用户: Solution/ 习题: 楼分析/函数极限与连续
- 1函数极限
- 函数极限, 单侧极限, 函数极限的基本性质,Heine 定理, 基本定理的对应结果, 重要数列极限对应的结果, 关于
- 2连续函数
- 连续函数, 左连续, 右连续, 连续函数的四则运算, 复合函数的连续性, 基本初等函数的连续性, 反函数的连续性, 紧集上逆映射的连续性, 间断点, 一些重要的极限, 的无穷级数表示
- 3连续函数的基本性质
- 道路, 连通集, 区域, 拓扑学视角下的连续性, 相对开集, 相对闭集, 介值定理, 最值定理, 连续函数的有界性, 一致连续性, 中范数的等价性, 代数基本定理, 不动点, 压缩映射原理, 摄动法, 利用极限定义指数函数和对数函数
- 4方向极限与累次极限
- 曲线, 方向极限, 沿曲线的极限, 累次极限, 多重极限
1函数极限
函数极限, 单侧极限, 函数极限的基本性质,Heine 定理, 基本定理的对应结果, 重要数列极限对应的结果, 关于
命题 1.1. C31 设实函数 在 内局部有界, 且
• | 对于任何 , ; |
• | , |
则
定理 1.2. Heine 定理 C33 设 , 为 上的映射, , 则 当且仅当对 中任何趋于 的点列 , 成立 .
A 1.3. 设 , , 证明: 存在当且仅当对 中任何趋于 的点列 , 极限 存在.
证明.
B 1.4. 证明对于 , 成立 . 特别地, 有 Vièta 公式: .
自变量变换 | 极限值 | 自变量变化 | 极限值 | 自变量变化 | 极限值 | ||
1-24-57-8 | |||||||
1-24-57-8 | |||||||
1-24-57-8 | |||||||
1-24-57-8 | |||||||
1-24-57-8 | |||||||
1-24-57-8 | |||||||
1-24-57-8 | |||||||
1-24-57-8 | |||||||
• | 若 , 则 有正的极限. |
• | 若 , 则 有正的极限. |
• | 若 , 则 发散或极限为零. |
• | 若 , 则 发散或极限为零. |
2连续函数
连续函数, 左连续, 右连续, 连续函数的四则运算, 复合函数的连续性, 基本初等函数的连续性, 反函数的连续性, 紧集上逆映射的连续性, 间断点, 一些重要的极限, 的无穷级数表示
A 2.1. 证明 Dirichlet 函数在 上处处不连续.
证明.
解答.
证明. 依题设, 对于任给的 , 存在 , 使得当 时,于是 (用 代 )
• | 若 单增, 则 , . |
• | 若 单减, 则 , . |
证明. (1)
B 2.2. 将习题 3.2 第 11 题推广到广义实数系情形.
解答.
证明. 不妨设 是定义在区间 上的单调增加函数, 设 是 的间断点, 任取 两侧的点 , 则成立令 , 应用单调函数的单侧极限存在定理, 得到并且其中的两个单侧极限都是有限数. 因此 是第一类间断点, 进一步, 是间断点故上式不可能同时取等号即 , 从而 是一跳跃间断点.
我们称 为与间断点 对应的一个跳跃区间. 对 的每一个间断点都可以得到一个跳跃区间. 下面我们证明, 任何两个不同简短点所对应的跳跃区间不交. 设 为另一间断点且 , 即证明为此在 与 之间插入 满足 , 则有不等式固定 , 令 , 由单调函数的单侧极限存在定理和函数极限的比较定理, 得到在令 , 又得到于是有即
证明.
解答.
证明. 首先, 我们有另一方面, 有假设, 有上界 . 任取 , 存在 , 使得当 时, 成立 且 .
证明. 我们先来证明这件事情: 若 是定义在 上的连续函数, 并且对 有 , 则有 .
只要对 中每个无理数 证明 成立即可. 取有理数序列 , 使 . 例如, 取无理数 的不足近似值 , 则有其中 . 因此 .
由于 在点 连续, 由此知由此便得结论. 记所有连续函数构成的集合为 . 易见所有常值函数 与 等势, 由伯恩斯坦定理, 若能
3连续函数的基本性质
道路, 连通集, 区域, 拓扑学视角下的连续性, 相对开集, 相对闭集, 介值定理, 最值定理, 连续函数的有界性, 一致连续性, 中范数的等价性, 代数基本定理, 不动点, 压缩映射原理, 摄动法, 利用极限定义指数函数和对数函数
命题 3.1. C32 中的道路连通集必是空集, 单点集或区间.
A 3.2. 设 为有界区间 上的连续函数, 都存在且 . 证明: 存在 使得 .
证明.
证明.
证明.
证明.
情形 | 的收敛性 | 的收敛性 | 的收敛性 |
1 | 绝对收敛 | 绝对收敛 | |
2 | 绝对收敛 | 条件收敛 | |
3 | 绝对收敛 | 发散 | |
4 | 条件收敛 | 绝对收敛 | |
5 | 条件收敛 | 条件收敛 | |
6 | 条件收敛 | 发散 | |
7 | 发散 | 绝对收敛 | |
8 | 发散 | 条件收敛 | |
9 | 发散 | 发散 | |
解答. 情形 1. 此时 收敛.
情形 2.
情形 3.
情形 4.
情形 5.
情形 6.
情形 7.
情形 8.
情形 9.
证明.
B 3.3. 证明区域是道路连通集.
证明. 设 是 中的一个非空连通开集. 取点 , 设 为 中所有与 有 中连续曲线相连结的点的集合. 容易看到 是一个道路连通集. 我们证明 .
证明.
证明. 若这样的函数存在, 注意到 . 所以 由 唯一确定, 即 是单射. 由介值性, 必严格单调, 结合介值性和单调性, 可得 连续.
证明.
提示: 存在正交矩阵 和 使得 , 其中 是 阶正交矩阵. 此时必有 , 其中 都是 阶半正定矩阵. 设 是两个 阶方阵, 满足 , 证明 .
• | 若 都是正定矩阵, 则 也是正定矩阵. |
• | 若 都是半正定矩阵, 则 也是半正定矩阵. |
证明. (1) 由于 正定, 则有非异阵 满足 , 这是因为 正定当且仅当 合同于 , 由于 且 都是正定矩阵, 于是 , 从而 是对称的. 另一方面从而 与 相似, 后者显然是正定的, 从而 正定.
• | 若 都是正定矩阵, 则 也是正定矩阵. |
• | 若 都是半正定矩阵, 是正定矩阵, 则 是半正定矩阵. |
• | 若 都是半正定矩阵, 则 是半正定矩阵. |
证明. (1)
(2)
4方向极限与累次极限
曲线, 方向极限, 沿曲线的极限, 累次极限, 多重极限
A 4.1. 考虑函数在一点的二重极限和二次极限. 分别以二重极限存在和不存在为前提, 讨论以下各条. 对必然成立或必然不成立的, 给出证明. 对于有时候成立, 有时候不成立的, 给出例子.
• | 两个二次极限存在且相等. |
• | 两个二次极限都存在但不相等. |
• | 一个二次极限存在, 另一个不存在. |
• | 两个二次极限都不存在. |
解答. 首先考虑二重极限存在的情况.
(1) 不一定成立. 如考虑 在 时的形态, 其二重极限存在, 但二次极限 不存在.
B 4.2. 设有 上的函数 , 对固定的 作为 的函数在 上连续, 而 对 的连续性关于 是一致的, 即 ,证明: 是 上的二元连续函数.
证明.