用户: Solution/ 习题: 数论基础

1PROBLEM SET 1

1. 设 $K$ 是数域, 证明: ${\Delta }_K\equiv 0\mathrm{or}1(\mathrm{mod}4)$.

2. 设 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$, 证明: ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}]$.

3. 设 $K\subset L$ 是数域, 证明: ${\Delta }_K|{\Delta }_L$.

4. 设 ${\Phi }_N(T)$ 是第 $N$ 个分圆多项式, 证明: 若 $p,q$ 是相异素数, 则 ${\Phi }_q(T^p)={\Phi }_q(T){\Phi }_{pq}(T)$.

5. 证明: ${\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})}=\mathbb{Z}[\sqrt[3]{3}]$.

6. 设 $K=\mathbb{Q}(\theta )$, 其中 $\theta$ 满足 ${\theta }^3+2\theta +1=0$, 证明: ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\theta ]$.

7. 设 $n=p^a$ 是一个素数幂, ${\zeta }_n$ 是一个 $n$ 次本原单位根, 证明: ${\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}({\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1})}=\mathbb{Z}[{\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1}]$.

2PROBLEM SET 2

1. 设 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, 在 ${\mathcal{O}}_K$ 内分解 $(3),(5),(11)$, 并找出一个在其中完全分裂的素数.

2. 设 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-2},\sqrt{-5})$, 证明: ${\mathcal{O}}_K$ 没有形如 $\{1,\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3\}$ 的整基. (通过在 ${\mathcal{O}}_K$ 中分解 $(3)$ 来反证.)

3. 设 $K$ 是数域, 判别式为 ${\Delta }_K$, 证明: $K$ 的正规闭包包含二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{{\Delta }_K})$.

4. 设 $K\subset L$ 是次数为 $n$ 的数域扩张, $\mathfrak{p}\subset {\mathcal{O}}_K$ 是一个在 $L$ 中完全分歧的素理想, $\mathfrak{P}$ 是其上的唯一素理想 ($\mathfrak{p}{\mathcal{O}}_L={\mathfrak{P}}^n$).

•	证明: $\mathfrak{p}$ 在任何中间域 $K\subset M\subset L$ 中均分歧.
•	证明: 如果 $\mathfrak{p}$ 在另一个数域 $L^{\prime }$ 中非分歧, 那么 $L\cap L^{\prime }=K$.
•	用上述结论给出 $[\mathbb{Q}({\zeta }_m):\mathbb{Q}]=\varphi (m)$ 的一个新证明.

5. 此问题有两部分.

•	设 $K$ 是一个数域, 证明: 存在无穷多 ${\mathcal{O}}_K$ 中的素理想 $\mathfrak{P}$, 满足 $f(\mathfrak{P}|p)=1$, 其中 $(p)=\mathfrak{P}\cap \mathbb{Z}$.
•	将第一问运用在分圆域上, 证明: 对任意正整数 $m$, 存在无穷多素数 $p$ 满足 $p\equiv 1(\mathrm{mod}m)$.

6. 设 $K$ 是一个数域, 记 ${\mathcal{D}}^{-1}=\{x\in K:{\mathrm{Tr}}_{K|\mathbb{Q}}(x{\mathcal{O}}_K)\subset \mathbb{Z}\}$.

•	证明: ${\mathcal{D}}^{-1}$ 是一个分式理想. 令 $\mathcal{D}=({\mathcal{D}}^{-1}{)}^{-1}$, 证明: $D$ 是一个整理想.
•	证明: ${\mathrm{N}}_{K|Q}(\mathcal{D})=|{\Delta }_K|$.
•	若 $p$ 是一个素数, $\mathfrak{p}\subset {\mathcal{O}}_K$ 是一个素理想, 满足 ${\mathfrak{p}}^e|p{\mathcal{O}}_K$, 证明: ${\mathfrak{p}}^{e-1}|\mathcal{D}$.
•	证明: 若 $p$ 在 $K$ 中分歧, 则 $p|{\Delta }_K$.