲面上的测地线, $F\sin \theta =$ 常数. 证明. 称为 Clairaut 方程, 证明见 [Carmo 2016]. $\square$

8两类特殊参数化

8.1

证明: 当高斯曲率恒为零时, 在命题 8.1 中 $g_{ij}\equiv {\delta }_{ij}(1⩽$ $i,j⩽2)$ 注 8.1. 对任意 $x\in U$, 考虑 $\varphi$ 的参数变换 $\varphi \circ E_x$, 记$$\left[g_{ij}(v)\right]=g_{\varphi \circ E_x}(v),v\in B_r.$$命题 8.1 若 ${\partial }_{u^i}\varphi \cdot {\partial }_{u^j}\varphi (x)={\delta }_{ij}(1⩽i,j⩽2)$, 则 $g_{ij}(v)$ 在 $v=(0,0)$ 处满足如下规范化条件$$g_{ij}(0,0)={\delta }_{ij},{\partial }_{v^k}{g}_{ij}(0,0)=0,1⩽i,j,k⩽2.$$ 证明. $\square$

9曲面论基本定理

9.3	证明: (i) 若 $\varphi :D\to {\mathbb{R}}^3$ 是共形参数化的曲面, 则 $H=\text{常数}\iff h_{11}-h_{22}-2\sqrt{-1}{h}_{12}$ 是 $z=u^1+\sqrt{-1}{u}^2\in D$ 的全纯函数. (ii) 常平均曲率曲面要么是全脐点的要么仅有离散脐点. 证明. (i) $"\Rightarrow "$ 由于 $\varphi$ 是共性参数化的, 故有: $$\begin{array}{rl}H=& \frac{1}{2}\mathrm{tr}\left(\begin{array}{cc}{h}_{11}& h_{12}\\ h_{21}& h_{22}\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}{g}_{11}& \\ & g_{11}\end{array}\right)}^{-1}\\ =& \frac{h_{11}+h_{22}}{2g_{11}}.\end{array}$$整理后对 $u^1,u^2$ 求导可得: $$\{\begin{array}{l}2H{\partial }_1{g}_{11}={\partial }_1(h_{11}+h_{22})\\ 2H{\partial }_2{g}_{11}={\partial }_2(h_{11}+h_{22})\end{array}.$$再由正交参数化的 Codazzi 方程, 可得: $$\{\begin{array}{l}{\partial }_2{h}_{11}-{\partial }_1{h}_{12}-H{\partial }_2{g}_{11}=0\\ {\partial }_1{h}_{22}-{\partial }_2{h}_{12}-H{\partial }_1{g}_{11}=0\end{array}$$代入得: $$\{\begin{array}{l}{\partial }_1(h_{11}-h_{22})={\partial }_2(-2h_{12})\\ {\partial }_2(h_{11}-h_{22})=-{\partial }_1(-2h_{12})\end{array}$$满足 Cauchy-Riemann 方程, 于是 $h_{11}-h_{22}-2\sqrt{-1}{h}_{12}$ 是 $z=u^1+\sqrt{-1}{u}^2$ 的全纯函数. $"\Leftarrow "$ 利用 Cauchy-Riemann 方程以及正交参数化的 Codazzi 方程可得: $$\{\begin{array}{l}2H{\partial }_1{g}_{11}={\partial }_1(h_{11}+h_{22})\\ 2H{\partial }_2{g}_{11}={\partial }_2(h_{11}+h_{22})\end{array}.$$对 $H=\frac{h_{11}+h_{22}}{2g_{11}}$ 求导可知 ${\partial }_{1}H={\partial }_{2}H=0$, 即 $H$ 为常数. (ii) 对曲面 $\Sigma$ 上任意一点 $x$, 存在它的一个邻域可以被共形参数化, 不妨记这个坐标区域为 $(D;u^1,u^2)$. 记 $f(z)=h_{11}-h_{22}-2\sqrt{-1}{h}_{12}$, 它为 $D$ 上的全纯函数. 令集合 $A:=\{p\in D\mid p\text{是脐点}\}\subseteq D$, 再令 $S\subseteq A$ 为 $A$ 的聚点集. 我们断言: 要么 $S=\varnothing$, 要么 $S=D$, 证明如下. 首先, $p\in D$ 是脐点等价于 ${\lambda }^2-2H\lambda +K=0$ 有两个相等实根, 即 $H^2-K=0$. 直接计算可得$$\begin{array}{rl}{H}^2-K& ={\left[\frac{1}{2}{g}^{11}(h_{11}+h_{22})\right]}^2-\left[g^{11}(h_{11}{h}_{22}-h_{12}^2)\right]\\ & =\frac{(g^{11}{)}^2}{4}\left[(h_{11}-h_{22}{)}^2+4h_{12}^2\right].\end{array}$$故 $p$ 是脐点等价于在该点处 $h_{11}-h_{22}=0$ 且 $2h_{12}=0$, 即 $f(z){|}_p=0$. 由全纯函数零点的性质, 若 $p\in S$ 为聚点, 则 $f$ 在 $D$ 上恒为零, 即 $S=D$. 现在令 $\tilde{S}=\{x\in \Sigma \mid x\text{是脐点集的聚点}\}\subseteq \Sigma$, 我们将证明: 要么 $\tilde{S}=\varnothing$(仅有离散脐点), 要么 $\tilde{S}=\Sigma$(全脐点). 假设 $\tilde{S}\ne \varnothing$, 任取 $x\in \tilde{S}$, 由上面的讨论, 对任何一个 $x$ 附近的共形参数坐标系 $D$, 都有 $D\subseteq \tilde{S}$, 即 $\tilde{S}$ 是开集. 另一方面, $\tilde{S}$ 在局部共形坐标系下就是 $f(z)$ 的零点集, 显然是闭集. 综上所述, $\tilde{S}$ 既开又闭, 故 $\tilde{S}=\Sigma$, 即为全脐点曲面. $\square$
9.4	证明: 对无脐点的常平均曲率曲面, 在局部上总存在参数使得第一基本型、第二基本型有如下形式: $$\begin{gathered} g_{11}=g_{22}=\frac{1}{\sqrt{H^2-K}},g_{12}=0, \\ {h}_{11}=\frac{H}{\sqrt{H^2-K}}-1,h_{22}=\frac{H}{\sqrt{H^2-K}}+1,h_{12}=0. \end{gathered}$$ 证明. 固定曲面上一点 $p$, 取它附近的共形坐标系 $(D;u^1,u^2)$, 即 $g_{11}=g_{22},g_{12}=0$. 设 $p=\varphi (u_0)$. 因为平均曲率为常数, 由习题 9.3 知 $f(z)=h_{11}-h_{22}-2\sqrt{-1}{h}_{12}$ 是 $z=u^1+\sqrt{-1}{u}^2$ 的全纯函数. 又因为无脐点, 故 $H^2-K\ne 0$, 即 $f(z)\ne 0$ 在曲面上处处成立. 不妨假设所选取的坐标区域 $D$ 充分小, 单连通, 使得 $\sqrt{f(z)}$ 在 $D$ 上可以选取一个单值支, 成为 $D$ 上的全纯函数. 现在考虑参数变换 $w=F(z):={\int }_{u_0}^z\sqrt{f(\zeta )/2}d\zeta ,z\in D$, 则 $F(z)$ 将 $D$ 变为另一个坐标区域 $(U;x^1,x^2),w=x^1+\sqrt{-1}{x}^2$. 且 $F^{\prime }(z)=\sqrt{f(z)/2}\ne 0$, 故 $F$ 局部上是共形微分同胚, 不妨假设 $F$ 就是共形微分同胚. 可将 $F(z)$ 看作从 $(u^1,u^2)$ 到 $(x^1,x^2)$ 的参数变换, 它的 Jacobi 矩阵为$$J=\left(\frac{\partial x^i}{\partial u^j}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\sqrt{f(z)/2}& -\mathrm{Im}\sqrt{f(z)/2}\\ \mathrm{Im}\sqrt{f(z)/2}& \mathrm{Re}\sqrt{f(z)/2}\end{array}\right)=:\left(\begin{array}{cc}a(z)& -b(z)\\ b(z)& a(z)\end{array}\right).$$容易验证$$\begin{array}{rl}J{J}^T=J^{T}J& =|\sqrt{f(z)/2}{|}^{2}I\\ & =\frac{|f|}{2}I\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{(h_{11}-h_{22}{)}^2+4h_{12}^2}I\\ & =\frac{\sqrt{H^2-K}}{g^{11}}I,\text{其中 I 为单位矩阵.}\end{array}$$为了记号简便, 记$$D=\frac{(h_{11}-h_{22}{)}^2+4h_{12}^2}{4}=(H^2-K)/(g^{11}{)}^2,$$则 $J{J}^T=\sqrt{D}I$. 所以变换后的第一基本型矩阵为$$g^U=(J^T{)}^{-1}{g}^D{J}^{-1}=\frac{1}{\sqrt{H^2-K}}I.$$同理计算 $h_{ij}$ 可以发现也满足要求, 这里需要注意到$$\begin{array}{rl}& \sqrt{f(z)/2}=a+ib\\ ⟺& h_{11}-h_{22}-2\sqrt{-1}{h}_{12}=2(a^2-b^2)+4iab\\ ⟺& \{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=(h_{11}-h_{22})/2,\\ ab=-h_{12}/2.\end{array}\end{array}$$ $\square$
9.5	证明: 具有常平均曲率和常 Gauss 曲率的正则参数化曲面 $\varphi :D\to {\mathbb{R}}^3$ 的像 $\varphi (D)$ 是平面、球面或正圆柱面中的开子集. 证明. 由于曲面的 Gauss 曲率和平均曲率是常数, 于是曲面要么全脐点, 要么无脐点. 若曲面全脐点, 由命题 6.2 可知曲面是平面或球面的开子集. 若曲面无脐点, 由习题 9.4 可知, 存在局部上的参数化使 $g_{ij},h_{ij}(1\le i,j\le 2)$ 为常数, 则由练习 5.3 可知曲面是平面或正圆柱面的开子集. $\square$
9.6

10极小曲面

11曲面的整体描述

11.1	证明: $\Sigma :=\left\{x\in {\mathbb{R}}^3\mid x_3^2=x_1{x}_2\right\}\subseteq {\mathbb{R}}^3$ 不是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的曲面. 证明. 唯一出现问题的地方是原点处. 用水平面 $x_3=0$ 去截 $\Sigma$, 得到两条相交直线 $\{x_1=0\},\{x_2=0\}$, 这是不光滑的截线. 而用 $x_3=\epsilon$ 去截, 得到双曲线. 假若 $\Sigma$ 是光滑曲面, 设 $(D,\varphi ;u^1,u^2)$ 是 $O=(0,0,0)\in \Sigma$ 附近的正则参数化, $\varphi (0,0)=O$. 不妨设 $\varphi (u^1,u^2)=(x(u^1,u^2),y(u^1,u^2),z(u^1,u^2))$, 则 $z^2=xy$. 两边对 $u^i$ 求偏导数得到: $$2z{\partial }_{i}z=({\partial }_{i}x)y+x({\partial }_{i}y).$$在 $\{(x,y,z)\in \Sigma \mid x=z=0,y\ne 0\}\cap \varphi (D)$ 上, 上式化为$${\partial }_{1}x={\partial }_{2}x=0,\text{(在 y 轴去掉 O 点上成立).}$$由光滑性的假设即知 ${\partial }_{1}x={\partial }_{2}x=0$ 在 $O$ 点处也成立. 同理可知 ${\partial }_{1}y={\partial }_{2}y=0$ 在 $O$ 点处也成立. 但这样就有自然切向量$${\partial }_1\varphi {|}_{(0,0)}=(0,0,{\partial }_{1}z),{\partial }_2\varphi {|}_{(0,0)}=(0,0,{\partial }_{2}z),$$这两个切向量是线性相关的, 与正则化参数的假设矛盾. $\square$
11.5	设 $\Sigma \subseteq {\mathbb{R}}^3$ 是紧曲面, 证明: ${\nu }_{\Sigma }\left({\Sigma }_{+}\right)=S^2$, 其中 ${\Sigma }_{+}:=\{P\in \Sigma \mid K(P)⩾0\}$. 证明. 详见彭家贵《微分几何》[彭家贵 2021], 利用 $KdA=d\sigma$, 其中 $d\sigma$ 是单位球面 $S^2$ 上的面积元, 以及书上的估计式$${\int }_{{\Sigma }_{+}}KdA⩾4\pi =\text{Area}(S^2).$$可以知道 ${\Sigma }_{+}$ 的高斯映射像在面积上映满 $S^2$. $\square$
11.6	证明: 具有常平均曲率且双全纯等价于球面的紧曲面只能是球面 (提示: 利用上面的 (11.3) 式, 练习 9.3(i) 以及 $h_{11}-h_{22}-2\sqrt{-1}{h}_{12}=4{\partial }_z^2\varphi \cdot \nu$). 证明. 我们先来解释一下记号 ${\partial }_z^2\varphi \cdot \nu$ 的含义. 设 $(D,\varphi ;x,y)$ 是正则参数化的曲面, $D$ 用复坐标写为 $z=u^1+i{u}^2$, 记 $i=\sqrt{-1}$. 关于 $z$ 的导数算子如下定义: $$\frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y}\right).$$因此 注 11.1. $$\begin{array}{rl}{\partial }_z\varphi & =\frac{1}{2}({\varphi }_1-i{\varphi }_2),\\ {\partial }_z^2\varphi & =\frac{1}{2}\left[{\partial }_1\left(\frac{1}{2}({\varphi }_1-i{\varphi }_2)\right)-i{\partial }_2\left(\frac{1}{2}({\varphi }_1-i{\varphi }_2)\right)\right]\\ & =\frac{1}{4}\left({\varphi }_{11}-{\varphi }_{22}-2i{\varphi }_{12}\right),\\ 4{\partial }_z^2\varphi \cdot \nu & =h_{11}-h_{22}-2i{h}_{12}.\end{array}$$ 我们下面还会用到复坐标求导的链式法则: 注 11.2. 若 $w=w(z)=u+iv$ 是关于 $z$ 的全纯函数, 则成立链式法则$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial z}& =\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial }{\partial u}+\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial }{\partial v}\right)-i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial }{\partial u}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial }{\partial v}\right)\right]\\ & =\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}\right)\frac{\partial }{\partial u}-i\left(\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)\frac{\partial }{\partial v}\right]\\ & =\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\right)\frac{\partial }{\partial u}-i\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)\frac{\partial }{\partial v}\right]\text{(柯西–黎曼方程)}\\ & =\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\right)\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial u}-i\frac{\partial }{\partial v}\right)\\ & =\frac{dw}{dz}\cdot \frac{\partial }{\partial w}.\end{array}$$ 回到原题, 设 $F:S^2\to \Sigma$ 是双全纯同胚. 对于 $\Sigma$ 中任意一点 $p$, 存在唯一的逆像 $q=F^{-1}(p)\in S^2$. 不妨假设 $q$ 不为南、北极点, 沿用教材中关于球极投影的记号, 即 ${\Sigma }_{\pm }=S^2\setminus \{(0,0,\mp 1)\}$, ${\varphi }_{\pm }:\mathbb{C}:{\Sigma }_{\pm }$ 为对应的球极投影映射. 令 $U_{\pm }=F({\Sigma }_{\pm })\subset \Sigma ,{\psi }_{\pm }=F\circ {\varphi }_{\pm }$, 则 $(U_{\pm },{\psi }_{\pm })$ 构成了 $\Sigma$ 的共形坐标系覆盖. 若记 ${\varphi }_{+}$ 下的坐标为 $z=u^1+\sqrt{-1}{u}^2$, ${\varphi }_{-}$ 下的坐标为 $w=v^1+\sqrt{-1}{v}^2$, 则这两个坐标间的转移函数为$$\begin{array}{r}{\varphi }_{-}^{-1}\circ {\varphi }_{+}:\mathbb{C}\setminus \{0\}\to \mathbb{C}\setminus \{0\}\\ z\mapsto w=\frac{1}{z}.\end{array}$$而在此坐标变换下$$\begin{array}{rl}{\partial }_z^2\varphi \cdot \nu & ={\partial }_z\left(\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial \varphi }{\partial w}\right)\cdot \nu \\ & =\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial z^2}\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial w}+{\left(\frac{\partial w}{\partial z}\right)}^2\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial w^2}\right)\cdot \nu \\ & =\frac{1}{z^4}{\partial }_w^2\varphi \cdot \nu \\ & =w^4{\partial }_w^2\varphi \cdot \nu .\end{array}$$这里用到了 $\frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{1}{z^2}$ 以及 $\frac{\partial \varphi }{\partial w}\cdot \nu =0$. 令 $z\to \infty$, 则 $w\to 0$, 右端 $\to 0\cdot ({\partial }_w^2\varphi \cdot \nu {|}_{w=0})=0$. 从而 ${\partial }_z^2\varphi \cdot \nu$ 关于 $z$ 是有界全纯函数, 由刘维尔定理知它恒等于 $0$. 故 $p\in \Sigma$ 是脐点, 由 $p$ 点的任意性知 $\Sigma$ 是紧的全脐点曲面, 从而是球面. $\square$
11.7	证明: 满足 $K>0$ 且 $H/K$ 为常数的紧曲面只能是球面 (提示: 利用练习 5.8).
11.8	证明: 在不同胚于球面的紧曲面上, 高斯曲率取到正值、负值和零. 判断该结论的逆命题是否成立.

12内蕴距离与三角剖分

13参考文献

•	Manfredo P. do Carmo (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Dover Publications Inc.
•	陈卿 彭家贵 (2021). 微分几何 (第二版). 高等教育出版社.